1、第第4141讲讲知识梳理知识梳理锐角或直角锐角或直角1空间角空间角(1)异面直线所成的角异面直线所成的角a，b为两条异面直线，过空间任意一点为两条异面直线，过空间任意一点O，作，作aa，bb，a、b相交所成的相交所成的 叫做异面直线叫做异面直线a，b所成的角若直线所成的角若直线a，b的方向向量为的方向向量为a，b，则，则cos|cosa，b|.第第4141讲讲知识梳理(2)直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面平面的一条斜线的一条斜线a和它在这个平面上的射影所成的和它在这个平面上的射影所成的叫做叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，它们所这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平
2、面，它们所成的角为成的角为；一条直线和平面平行，或在平面内，它们；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是所成的角是0的角若直线的方向向量为的角若直线的方向向量为a，平面的法向量为，平面的法向量为n，则则sin|cosa，n|.(3)二面角的平面角二面角的平面角二面角的大小可以用平面角表示若平面二面角的大小可以用平面角表示若平面和平面和平面的法向量分的法向量分别为别为n1，n2，则，则|cosAOB|cosn1，n2|.锐角锐角直角直角第第4141讲讲知识梳理任意任意 2空间距离空间距离(1)点到平面的距离点到平面的距离一点一点P到它在一个平面到它在一个平面内射影的距离，叫做点内射影的距
3、离，叫做点P到这个平面到这个平面的的距离若距离若A为平面为平面内任一点，内任一点，n为平面为平面的法向量，则点的法向量，则点P到平到平面面的距离的距离(2)直线和与它平行的平面的距离直线和与它平行的平面的距离一条直线上的一条直线上的一点到平面的距离，叫做这条直线和平一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离面的距离(3)两个平行平面的距离两个平行平面的距离和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两个平行夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两个平行平面的公垂线段的长度，叫做
4、两个平行平面的距离平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离 探究点探究点1 1异面直线所成的角异面直线所成的角第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【思路】【思路】建立空间直角坐标系，证明建立空间直角坐标系，证明MN与平面与平面OCD的的法向量垂直，利用直线法向量垂直，利用直线AB，MD的方向向量求它们所成的的方向向量求它们所成的角角第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【点评】【点评】用几何法求异面直线所成的角，要经过直线用几何法求异面直线所成的角，要经过直线平移去找异面直线所成的角，有时此角也不太容易找到但平移去找异面
5、直线所成的角，有时此角也不太容易找到但利用向量求异面直线所成的角只要建立空间直角坐标系后，利用向量求异面直线所成的角只要建立空间直角坐标系后，表示出两直线的方向向量，代入公式即可求异面直线所成的表示出两直线的方向向量，代入公式即可求异面直线所成的角除了坐标法外，也可以利用基向量求，如下变式题：角除了坐标法外，也可以利用基向量求，如下变式题：变式题已知一个已知一个60的二面角的棱上有两点的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又的线段，又AB4，AC6，BD8，求，求AB与与CD所成角的余弦值所成角的余弦值第第4141讲讲要点探究第第
6、4141讲讲要点探究 探究点探究点直线和平面所成的角直线和平面所成的角第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【思路】建立空间直角标系后，表示出直线的方向向量【思路】建立空间直角标系后，表示出直线的方向向量和平面的法向量，代入公式即可求直线与平面所成的角和平面的法向量，代入公式即可求直线与平面所成的角第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【点评】【点评】解答时注意直线的方向向量与平面的法向解答时注意直线的方向向量与平面的法向量所成的角量所成的角(或其补角或其补角)与所求线面角互余建系时要充分利与所求线面角互余建系时要充分利用图形的特点，使点的坐标易写，
7、如本题的建系方法当有用图形的特点，使点的坐标易写，如本题的建系方法当有两两垂直的三条直线时，就可以它们为坐标轴建系，如下变两两垂直的三条直线时，就可以它们为坐标轴建系，如下变式题：式题：第第4141讲讲要点探究变式题在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，F是是BC的中点，的中点，点点E在在D1C1上，且上，且D1ED1C1，试求直线，试求直线EF与平面与平面D1AC所成角所成角的正弦值的正弦值第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究 探究点探究点二面角二面角第第4141讲讲要点探究例例2009上海卷上海卷 如图如图418所示，在直三棱柱所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中
8、，AA1BCAB2，ABBC，求二面角，求二面角B1A1CC1的大小的大小第第4141讲讲要点探究【思路】建立空间直角坐标系，表示两平面的法向量，【思路】建立空间直角坐标系，表示两平面的法向量，代入公式即可代入公式即可第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【点评】向量法求二面角时要注意直观判断二面角【点评】向量法求二面角时要注意直观判断二面角是锐二面角还是钝二面角，以确定平面角的大小，这是易错是锐二面角还是钝二面角，以确定平面角的大小，这是易错的地方的地方 探究点探究点两点间的距离两点间的距离第第4141讲讲要点探究例把长、宽分别为、例把长、宽分别为、2的长方
9、形的长方形ABCD沿对沿对角线角线AC折成折成60的二面角，求顶点的二面角，求顶点B和和D的距离的距离32第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【点评】向量法求两点间的距离，实质是求这两点【点评】向量法求两点间的距离，实质是求这两点连成的向量的模，可以用坐标法，也可以用基向量法如下连成的向量的模，可以用坐标法，也可以用基向量法如下变式题：变式题：变式题在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线，将它沿对角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B、D间的距离间的距离第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究
10、 探究点探究点点到面的距离点到面的距离第第4141讲讲要点探究例在四棱锥例在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA底面底面ABCD，PAAD4，AB2.以以AC的中点的中点O为球心，为球心，AC为为直径的球面交直径的球面交PD于点于点M，交，交PC于点于点N.(1)求证：平面求证：平面ABM平面平面PCD；(2)求直线求直线CD与平面与平面ACM所成角的正弦值的大小；所成角的正弦值的大小；(3)求点求点N到平面到平面ACM的距离的距离【思路】建立空间直角坐标系，【思路】建立空间直角坐标系，求出平面求出平面ACM的法向量，代入公的法向量，代入公式求点到平面的距离式求点到平面
11、的距离第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究第第4141讲讲要点探究【点评】【点评】点面距公式中该点与平面内任一点连成的向点面距公式中该点与平面内任一点连成的向量要灵活选择量要灵活选择(易求坐标为原则易求坐标为原则)其他线面距、面面距都可以其他线面距、面面距都可以转化为点面距求转化为点面距求第第4141讲讲规律总结规律总结1角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角2用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简用向量的数量积来求解两异
12、面直线所成的角，简单、易掌握其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，单、易掌握其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便3找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找(作作)垂面，将其转化垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形为平面角，或用向量求解，或解直角三角形第第4141讲讲规律总结4二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面
13、积射影法、向量法等，特别是对面积射影法、向量法等，特别是对“无无”棱棱(图中没有棱图中没有棱)的二的二面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解5各类角都可以转化为向量的夹角来运算，然后利用向各类角都可以转化为向量的夹角来运算，然后利用向量来解量来解(1)求两异面直线求两异面直线m、n的夹角的夹角，需求出它们的方向向量，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos|cosa，b|.(2)求直线求直线l与平面与平面所成的角所成的角，可先求出平面，可先求出平面的法向量的法向量n与直线与直线l的方向向量的方向向量a的夹角，则的夹角，则sin|cosn，a|.第第4141讲讲规律总结(3)求二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面的法向量，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角所成的角则则n1，n2或或n1，n26求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段为端点的平面的斜线段谢谢！
