1、数学直通车数学直通车-平面向平面向量量知识体系知识体系第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算基础梳理基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量 .模 .零向量长度为 的向量,其方向是任意的记作 .单位向量长度等于 的向量常用 表示平行向量方向 或 的非零向量 与 共线可记为 .与任一向量 .共线向量 向量又叫做共线向量相等向量长度 且方向 的向量 与 相等记作 .相反向量长度 且方向 的向量 与 为相反的向量,则 .(2)的相反向量为 .0eabbaabba000ABAB大小方向01相同相反平行共线ab
2、相等相反ba/相等相同2.向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 法则 法则(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=.减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 法则 数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|=.(2)当0时,a与a的方向 ;当0时,a与a的方向 ;当=0时,a=.(a）=；(+)a=;(a+b)=.三角形平行四边形b+aa+(b+c)|a|相同相反0()aa+aa+b三角形3.共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 b=a.题型一题型一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念典例分析典例分
3、析【例1】给出下列五个命题:两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;若|a|=|b|,则a=b;在ABCD中,一定有 ;若m=n,n=p,则m=p;若ab,bc,则ac.有向线段就是向量，向量就是有向线段；非零向量的单位向量是唯一的 其中不正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5DCAB 分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.解 选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;、正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行
4、,故不正确.学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面:向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的情况:零向量与任何向量共线;单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三举一反三 1.已知下列命题:如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同;在ABC中,必有 ;若 ,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.30CABCAB 0CABCAB 解析：错误,a+b=0时,就不满足结论;正确,;错误,A、
5、B、C三点还可以共线;错误,只有a与b同向时才相等.答案：B0AC-ACBACACB题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算分析 根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式表示，充分运用加、减法的运算法则完成.证明 方法一：在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=0.在四边形ABFE中，EF+FB+BA+AE=0.+，得【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：.12EFABDC（）（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.E、F分别是AD、BC的中点，FC+FB=0，DE+AE=0，2EF=-CD-BA=A
6、B+DC，即 .12EFABDC方法二：取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.E为AD的中点，F是BC的中点，.又12AEAD12AFABAC111.222112212ACADDCAFABADDCABDCADEFAFABDCADAEABDC举一反三举一反三DCOCb,OBa,OA2.如图，在OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使 ,DC与OA交于E;设 试用a,b表示向量 和向量 .BBO31 D解析：A是BC的中点,OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.35322132学后反思 平面向量的线性运算
7、常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则 （其中A可以是任意一点）.（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定理只有在ABCD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关系不一定成立（只有在AB与DC共线时成立）.10,2FCFBAFABAC【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+
8、8b.求证:A、B、D三点共线.题型三题型三 向量的共线问题向量的共线问题分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理，得到BD=AB(或AD=AB等).BDAB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.证明 BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b),BD=5AB.由向量共线定理得BDAB.又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.学后反思 (1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(
9、2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.3.设两个非零向量 不共线,已知 ,若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：若A、B、D三点共线,则ABBD,从而存在唯一实数,使AB=BD，即 不共线,举一反三举一反三12,e e1212122,3,2ABeke CBee CDee1212122(3)4BDCD CBeeeeee12,e e121224ekeee1224eke 整理得20,2,k40,k8,解得即当k=-8时,A、B、D三点共线.题型四 向量知识的综合
10、应用分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=k c.【例4】(12分)已知向量其中 为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数,使向量d=a+b与c共线?121212a2e3e,b2e3e,c2e9e,12,e e解 要使cd,则应存在实数k,使d=kc.6即 不共线,=-2.10121212dab2e3e2e3e22e33e.412121222e33ek 2e9e2ke9ke,.8222k,339k 12,e e故存在这样的实数,满足=-2,能使d与c共线.12学后反思 设 不共线,若 本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.12,e e1 1221 122eek ek e,
11、1122k,k则有举一反三举一反三4.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,若实数满足AB+AC=AP,求的值.解析：AB+AC=AP,PB-PA+PC-PA=AP,即PB+PC-2PA=AP.又PA+PB+PC=0,PB+PC=-PA,-3PA=AP=-PA,-3=-,即=3.【例】下列命题正确的是（）A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量易错警示易错警示错解一 因为向量a与b共线，所以a
12、=b,又因为向量b与c共线，所以b=c，则a=c,向量a与c共线，故选A.错解二 因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，向量a与c不共线，故选B.错解三 因为向量AB与CD是共线向量，所以A、B、C、D四点共线，所以应选C.1212 正解 解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得到正确结论.选项A中用了非零向量共线的传递性，而条件中没有非零向量的条件，若b=0，结论显然不成立.选项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项C中向量AB与CD共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.错解分析 错解一中对零向量的认识不到位，
13、忽略了零向量与任意向量共线；错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向量与点共线在认知上的错位.考点演练考点演练已知直线x+y=a与圆 交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.224xy解析:如图所示,以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,OACB为矩形,OAOB.由图象得,直线y=-x+a在y轴上的截距为2 答案:2 11.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国象棋的半个棋盘（48个矩形中，每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到 处，也可跳到 处，用向量 表示马走了“一步
14、”.试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.1A2A12AAAA、解析：如图，以点C为起点作向量（共8个），以点B为起点作向量（共3个）.12.一艘船以 km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，而船的实际速度是10 km/h，求水流的速度和船行驶的方向（用与水流方向间的夹角表示）.5 3解析：如右图所示，设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB为边作ABCD，则AC表示的就是船实际航行的速度.在RtABC中，|AC|=10，|BC|=，|AB|=tanCAB=,且CAB为锐角,CAB=60.22100755ACBC5 33答：水流速度为5 km/h，船行驶方向与水流方
15、向的夹角为60.第二节第二节 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 .2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数 ,使 .其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.
16、21e,e21,.eea221112e,e不共线的向量非零000180000180090ab有且只有互相垂直不共线(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y,使a=xi+yj.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a=,其中 叫a在x轴上的坐标,叫a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A ,B ,则AB ,即一个向量的坐标等于该向量 的坐
17、标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=,b=,其中b0,则a与b共线向量aba+ba-b坐标a)y,x(11)y,(x11)y,(x22)y,(x11)y,(x221212,yyxx)y,(x11)y,(x22a,)x y（,)x y（xy向量OA的坐标（x,y),)x y（1212,)xxyy（1212,)xxyy（终点1221x y-x y0.b始点题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理【例1】如图,在OAB中,OC=OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM.分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向
18、量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.141-ab41CMOM-OCm-n,4ab解 设OM=ma+nb(m,nR),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.而CB=OB-OC ,又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1.由 ,解得 ,所以b.21-aa-b21OA-ODAD21n1-1-m1m-n411-4m2n1,4mn11m,73n713ab77OM学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法
19、则、中点坐标公式的熟练应用.举一反三举一反三已知 =(1,2),=(-2,3),a=(-1,2),以 为基底将a分解为 的形式.1e2e12,e e1 12 2ee解析：1 12 212121211212122(1,2)(2,3)(2,23).1,2121147,2324777aeeaaee 解得题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标.BA31-DAAB,31 AC分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.解 设点C、D的坐标分别为 由题意得因为 所以有 和 解得 和
20、 所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).(-3,-6).BA),y-,2x-(-1DA(3,6),AB2),-y1,(xAC2211),y,(x),y,(x221122-y1,1x112,y-21,x-1-224y0,x110,y-2,x22BA31-DAAB,31 AC学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一个“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且C
21、M=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标.举一反三举一反三解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),M(0,20).同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).20,y0,x24,4y3,3x题型三题型三 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a a=(3,2),b b=(-1,2),c c=(4,1).(1)若(a a+kc c)(2b b-a
22、a),求实数k;(2)设d d=(x,y),满足(d d-c c)(a a+b b),且|d d-c c|=1,求d d.分析 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|d-c-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.解 (1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k .(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解得 或 d=或 1316-1,1)-(y4)-(x0,1)-2(y-4
23、)-4(x225521y,554x5521y,554x552,15545521,554学后反思 (1)与平行有关的问题,一般地,可考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解.(2)向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.举一反三举一反三3.a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？解析：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b
24、=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b),即（k-3,2k+2）=(10,-4)，得当k=-时，ka+b与a-3b平行，此时ka+b=-a+b=-(a-3b).=-0,ka+b与a-3b反向.k3101,k.2k243 解得13131313题型四题型四 向量的综合应用问题向量的综合应用问题【例4】（12分）已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.分析 利用向
25、量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.解 (1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).2若P在x轴上,则2+3t=0,解得t ;若P在y轴上,则1+3t=0,解得 ;.4若P在第二象限,则 解得 .632-0,3t20,3t131t3132-t(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),8若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而 无解,.10四边形OABP不能成为平行四边形.1223t-31,3t-3学
26、后反思 (1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样,很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性.(2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而利用方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.4.已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若AP=AB+AC(R).(1)试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上;（2）试求为何值时，点P在第三象限内.举一反三举一反三解析：设点P的坐标为（x,y），则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+AC=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,
27、1)+(5,7)=(3+5,1+7).由AP=AB+AC，得（x-2,y-3）=（3+5,1+7）,x235x55y31 7y47（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7,解得=.因此，当=时，点P在第一、三象限的角平分线上.（2）若点P在第三象限内，则有-1.因此，当-1时，点P在第三象限内.x550,y470,1212易错警示易错警示【例1】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .错解 由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),.552,5552(2,4)|AB|AB错解分析 与AB共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反
28、向共线这一情况.正解 与AB同向时为 与AB反向时为 .552,55|AB|AB.552,-55|AB|AB【例2】已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行于直线CD吗?错解 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2),又22-41=0,ABCD,ABCD.错解分析 在证三点共线或直线平行时,直接由ABCD得ABCD,这是不正确的,因为向量平行与直线平行存在一定的差异:向量平行不等于对应的直线平行,还可能出现直线的重合;而直线平行时,对应的向量平行.所以解题时应区分开这一点.正解 AB=(1-(
29、-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2),又22-41=0,ABCD.又AC=(1-(-1),5-(-1)=(2,6),AB=(2,4),A,B,C三点不共线,直线AB与直线CD不重合,ABCD.10.(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是.考点演练考点演练解析:建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos 120,sin 120），即设AOC=，则OC=（cos，sin）.OC=xOA+yOB=(x,0)+=(cos,sin
30、)，0120，30+30150.则当=60时，x+y取最大值，最大值为2.13,22B3,22yy0sincoscos23,2sin3sin323sincos2sin30yxxyyxy 11.若对几个向量 存在n个不全为零的实数 使得 成立,则称这几个向量为“线性相关”.依此规定,求 “线性相关”的实数 .(写出一组数值即可,不必考虑所有情况)n321a,a,a,a,k,k,k,kn3210akakaknn2211(2,2)a(1,-1),a(1,0),a321321k,k,k解析：由“线性相关”定义可知 即 所以 取 ,则因此,即为所求的一组值.0,akakak332211(0,0),)2k
31、,-k2kk(k3232100,2kk-0,2kkk323211k3-4.k2,k12答案:21k3-4.k2,k1212.已知ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F.求DF.解析：如图所示,A(7,8),B(3,5),C(4,3),AB=(3-7,5-8)=(-4,-3),AC=(4-7,3-8)=(-3,-5).D是BC的中点,AD=(AB+AC)=(-,-4).又M、N分别为AB、AC的中点,F为AD的中点,DF=-AD=(,2).21217274第三节第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例平面向量的数量积
32、及平面向量的应用举例基础梳理基础梳理1.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,并规定零向量与任一向量的数量积为 .(2)一向量在另一向量方向上的投影定义设是a和b的夹角,则 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做 的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当090时,它是 ;当900,即把ab=3,代入上式得 ,解得 或 ,又a+b与a+b的夹角为锐角,所以 ,即1,所以 3.22230.ba)b(aba22221192|b|a|ba2222031132685-11-68511-
33、11,1,68511-685-11-,题型四题型四 综合应用问题综合应用问题【例4】已知向量 若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.t).x,-(1b1),x,(xa2分析 先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解,注意x的取值范围.解 因为f(x)=ab=,所以 .若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上 0,所以而当t5时,在(-1,1)上满足 0,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为5,+).t2x-3x(x)f2ttxx-x1)t(xx)-(1x232 xf 5.t0t1-0,t5-0(1)f0
34、,(-1)f0f(x)xf xf 学后反思 新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角函数、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识综合的问题必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式 ,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.t2x-3x(x)f2举一反三举一反三 4.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m).(1)若点A、B、C能构成三角形,求实数m应满足的条件;(2)若ABC为直角三角形,且A为直
35、角,求实数m的值.解析:(1)OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m).若点A、B、C能构成三角形,则这三点不共线,AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),故知3(1-m)2-m.实数m 时,满足条件.21(2)若ABC为直角三角形,且A为直角,则ABAC,3(2-m)+(1-m)=0,解得.47m 易错警示易错警示【例】在ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,已知ab=bc=ca,则ABC的形状是.错解一 ab=bc=ca,|ab|=|bc|=|ca|,由此得 即a bb cb cc ac aa b(ac)b0(ba)c0.(cb)a0，a,b,c均为非零向
36、量，|a|=|b|=|c|,故ABC是正三角形.错解分析 上述解法得到的结论是对的，但推理过程是错误的，错误的原因是由不能推出成立.由向量的数量积的定义可知，ab=|a|b|cos,由于-1cos 1，所以|ab|a|b|，当且仅当=0或=，即a与b共线时等号成立，题目中的向量a,b,c之间均不是共线向量，因此，不能由成立.错解二 bc=ca,c(b-a)=0,c0,b=a.同理可得b=c，因此，ABC是正三角形.错解分析 上述解法得到的结论是对的，但推理过程是错误的，错误的原因在于：由c(b-a)=0,c0不能推出b=a.由向量的数量积的性质可知，当a，b都是非零向量时，有abab=0,所以
37、，由c(b-a)=0,c0不能得到b-a=0,即b=a.错解三 bc=ca,|b|c|cos A=|c|a|cos B,|c|0,|b|cos A=|a|cos B.由正弦定理得sin Bcos A-cos Bsin A=0,即sin(A-B)=0，A=B.同理可得B=C，故ABC为正三角形.错解分析 上述解法得到的结论是正确的，但推理过程是错误的，错误的原因在于对向量夹角的概念在理解上产生了偏差，向量b与c的夹角是-A，而不是A，同样地，向量c与a的夹角是-B，而不是B.正解方法一：如图所示，取BC边上的中线AD，由平行四边形的性质得c-b=2AD.由已知条件得（c-b）a=0,所以2ADa
38、=0,所以ADBC,故|AB|=|AC|.同理可得|AB|=|BC|，故ABC为正三角形.方法二：bc=ca,c(b-a)=0.c=-(a+b),-(a+b)(b-a)=0,，即|a|=|b|.同理可得|b|=|c|，故ABC为正三角形.22ab方法三：ab=|a|b|cos(-C),bc=|b|c|cos(-A),ca=|c|a|cos(-B),由正弦定理得tan A=tan B=tan C.A，B，C都是ABC的内角，A=B=C，故ABC为正三角形.coscoscos=BCAbca10.(2009南京模拟)设向量a,b的夹角为,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sin=.考点演练考点
39、演练解析:设b=(x,y),a=(2,1),a+3b=(5,4),b=(1,1),23x5,x1,1 3y4,y1即，22 13 10cosa b1052100,sin 1 cos.10a b又答案：10.1011.(2010潍坊模拟)已知xR,向量 f(x)=OAOB,a0.(1)求函数f(x)的解析式,并求当a0时,f(x)的单调递增区间;(2)当x 时,f(x)的最大值为5,求a的值.2acos x,1,(2,3asin 2xa)OAOB0,2解析 即f(x)的单调递增区间为 2(1)f x2acos x3asin 2xa3 sin2cos22asin(2x).a0,62k2x2kkZ,
40、266axax令kxkkZ,36k,kk Z,36(2）若a0,当 时,f(x)的最大值为2a=5,则a=；若a0,当 时,f(x)的最大值为-a=5,则a=-5.7f x2asin 2x,x0,2x,62666当时2x625272x6612.（2009湖北）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).（1）求向量b+c的长度的最大值；（2）设=，且a(b+c)，求cos 的值.4解析 （1）方法一：b+c=(cos-1,sin)，-1cos 1,0|b+c|24,即0|b+c|2.222bccos 1sin2 1 cos.当cos=-1时，有|b+c|=2,向量
41、b+c的长度的最大值为2.方法二：|b|=1,|c|=1,|b+c|b|+|c|=2,当cos=-1时，有b+c=(-2,0),即|b+c|=2.所以向量b+c的长度的最大值为2.4（2）方法一：由已知可得b+c=(cos-1,sin),a(b+c)=cos cos+sin sin-cos=cos(-)-cos.a(b+c),a(b+c)=0,即cos(-)=cos.由=,得cos（-）=cos ,即-=2k (kZ),=2k+或=2k(kZ),于是cos=0或cos=1.44442方法二：若 ,则a=由b=(cos,sin),c=(-1,0)得a(b+c)=（cos-1,sin）=cos+sin-.a(b+c),a(b+c)=0，sin=1-cos,平方后化简得cos(cos-1)=0,解得cos=0或cos=1.经检验，cos=0或cos=1即为所求.422,2222,22222222
