1、 1 天门 市 2016-2017学年度第一学期期末考试 试题 高二数学 (文科 ) 全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 一、选择题（本大题共 12小题， 每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 ( , 2 ), ( 3, 0 )A x B? ，若直线 AB的斜率为 2，则 x的值为 A -1 B 2 C -1或 2 D -2 2已知三条直线 a、 b、 c和平面 ? ，下列结论正确的是 A若 a/? ， b/? ，则 a/b B若 ,a c b c?，则 a/b C若 a ? ， b/? ，则 a/b D ,ab?，则 a/b 3若直线
2、0x y m? ? ? 与圆 22x y m?相切，则 m的值为 A 0 或 2 B 2 C 2 D无解 4已知实数 ,xy满足关系 1311xyxy? ? ? ? ? ?，则 42xy? 的取值范围是 A 0,10 B 0,12 C 2,12 D 2,10 5如图，四边形 ABCD是圆柱的轴截面， E是底面圆周上异于 A、 B的一点，则下面结论中错误的是A AE CE? B BE DE? C DE CE? D ADE BCE?面 面 6直线 (2 1)y mx m? ? ? 恒过定点，则此点是 A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， -2） D（ -2， 1） 7若对任意实数 x?R
3、 ，不等式 2 2 3 0x mx m? ? ? ?恒成立，则实数 m的取值范围是 A 2， 6 B -6， -2 C（ 2， 6） D（ -6， -2） 8若一个正三棱柱的 三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 2 A 2， 23 B 22， 2 C 4， 2 D 2， 4 9在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 1AD 与 BD 所成的角为 A 45 B 090 C 060 D 0120 10已知抛物线 2:8C y x? 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4FP FQ? ，则 |QF 等于 A 72
4、B 3 C 52D 2 11椭圆 22116 4xy?上的两点 A、 B关于直线 2 2 3 0xy? ? ? 对称，则弦 AB 的中点坐标为 A（ -1， 12） B（ 12， -1） C（ 2， 12） D（ 12， 2） 12已知直角坐标平面 O XY? 上的动点 P 到定点 (1,0)F 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记 P 点的轨迹为曲线 C ，则直 线 : 2 3 4 0l x y? ? ?与曲线 C 的交点的个数为 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 13在正方体 1AC 中，若
5、过 A、 C、 1B 三点的平面与底面 1 1 1 1ABCD 的交线为 l，则 l与 AC 的位置关系是 14已知直线经过点 P（ 1， 2），且与直线 23yx?平行，则该直线方程为 15已知 AB是 O的直径，且 4AB? ， PA垂 直 O所在的平面， C是圆周上的点，且 2AC? 则点C 到平面 PAB的距离为 16双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?一条渐近线的倾斜角为3?，离心率为 e，则 2aeb?的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17（本小题满分 10
6、分） 3 已知：如图，空间四边 形 ABCD中， E， F分别是 AB， AD的中点 求证： EF/平面 BCD 18 （本小题满分 12分） 自圆 224xy?上的点 A（ 2， 0）引此圆的弦 AB，求弦 AB 的中点轨迹方程 19 （本小题满分 12分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 90BAC? ? ? ， 2AB AC?， 1 4AA? ， 1A 在底面 ABC的射影为 BC的中点， D是 11BC 的中点 . （ ）证明： 11AD ABC?平 面 ； （ ）求四棱锥 1 1 1A BBCC? 的体积 . 20 （本小题满分 12分） 有一椭圆形溜冰场，长轴长
7、100m，短轴长 60m 现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形 的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？ 21 （本小题满分 12分） 如图，已知四边形 ABCD是矩形， AD=4， AB=2， E、 F分别 是线段 AB、 BC的中点， PA面 ABCD （）证明 PF FD； （）在 PA 上找一点 G，使得 EG/平面 PFD 22 （本小题满分 12分） 已知向量 1 (0, )x?m ， 1 (1,1)?n ， 2 ( ,0)x?m ， 22 ( ,1)y?n （其中 x、 y 是实数），又设向量122?m m n ， 212
8、?n m n ，且 /mn，点 ( , )Px y 的轨迹为曲线 C 4 （）求曲线 C的方程； （）设曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M，过点 M 作一条直线 l 与曲线 C 交于另一点 N，当42|3MN? 时，求直线 l的方程 5 天门市 2016 2017学年度第一学期期末考试 高二数学 (文科 )参考答案及评分标准 一、选择题： （ 1 5）： BDBDC;（ 6 10）： DADCB;（ 11 12） CD. 二、填空题 :13 平行 14 2yx? 15 3 16 263 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对
9、应题号指定框内。 17（本小题满分 10分） 证明：连接 BD 因为 AE=EB， AF=FD， 所以 EF/BD（三角形中位线的性质） 5分 因为 EF? 平面 BCD， BD? 平面 BCD， 由直线与平面平行的判定定理得 EF/平面 BCD 10分 18 （本小题满分 12分） 解：设 AB的中点 P（ x， y） ， B（ 1x ， 1y ） ， 则有 22114xy?，且1 22xx ?，1 02yy ?， 3 分 所以 1 22xx?， 1 2yy? ， 所以 22(2 2) (2 ) 4xy? ? ?，即 22( 1) 1xy? ? ? 8 分 当 A、 B重合时， P点与 A点
10、重合，不合题意， 10 分 所以所求轨迹方程为 22( 1) 1 ( 2)x y x? ? ? ? 12 分 19 （本小题满分 12分） 解： （ ） 设 E为 BC的中点，连接 1 , , ,AE AE DE 由题意得 1AE ABC?平 面 所以 1AE AE? 因为 AB AC? ，所以 AE BC? 故 1AE ABC?平 面 3分 6 由 D， E分别为 11BC ， BC的中点， 得 11/DE B B DE B B?且 ，从而 11/DE A A DE A A?, ， 所以四边形 1AAED 为平行四边形 故 1 /AD AE ,又因为 1AE ABC?平 面 ， 所以 11A
11、D ABC?平 面 6分 （ ） 由 112 , 9 0 , 4A E E B A E A A A? ? ? ? ? ?， 得 1 14AE? ， 2ABCS? ? -9分 由1 1 1 1111 ,3A A B C A B C A B C A B C A B CV A E S V A E S? ? ? ?， 得1 1 1 1 1 12 2 4 1 42 1 43 3 3A B B C C A B C A B CVV? ? ? ? ?-12分 20 （本小题满分 12分） 解：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为 x 轴和 y 轴，如图建立平面直角坐标系 xOy，设矩形 ABCD的各顶点都在
12、 椭圆上 1分 因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形 ABCD 关于原点 O 及 x 轴、 y 轴都对称 4分 已知椭圆的长轴长 2a=100(m)，短轴长 2b=60(m)， 则椭圆的方程为 22150 30xy? 5分 设顶点 A的坐标为 0 0 0 0( , ), 0, 0x y x y?， 则 2200150 30xy?，得 22 2 200230 (50 )50yx?根据矩形 ABCD的对称性，可知它的面积 004S xy? 由于 2 2 2 2 42 2 2 2 2 4 2 2 2 20 0 0 0 0
13、0 02 2 23 0 3 0 3 0 5 0 5 0( 5 0 ) ( 5 0 ) ( ) )5 0 5 0 5 0 2 4x y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?因此，当 220 502x ?时， 2200xy达到最大值，同时 004S xy? 也达到最大值 这时 0025 2 , 15 2xy? 8分 矩形 ABCD的周长为 004 ( ) 4 ( 2 5 2 1 5 2 ) 1 6 0 2xy? ? ? ?(m) 10 分 7 因此在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距 252 m（约 35.35m）的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域
14、的顶点；这个矩形区域的周 长为 1602 m（约等于 226.27m） 12 分 21 （本小题满分 12分） 解：（）证明：连结 AF， 因为在矩形 ABCD中， AD=4， AB=2, F分别是线段 BC的中点， 所以 AF FD 2分 又因为 PA面 ABCD，所以 PA FD 4分 又 AF PA=A，所以平面 PAF FD 所以 PF FD 6分 （）过 E作 EH/FD交 AD于 H，则 EH/平面 PFD 且 14AH AD? 8分 再过 H作 HG/DP交 PA于 G，则 HG/平面 PFD 且 14AG AP? 10分 所以平面 EHG/平面 PFD，所以 EG/平面 PFD
15、 从而满足 14AG AP?的点 G为所找 12 分 22 （本小题满分 12分） 解： （）由已知， 22( 0 , ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )x y y x? ? ? ?m 1分 ( , 0 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )xx? ? ? ? ?n 2分 因为 /mn，所以 22 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0y x x? ? ? ? ? 即所求曲线的方程是 2 2 12x y? 6分 （） 由（）求得点 M（ 0， 1），显然直线 l与 x轴不垂直， 故可设直线 l的方程为 1y kx? 7分 由 2 2 121x yy kx? ? ?，消去 y，得 22(1 2 ) 4 0k x kx? ? ?， 解得12 240, 12kxx k?（ 12,xx分别为 M、 N的横坐标） 8 由 2212 24 4 2| | 1 | | 1 | |1 2 3kM N k x x k k? ? ? ? ? ?解得 1k? ,所以直线 l的方程式为 1 0 1 0x y x y? ? ? ? ? ?或 12分
