1、 1 2016-2017 学年度上学期期末考试 高二数学（文）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 2 i1 2i的共轭复数是 ( ) A 35i B.35i C i D i 2. 函数 f(x) x3 3x2 4x a的极值点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D由 a 确 定 3. 与直线 2x y 4 0平行的抛物线 y x2的切线方程是 ( ) A 2x y 3 0 B 2x y 1 0 C 2x y 1 0 D 2x y-3 0 4. 设 a， b都是不等于 1的正数，则“ 3 3 3
2、ab?”是“ log 3 log 3ab? ”的 ( ) 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5. 下列判断错误的是（ ） A 若 qp? 为假 命题，则 qp, 至少之一为假命题 B. 命题 “ 01, 23 ? xxRx ” 的否定是 “ 01, 23 ? xxRx ” C “ 若 ca/ 且 cb/ ，则 ba/ ” 是真命题 D “ 若 22 bmam ? ，则 ba? ” 的否命题是假命题 6.函数 f(x) x2 2ln x的单调递减区间 是 ( ) A (0,1) B (1， ) C ( ， 1) D ( 1,1) 7. 若函数 f(x) x3
3、6bx 3b在 (0,1)内有最小值，则实数 b的取值范围是 ( ) A (0,1) B.? ?0， 12 C ( ， 1) D (0， ) 8. 函数 f(x) sinx 2xf ( 3)， f ( x)为 f(x)的导函数，令 a 12， b log32，则下列关系正确的是 ( ) A f(a)f(b) C f(a) f(b) D f(|a|)f(b) 2 9. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 xxxf cos41)( 2 ? ， )( xf 是函数 ?fx的导函 数，则 ?fx? 的图象大致是（ ） A. B. C
4、. D. 11. 已知椭圆： 222 1(0 2)4xy bb? ? ? ?，左、右焦点分别为 12,FF，过 1F 的直线 l 交椭圆于 ,AB两点，若 22| | | |BF AF? 的最大值为 5，则 b 的值是（ ） A 1 B 3 C 32 D 2 12. 已知函数 f(x)满足 f(x) f( x)，且当 x ? ? 2， 2 时， f(x) ex sin x，则 ( ) A f(3) f(1) f(2) B f(2) f(3) f(1) C f(3) f(2) f(1) D f(1) f(2) f(3) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中横线上）
5、 13. 函数 y 2 3x x 4在点 (-12 ,174 )处的切线的斜率为 . 14. 若命题 “ ? x R，使得 x2+（ a 1） x+1 0” 是真命题，则实数 a的取值范围是 15. 若曲线 1yx?(R) 在点 (1,2)处的切线经过坐标原点 ,则 = . 16.已知函数 f(x) 12 mx2 ln x 2x在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为 _ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 12 分 )已知函数 f（ x） =x 2lnx（ a R）求曲线 y=f（ x）在点 A（ 1， f（ 1）处的切线方程 和 极值 3 18.
6、(本小题满分 12分 ) 已知 p：指数函数 f(x) (2a 6)x在 R 上是单调减函数； q：关于 x 的方程 x2 3ax 2a2 1 0的两根均大于 3，若 p或 q 为真， p且 q为假，求实数 a的取值范围 19. (本题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切 线为 l： 3x y 1 0，若 x 23时， y f(x)有极值 (1)求 a， b， c的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 20. (本题满分 12 分 ) 已知两点 A(-2,0)、 B(2,0),动点 P 与 A、 B 两点连线
7、的斜率 kPA、 kPB 满足kPA kPB=- . (1)求动点 P的轨迹 E 的方程 ; (2)若 H是曲线 E与 y 轴正半轴的交点 ,则曲线 E上是否存在两点 M、 N,使得 HMN是以 H为直角顶点的等腰直角三角形 ?若存在 ,请说明满足条件的 M、 N有几对 ;若不存在 ,请说明理由 . 4 21. (本题满分 12分 ) 已知函数2() 1axf x ax?， g(x) ?aln x ?x(a ?0) （） 求函数 f (x)的单调区间； （） 证 明 ：当 a 0时，对于任意 x1， x2 (0， e，总有 g(x1) f(b) C f(a) f(b) D f(|a|)f(b)
8、 9. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ A ） A. B. C. D. 10. 已知函数 xxxf cos41)( 2 ? ， )( xf 是函数 ?fx的导函数，则 ?fx? 的图象大致是（ A ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆： 222 1(0 2)4xy bb? ? ? ?，左、右焦点分别为 12,FF，过 1F 的直线 l 交椭圆于 ,AB两点，若 22| | | |BF AF? 的最大值为 5，则 b 的值是（ B ） 6 A 1 B 3 C 32 D 2 12. 已知函数 f(x)满足 f(x) f( x)，且当 x ? ? 2， 2 时，
9、f(x) ex sin x，则 ( A ) A f(3) f(1) f(2) B f(2) f(3) f(1) C f(3) f(2) f(1) D f(1) f(2) f(3) 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中横线上） 13. 函数 y 2 3x x 4在点 (-12 ,174 )处的切线的斜率为 12 . 14. 若命题 “ ? x R，使得 x2+（ a 1） x+1 0” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 a3 或a0， a2； 对称轴 x 3a2 3a23； g(3)0， 即 32 9a 2a2 1 2a2 9a 100，所以 (a 2)(2a
10、5)0.所以 a52. 7 由? a2，3a2 3，a52，得 a52. p真 q假，由 352，得 520), 则 HN所在直线的方程为 y=- x+1. 联立 ,消去 y整理得 (1+4k2)x2+8kx=0,得 xM=- , 将 xM=- 代入 y=kx+1可得 yM=- +1,故点 M 的坐标为 (- , +1). 所以 |HM|= , 同理可得 |HN|= , 由 |HM|=|HN|,得 k(4+k2)=1+4k2, 所以 k3-4k2+4k-1=0,整理得 (k-1)(k2-3k+1)=0, 解得 k=1 或k= . 当直线 HM的斜率 k=1 时 ,直线 HN 的斜率为 -1;
11、当直线 HM 的斜率 k= 时 ,直线 HN的斜率为; 当直线 HM的斜率 k= 时 ,直线 HN的斜率为 . 综上所述 ,符合条件的 M、 N有 3对 . 21. (本题 满分 12 分 ) 已知函数2() 1axf x ax?， g(x) ?aln x ?x(a ?0) （） 求函数 f (x)的单调区间； （） 证 明 ：当 a 0时，对于任意 x1， x2 (0， e，总有 g(x1) 0时，当 x变化时， f ( x)， f(x)的变化情况如 下表： x ( ， 1) 1 ( 1， 1) 1 (1， ) f ( x) 0 0 9 f (x) 当 a0时， f (x)的单调递增区间为
12、( 1， 1)，单调递减区间为 ( ， 1)， (1， ) ； 当 a0时， f (x)在区间 (0， 1)上单调递增， f (x) f (0) a； f (x)在区间 (1， e上单调递减，且 f (e) aee2 1 aa， 所以当 x(0 ， e时， f (x)a. ?6 分 因为 g(x) aln x x，所以 g( x) ax 1，令 g( x) 0，得 x a. 当 a e时， g( x)0 在区间 (0， e上恒成立， 所以函数 g(x)在区间 (0， e上单调递增，所以 g(x)max g(e) a e0， 得 0a， 所以函数 g(x)在区间 (0，a)上单调递增 ， 在区间
13、 (a， e上单调递减 所以 g(x)max g(a) aln a a. ?9 分 因为 a (aln a a) a(2 ln a)a(2 ln e) a0， 所以对任意 x1， x2 (0， e， 总有 g(x1)f (x2) ? 12分 22. (本题满分 12分 ) 平面直角坐标系xOy中，曲线1)1(: 22 ? yxC.直线经过点)0,(mP，且倾斜角为6?.以O为极点，以x轴 正半轴为极轴，建立极坐标系 . （ 1）写出曲线C的极坐标方程与直线的参数方程； （ 2）若直线与曲线 相交于BA,两点，且1? PBPA，求实数m的值 . (1)C曲 线 的 普 通 方 程 为 :2 2
14、2 2( 1 ) 1 , 2 ,x y x y x? ? ? ? ?即即2 2 cos? ? ?, : 2 c osC ?即 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为. ?2 分 10 32 ( ) .12x m tltyt? ? ?直 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数?5 分 (2)12, , ,A B t t l设 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入222,x y x?中( 3 3 ) 2 0 ,t m t m m? ? ? ? ?得212 2t t m m?所 以, ?8 分 2| 2 | 1 , 1 , 1 2 1 2m m m? ? ? ? ?由 题 意 得 得 或?10 分
