1、 - 1 - 2017 2018学年度第一学期期末考试 高二数学试题 (理科 ) 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上 . 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效 . 3. 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 . 4. 考试结束，请将答题卡上交 . 一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足 题目要求的 .) 1.设复数 z 满足 (
2、1 ) 2i z i?，则 z = ( ) A 12 B 22 C 2 D 2 2.已知命题“存在 x0 R，使 2x20 (a 1)x0 12 0”是假命题，则实数 a的取值范围 ( ) A (， 1) B ( 1,3) C ( 3， ) D ( 3,1) 3.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h 120 km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ( ) A 30辆 B 1700辆 C 170辆 D 300辆 4.用数学归
3、纳法证明 1 2 3? n2 n4 n22 ，则当 n k 1时左端应在 n k 的基础上加上( ) A k2 1B (k 1)2 C. k 14 k 1 22 D (k2 1) (k2 2) (k2 3)? (k 1)2 - 2 - 5.已知正四面体 ABCD的棱长为 a，点 E， F分别是 BC， AD的中点，则 AE AF 的值为 ( ) A a2B.12a2C.14a2D. 34 a2 6.直线 y 4x与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A 4 B42C 2 D227.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2
4、位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力 测试中的成绩 (单位：分 )已知甲组数据的中位数为 15，乙组 数据的平均数为 16.8，则 x， y的值分别为 ( ) A 2,5B 5,5C 5,8D 8,8 9.已知条件 p： x2 2x 30；条件 q： xa，且 q? 的一个充分 不必要条件是 p? ，则 a的取值范围是 ( ) A 1， )
5、 B ( ， 1C (1， ) D ( ， 3 10.已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 12, 2 2AB CC?， E 为 1CC 的中点，则直线 1AC与平面 BED 的距离为 ( ) A 1 B 3 C 2 D 2 11. 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)与直线 : 3 0l x y m? ? ?交于 1 1 2 2( , ), ( , ),M x y N x y其中 1 1 2 20 , 0 , 0 , 0 ,x y x y? ? ? ?，若 0OM OQ?,且 30MNQ?,则双曲线 C 的渐近线方程为（） A 12yx? B yx?
6、 C 2yx? D 2yx? 12. 设函数 ()fx= (2 1)xe x ax a? ? ?，其中 1a? ，若存在唯一的整数 0x ，使得 0( ) 0fx? ，则 a 的取值 范围是（） A - ， 1） B - ， ） C ， ） D ， 1） 二 .填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 .请把答案填写在答题纸的相应横线上 .） - 3 - 13. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，则应从一年
7、级本科生中抽取 _名学生 14做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27? ，且用料最省，则圆柱的底面半径为_ 15.设函数 ()fx是奇函数 ( )( )f x x R? 的导函数 , ( 1) 0f ?，当 0x ? 时， ( ) ( ) 0xf x f x?，则使 得 ( ) 0fx? 成立的 x 的取值范围是 _ 16 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线与抛物线 C2： x22py(p 0)交于点 O、 A、 B.若 OAB的垂心为 C2的焦点，则 C1的 离心率为 _ 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 10分） 已知 :p “直线 0x y m? ? ? 与圆 22( 1) 1xy?相交”； q ：“方程 2 40mx x m? ? ? ?有一正根和一负根” .若 p 或 q 为真，非 p为真，求实数 m 的取值范围 . 18.（ 本小题满分 12 分 ）设函数 2( ) ln ( 0 )f x a x bx x? ? ?，若函数 ()fx在 1x? 处与直线12y? 相切 （ 1） 求实数 ,ab的值； （ 2） 求函数 ()fx在 1,ee?上的最大值 19.（本小题满分 12 分） 已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点
9、，斜率为 22的直线交抛物线于 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y x x?两点，且 9AB? . (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点， C为抛物线上一点，若 OC OA OB?，求 ? 的值 20. （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD?中， AB CD ，且 90BAP CDP? ? ? ?. （ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （ 2）若 PA PD AB DC? ? ?， 90APD?，求二- 4 - 面角 A PB C?的余弦值 . 21.（ 本小题满分 12分 ） 一张坐标纸上涂着圆 E： 22( 1) 8x
10、y? ? ? 及点 P（ 1， 0），折叠此纸片，使 P 与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折 痕与直线 EP交于点 M （ 1）求 M的轨迹 C的方程； （ 2）直线 :l y kx m?与 C 的两个不同交点为 A， B，且 l 与以 EP 为直径的圆相切，若23,34OA OB ?，求 ABO的面积的取值范围 22.（ 本小题满分 12分 ） 已知函数221( ) ( ) ,xf x a x In x a Rx ? ? ? ?. （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 1a? 时，证明 : 3( ) ( ) 2f x f x?对于任意的 ? ?1,2x? 成立 . - 5
11、 - 长安一中 2017 2018学年度第一学期期末考试 高二数学试题 (理科 )参考答案 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D C A D C A A B D 二 .填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 .请把答案填写在答题纸的相应横线上 .） 13. 60 14 3 15.( , 1) (0,1)? ?16 32 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（注意：
12、在试题卷上作答无效） 17.（本小题满分 10 分） 解析：对 p：直线与圆相交， d |1 m|2 1. 2 1 m 2 1. 对 q：方程 mx2 x m 4 0有一正根和一负根， 令 f(x) mx2 x m 4， ? m 0，f?0? 0 或 ? m 0，f?0? 0 解得 0 m 4. 又 p 为真， p假 .又 p或 q为真， q为 真 . 由数轴可得 2 1 m 4.故 m的取值范围是 2 1 m 4. 18.（ 本小题满分 12分 ）解 (1)f (x) ax 2bx，函数 f(x)在 x 1处与直线 y 12相切， ? f 1 a 2b 0，f 1 b 12， 解得 ? a
13、1，b 12. (2)由 (1)知， f(x) lnx 12x2， f (x) 1x x 1 x2x ， - 6 - 当 1e x e时，令 f (x)0，得 1e x nmnm nm，所以二面角 A PB C?的余弦值为 33? . 21.（ 本小题满分 12 分 ）解：（ 1）折痕为 PP 的垂直平分线，则 |MP|=|MP| ，由题意知圆E 的半径为 2 ， |ME|+|MP|=|ME|+|MP|=2 |EP|， E的轨迹是以 E、 P为焦点的椭圆，且 a= ， c=1， b2=a2 c2=1， M的轨迹 C的方程为 =1 （ 2） l 与以 EP为直径的圆 x2+y2=1相切， 则 O
14、到 l即直线 AB的距离： =1，即 m2=k2+1， 由 ，消去 y，得（ 1+2k2） x2+4kmx+2m2 2=0， 直线 l与椭圆交于两个不同点， =16k2m2 8（ 1+2k2）（ m2 1） =8k2 0， k2 0， 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 ， ， - 8 - y1y2=（ kx1+m）（ kx2+m） =k2x1x2+km（ x1+x2） +m2= ， 又 =x1x2+y1y2= ， ， ， = = ， 设 =k4+k2，则 ， = ， ， S AOB关于 在 ， 2单调递增， ， AOB的面积的取值范围是 ， 22.（ 本小题满分 12分 ）
15、 （）)(xf的定义域为),0?； . 当?a，)1,0(?x时，0)/ ?xf，)(x单调递增； /(1, ) , ( ) 0x f x? ? ?时，f单调递减 . 当0?a时， . （ 1）20 ?a， ， 当)1,0(?x或 时，0(/ ?xf，)(x单调递增； 当x?时，0)/ ?xf，)(x单调递减； （ 2）2?a时， ，在x? ),0( ?内，0)(/ ?xf，)(x单调递增； （ 3）?时， ， - 9 - 当 或x? ),1(?时，0)(/ ?xf，)(x单调递增； 当x时，0)(/ ?xf，)(x单调递减 . 综上所述， 当0?a时，函数)(xf在1,0(内单调 递增，在)
16、,?内单调递减； 当20 ?a时，f在,内单调递增，在 内单调递减，在内单调递增； 当2?a时，)(xf在),0( ?内单调递增； 当?，f在 内单调递增，在 内单调递减，在),1(?内单调递增 . （）由（）知，?a时， ，2,1?x， 令 ，2,1x. 则)()()()( / xhxgxfxf ?， 由 可得1)1()( ? gxg， 当且仅当1?x时取得等号 . 又 ， 设623)( 2 ? xxx?，则)(x?在x?2,1单调递减，因为10)(,1)1( ? ?， 所以在2,1上存在0x使得),1( 0x?时，)2,(,0 0xxx ?时，)( ?x， 所以函数()hx在),1( 0上单调递增；在)2,(上单调递减， 由于 ，因此，当且仅当?x取得等号， 所以 ， - 10 - 即 对于任意的2,1?x恒成立
