1、 - 1 - 2017 2018学年度第 一 学期期 末区内 联考 高二数学试题（理） 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 . 满分 150分，考试时间 120分钟 . 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名准考证号等填写在答题卷规定的位置上 . 2答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑 . 3答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上 . 4考试结束后，将答题卷交回 . 第卷（选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1
2、命题 “ 2,1x R x? ? ? ?使 得 ” 的否定是 （ ） A 2,1x R x? ? ? ?都 有 B 2,1x R x? ? ? ?使 得 C 2,1x R x? ? ? ?使 得 D 2,1x R x? ? ? ?都 有 2已知两直线 1 :2 3 0l x y? ? ?， 2 : 2 1 0l mx y? ? ?平行，则 m 的值是 （ ） A 4? B 1? C 1 D 4 4圆 22( 2) ( 2) 4xy? ? ? ?与圆 22( 2) ( 1) 9xy? ? ? ?的位置关系为 （ ） A内切 B外切 C相交 D相离 3 命题 “ 若 2? ，则 sin 1? ”
3、的逆否命题是 （ ） A 若 2? ，则 sin 1? B 若 2? ，则 sin 1? C 若 sin 1? ，则 2? D 若 sin 1? ，则 2? - 2 - 3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 O DyxPM5已知 ,mn表示两条不同的直线， ?， 表示两个不同的平面，且 mn?， ,则下列命题正确的是 （ ） A若 m ? ，则 ? B若 /?，则 /mn C若 /m? ，则 /? D若 ? ，则 mn? 6已知直线 l 的倾斜角为 ? ，斜率为 k ，那么 “ 3? ” 是 “ 3k? ” 的 （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也
4、不必要条件 7已知双曲线? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的一条渐近线过点? ?1,1，且双曲线的一个焦点在抛物线2 8yx?的准线上，则双曲线的方程为 （ ） A224xy?B3C2D221xy?8已知点( 5,0)M及抛物线2 8?上一动点 00( , )Px y ，则 0y PM? 的最小值是 （ ） A 1B 2C 3D 49某四棱锥的三视图 如图所示， 则该四棱锥的表面积是 （ ） A 36 B 32 C 30 D 27 10如图，在圆 228xy?上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ， D 为垂足 . 当点 P在圆上运动时，满足 PD tMD?
5、 ( 2)t? 的动点 M 的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围 （ ） A 3(0, 2- 3 - B 1(0, 4C 1 ,1)2 D 3 ,1)2 11已知点 DCBA 、 在同一球面上， 2,2 ? ACBCAB ， ABCDB 平面? ,三棱锥 A BCD? 的体积为 32 ，则这个球的体积为 （ ） A 82? B 328 ? C ?16 D 332? 12已知椭圆 22:1xyC ab?( 0)ab? 和 2 2 2 2:O x y a b? ? ?，椭圆 C 的左右焦点分别为1F 、 2F ，过椭圆上一点 P 和原点 O 的直线交圆 O 于 M 、 N 两点 .若 12|
6、| | | 4PF PF?，则 | | | |PM PN? 的值为 （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 第 卷（非选择题 共 60分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填写在答题卡相应位置上 13已知空间两点 (2,1,7)A 、 ( 1,1,3)B? ，则 A 、 B 两点间的距离为 . 14圆 22( 2) 4xy? ? ?截直线 4yx? 所得的弦长为 . 15直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，若 1,90 AAACABBAC ? ，则异面直线 1BA 与 1AC所成的角等于 . - 4 - 16已知双曲线 22 1( 0, 0 )xy ab
7、ab? ? ? ?的左右焦点为 1F ， 2F .过 2F 作直线 byxa? 的垂线l，垂足为 Q ， l交双曲线的左支于点 P ，若 222F P FQ? ，则双曲线的离心率 e? . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10分） 已知两直线 1 : 2 0l x y? ? ? 和 2 :2 5 0l x y? ? ?的交点 P . （ 1） 求经过点 P 和点 (3,2)Q 的直线的方程； （ 2） 求经过点 P 且与 2l 垂直的直线的方程 18 （本小题满分 12 分） 如图 ,四棱锥 P ABCD? 中 ， 底面 A
8、BCD 是正方形 ，ABCDPD ?面 ,PD DC? ,E 是 PC 的中点 （ 1） 证明： /PA 平面 BDE ； （ 2） 证明：平面 BDE? 平面 PBC . 19（本小题满分 12分） 已知直线 l ： y x m? ? ?mR?与直线 l? 关于 x 轴对称 . （ 1） 若 直线 l 与圆 22( 2) 8xy? ? ?相切于点 P ,求 m 的值和 P 点的坐标 ； （ 2） 直线 l? 过抛物线 2:4C x y? 的焦点，且与抛物线 C 交于 A ,B 两点， 求 |AB 的值 . - 5 - FBDCPEA20 （本小题满分 12 分） 如图，边长为 2的正方形 A
9、BCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC的中点，将 AED 、 DCF 分别 沿 DE 、 DF 折起，使 A 、 C 两点重合于点 A? ，连接 EF ， AB? . （ 1） 求证： AD EF? ? ； （ 2） 求三棱锥 A DEF? 的体积 . 21（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是菱形，且 60DAB? ? ? 点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交 于点 F （ 1） 求证： AB EF ； （ 2）若 PA PD AD?，且平面 PAD? 平面 ABCD ，求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角
10、的余弦值 22（本小题满分 12分） - 6 - 已知椭圆 C: )0(12222 ? babyax 的离心率为 23 ，点 3(1, )2A 在椭圆 C上 . （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设动直线 l 与椭圆 C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O为圆心的圆，满足此圆与 l 相交两点 1P ， 2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线 1OP ， 2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 . - 7 - 高二数学（理）答案 一、选择题 1-5 DACBA 6-10 BCAAD 11-12 BB 二、填空题 13 5 14 22 15 3? 16 5 三
11、、解答题 17 解： （ ） 联解 202 5 0xyxy? ? ? ? ? ?得， ( 1,3)P? ?2 3 2 11 3 4POk ? ? ? ?3 12 ( 3)4yx? ? ? ?4 4 11 0xy? ? ? ?5 （ ）由垂直条件知 斜率 12k? ?6 13 ( 1)2yx? ? ? ? 直线方程为： 2 5 0xy? ? ? ?10 18解 :（ ）证明：连结 ,ACBD 交于点 0 ，连结 OE A B C D四 边 形 为 正 方 形?为的中点 又 为中点 ?PC 为 PAC 的中位线 ?4 ? /PC OE 又 ,O E B D E P A B D E? 面/PA 面
12、BDE ?6 （ ） A B C D四 边 形 为 正 方 形 ? BC CD? ， PD BC? ?BC ? 面 PCD ?8 ?DE ? BC ，又 PD DC? ， E 为 PC 中点 ?DE ? PC ?DE ? 面 PBC ，又 DE? 面 BDE ?10 ?面 BDE? 面 PBC ?12 19（ ）由点到直线的距离公式： | 2 | 222md ?解的 2m? 或 6m? ?2 - 8 - zyxGAEPCDBF当 2m? 时 (0,2)P 当 6m? 时 (4, 2)p ? ?6 （ ） 直线的方程为 y x m? ， l? 的方程为 y x m? ? 焦点 (0,1) 1m?
13、 ?7 将直线 1yx? ? 代入抛物线 2 4xy? ，得整理 2 4 4 0xx? ? ? 124xx? ? ， 1 2 1 24 ( ) 2 6y y x x? ? ? ? ? ? ?11 12| | 2 8AB y y? ? ? ? ?12 20 （ 1） A D A E A D A E FA D A F? ? ? ? 面? AD EF? ? ?6 （ 2）由等体积可知 13A D E F D A E F A E FV V S A D? ? ? ? ? ?=13 ?12 21（ ）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 AB CD 又因为 AB? 面 PCD ， CD? 面 PCD ，
14、所以 AB 面 PCD 又因为 , , ,ABEF 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF? ， 所以 AB EF ?5 分 （ ）取 AD 中点 G ，连接 ,PGGB 因为 PA PD? ，所以 PG AD? 又因为平面 PAD? 平面 ABCD ， 且平面 PAD 平面 ABCD AD? ， 所以 PG? 平面 ABCD 所以 PG GB? 在菱形 ABCD 中，因为 AB AD? ， 60DAB? ? ? ， G 是 AD 中点， 所以 AD GB? 如图，建立空间直角坐标系 G xyz? 设 2PA PD AD a? ? ?， 则 (0,0,0), ( ,0,0)G A a
15、， ( 0 , 3 , 0 ) , ( 2 , 3 , 0 ) , ( , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 )B a C a a D a P a? 又因为 AB EF ，点 E 是棱 PC 中点，所以点 F 是棱 PD 中点所以 33( , , )22aaEa? ，- 9 - 3( ,0, )22aaF ? 所以 33( ,0, )22aaAF ? ， 3( , ,0)22aaEF ? 设平面 AFE 的法向量为 ( , , )x y z?n ，则有 0,0.AFEF? ?nn所以 3,3.3zxyx? ? ?令 3x? ，则平面 AFE 的一个法向量为 (3, 3,3 3)?n
16、因为 BG? 平面 PAD ，所以 (0, 3 ,0)GB a? 是平面 PAF 的一个法向量 因为 3 1 3c o s ,133 9 3G B a aGB? ? ?nn n， 所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 1313 ?12 22（ ）解：由题意，得 32ca? ， 2 2 2a b c?， ?2 分 又因为点 3(1, )2A在椭圆 C上，所以221314ab?解得 2a? ， 1b? ， 3c? ， 所以椭圆 C的方程为 14 22 ?yx. ?5 分 （ ） 结论 ：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 225xy?. 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 2 2 2( 0)x y r r? ? ?. 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 mkxy ? . ?6 分 由方程组 22,1,4y kx mx y? ?得 0448)14( 222 ? mk m xxk ， ?7 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共
