1、*第二十七章拉第二十七章拉 普普 拉拉 斯斯 变变 换换(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、拉普拉斯变换的概念2、拉氏变换的性质01()0,()()()()()()()()()()().设函数 在 内有定义，如果广义积分：对于参数 的某一取值范围收敛，则称此表达式为 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为，称为 的象函数，称为 的象原函数，也称为 的拉普拉斯逆变换，记为ptf tF pf t edtpf tf tF pf tf tF pF pF pf t(1)线性性质1122()()()()若，则对任f tF pf
2、 tFp1212()()()().意的常数，有f tf tF pFp(2)位移性质()()()().设，则atf tF pe f tF pa(3)延滞性质()()()()(0).设，则，apf tF pf taeF pa(4)微分性质()12(1)()()()()(0)(0)(0)若，则；nnnnnf tF pftp F ppfpff(5)积分性质0000()()(0)()1()()1()()设，且连续，则 ttttnf tF ppf tf t dtF ppdtdtf t dtF pp积分 次 n ()()()().nnFptf t()().pf tF p dpt3、拉氏逆变换4、拉氏变换在求
3、解微分方程中的应用求解微分方程的步骤：(1)方程两边取拉氏变换，得未知函数象函数方程；()(2)将初始条件代入求得象函数；F p(3)对象函数取拉氏逆变换，求得未知函数。二、本章重点二、本章重点 1、拉普拉斯变换的概念及其性质。2、拉普拉斯变换在求解微分方程组中的应用。三、本章难点三、本章难点用定义求拉氏变换时，广义积分的计算是一难点。四、本章关键词四、本章关键词 拉普拉斯变换拉氏逆变换 微分方程(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、拉普拉斯积分变换的方法一、拉普拉斯积分变换的方法0()()(1)一些简单函数 的拉氏积分变换可用定义直接求出，即 用广义积分来求，将其作为公式来用。pt
4、f tf t edt()()()()(2)对于一般函数，满足拉氏积分变换存在定理的条件，确定函数的拉氏积分变换要根据函数 的特点，灵活 应用拉氏变换的性质及公式来进行积分变换。于是要求牢记 一些常用的积分变换公式、性质及已知结论。f tf tf tf t2()(1)求函数 的拉氏积分变换。tf tte例例1 1解解22(1)(21)因 ttt23232!11222(0)ppppppp2()(1)则 tf tte223322(1)(1)54(1)(1)(1)ppppppp2()cos3 求函数 的拉氏积分变换。tf ttet例例2 2解解22(cos3)(0)3因，ptpp22222223(co
5、s3).3(3)则 pppttpp 2()(cos3)即 tf ttet22222 222(2)345(2).(2)3(413)ppppppp 20()cos3 求函数 的拉氏积分变换。ttf ttetdt例例3 3解解由例2及拉氏变换的积分性质，便可直接写出结果：22220145()cos3(0).(413)ttppf ttetdtpppp20()cos3将例3改为：求函数 的拉氏积分变换。ttf ttetdt22(cos3)3因，ptp2222(cos3)(2)3则，tpetp222012cos3(2)3ttpetpp23212.413413ppppp20()cos3ttf ttetdt2
6、223222438132(413)(413)pppppppp323222101626(0).(413)ppppppp0sin.计算广义积分 tdtt例例4 4解解先说明一个重要结论：000()()().()()()(0).若 存在，则 这里 f tf tdtdtF p dpttF pf tF pp000()()()()0()().证明很简单，因 (象函数积分性质)，又因为，取则有pptf tF p dptf tf tedtpttf tdtF p dpt2000sin1arctan.21 利用该结论，有tdtdpptp二、拉氏逆变换的方法二、拉氏逆变换的方法()()拉氏逆变换即已知象函数，求象原
7、函数，可借助拉氏变换表及拉氏变换的性质来解决。F Pf t2222211()()2(1)11()().(1)(2)(1)求下列函数的拉氏逆变换 (1)；(2)；(3)；(4)F pF pppppF pF pppp p例例5 5解解227122()271724(1)因，F pppp112722()()71724则 f tF pp2271sin(0)227，；tettp 221111()1(1)(2)因，F pppppp 112111()()1则 f tF pppp1(00)，；ttetp 22111111()91923(1)(2)(2)1(3)因，F pppppp11211111()()9192
8、3(2)1则 f tF pppp22111(0,2)993；ttteetetp2222211()(1)1(1)(4)因，ppF ppp ppp112221()()1(1)则 ppf tF pppp11 cossin(00).2，ttttp 三、应用拉氏积分变换、求解微分方程的方法三、应用拉氏积分变换、求解微分方程的方法()由拉氏积分变换的微分性质知道，拉氏变换能把函数 的导数变为代数式，把微分方程化成代数方程，进而把较复杂的问题变为较为简单的问题。下面举例说明。f t336(0)(0)(0)0 求微分方程 满足初始条件 的解。tyyyyeyyy例例6 6解解()()设，y tY p方程两端进行
9、拉氏变换有322()(0)(0)(0)3()(0)(0)13()(0)()6.1p Y pp ypyyp Y ppyypY pyY pp41()6(1)则，Y pp即原方程的解为11341()()6.(1)ty tY pt ep222(0)(0)0(0)(0)0 求方程组，满足初始条件 的解。tyxxyeyxyxtyyxx 例例7 7解解()()()()设，x tX py tY p方程两边取拉氏变换，并注意到已知条件，则得方程组2222212()()()()112()()2()()，p Y pp X ppX pY pppp Y pp X ppY pX pp 则原方程组的解为112211211()()(1).111()()11(1)tttx tX ptteppy tY peteppp 解该方程组得2222222111()(1)(1)1111()1(1)(1)，pX pppppY pppp pp
