1、 1 2016-2017 学年第二学期期末考试 高二级数学试题（理） 卷面分值 :150分 考试时间： 120分钟 一、选择题（ 5*12=60） 1、 已知? ?3,2,5a?， ?1, , 1bx，且2ab?，则x的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2、 已知 ，若向量 共面，则 （ ） A. B. C. D. 3、 设函数?fx可导，则? ? ? ?011lim 3xf f xx? ? ?等于（ ） A. ?1f?B. 31f?C. ?1 13f? ?D. ?1 13f?4、 设?2,121,0)( 2xxxxxf，则dxxf?20 )(的值为（ ） A65B54C65
2、D75、 观察下列各式： ，则 的末四位数字为 （ ） A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125 6、 利用数学归纳法证明：不等式1 1 11 2 3 2 1n n? ? ? ? ?（2n?， nN?）的过程中，由nk?变为1nk?时，左边增加了（ ） A. 1项 B. k项 C. 12k?项 D. k项 7、 已知,ab R?， i是虚数单位，若ai与2bi?互为共轭复数，且? ?2z a bi?，则 z在复平面中所 表示的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8、 为防止部分学生考试时 用搜题软件作弊，命题组指派 5名教师对数学卷的选择题、填空题和
3、解答题这 3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 280 2 9、 若? ? 92 14xxx?的展开式中5x的系数为（ ） A. 36 B. -144 C. 60 D. -60 10、 设随机变量?服从正态分布? ?0,1N， ( 1)Pp? ?，则( 1 0)P ? ? ?等于（ ） A. 12pB. p?C. 12p?D. 12 p?11、已知随机变量 满足 ，若 ，则 分别是（ ） A. 6和 2.4 B. 2和 2.4 C. 2和 5.6 D. 6 和 5.6 12、 如图所示，在空间直角坐标系中， 是坐
4、标原点，有一棱长为 的正方体 ， 和分别是体对角线 和棱 上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二 、 填空题（ 5*4=20） 13、 已知向量a=（ 0,2,1），b=（ -1,1,-2） ,则a与b的夹角的大小为 14、 曲线2yx?与 所围成的图形的面积是 _. 15、 甲、乙、丙三人代表班级参加 校运动会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况： （ 1）甲不是最高的；（ 2）最高的是没报铅球；（ 3）最矮的参加了跳远；（ 4）乙不是最矮的，也没参加跑步，可以判断丙参加的比赛项目是 _ 16、 给出下列命题： 直线
5、l 的方向向量为 =（ 1， 1， 2），直线 m的方向向量 =（ 2， 1， ），则 l与 m垂直； 直线 l 的方向向量 =（ 0， 1， 1），平面的法向量 =（ 1， 1， 1），则 l； 平面、的法向量分别为 =（ 0， 1， 3）， =（ 1， 0， 2），则； 平面经过三点 A（ 1， 0， 1）， B（ 0， 1， 0）， C（ 1， 2， 0），向量 =（ 1， u， t）是平面的法向量，则 u+t=1. 3 其中真命题的是 （把你认为正确命题 的序号都填上） 三、解答题（共 70分） 17、（ 10分） 甲、乙两人各自独立地进行射击比赛，甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率
6、分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响 （ 1）求甲射击 3次，至少有 1次未击中目标的概率； （ 2）求两人各射击 3次，甲恰好击中目标 2次且乙恰好击中目标 1次的概率 18、（ 12分） 个盒子里装有若干个均匀的红球和白球 ,每个球被取到的概率相等 .若从盒子里随机取一个球 ,取到的球是红球的概率为13,若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为11. （ 1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？ （ 2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个 数的概率 . 19、（ 12分） 如图，已知四棱锥P ABCD?的底面为矩形，1, 2P
7、A AD AB? ? ?，且 ?平面 ,ABCD E F分别为,PC的中点 . （ 1）求证 : EF?平面PCD； （ 2）求二面角C PD E?的余弦值 . 20、（ 12分） 已知函数? ? ? ?2 2 lnf x ax a x x? ? ? ?，其中aR?. 4 （）当1a?时 ，求曲线? ?y f x?的点? ?, 1f处的切线方程； （）当0?时，若?fx在区间? ?1,e上的最小值为 -2，求a的取值范围 . 21、（ 12分） 为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500名志愿者中随机抽取 100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分
8、组区是：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 25 25 30 30 35 35 40 40 45， ， ， ， ， ， ， ， ， （）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在? ?35 40，岁的 人数； （）在抽出的 100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加中心广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3名担任主要负责人记这 3 名志愿者中“年龄 低于 35 岁”的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 22、（ 12分） 已知函数? ? 2ln ( 0 , , )f x x ax bx x a R b R? ? ? ? ? ?. （
9、1）若曲线? ?y f x?在? ?1, 1处的切线方程为2 2 0xy? ? ?，求?fx的极值； （ 2）若1b?，是否存在aR?，使?fx的极值大于零？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由 . 5 高二理数答案 一、单项选择 1、【答案】 B 2、【答案】 B 【解析】由题意可知，存在实数， 使 ，则 ，解得 .故选 B. 3、【答案】 C 【解析】? ? ? ? ? ? ? ? ? ?001 1 1 111l im l im 13 3 3xxf f x f x f fxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 C. 4、【答案】 C 5、【答案】 D 【解析】写
10、出幂的前几项，观察后四位， ，发现以 4为周期， 2011除以 4余 3，所以与 后四位相同，故选 D 6、【答案】 D 【解析】由题设从21k?到1k?，共有2个整数，因此左边应增加2k项，应选答案 D。 7、【答案】 A 8、【答案】 A 【解析】由题设可分如下两类： （ 1） 若分成,1,3的形式，则有335360CA?种分配方法；（ 2）若分成 1,2,2的形式， （ 2） 则有22 353322 90CC AA ?种分配方法；由分类计数原理可得223 3 3535 3 322 60 90 150CCC A AA? ? ? ?，应选答案 A。 9、【答案】 D 10、【答案】 D 11
11、、【答案】 B 【解析】 随机变量 ， ， ， 6 ， 故选： B 12、【答案】 B 【解析】题图所示的空间直角坐标系中，易得 ， ， ， ，则 ，设 ，则 ，设 ， 于是 ， 显 然当 时， ，故选 B 二、填空题 13、【答案】2?14、【答案】16【解析】由积分的几何意义可知，11 2 2 30 01 1 1 1 1() 2 3 2 3 6S x x dx x x? ? ? ? ? ? ?. 15、【答案】参加了跑步比赛 . 【解析】由题意得，根据（ 1）（ 4）可知，甲是最矮的，丙是最高的， 所以甲参加了跳远比赛，且乙参加了铅球比赛，所以丙参加了跑步比赛。 16、【答案】 三、解答题
12、 17、【答案】（ 1）1927；（ 2）116 试题解析：（ 1）记“甲连续射击 3次至少有 1次未击中目标”为事件1A， 由题意，射击 3次，相当于 3次独立重复试验， 由? ? ? ? 311 2 1911 3 27P A P A ? ? ? ? ?.5 分（ 2）记“甲射击 3次，恰有 2次击中目标”，为 事件2A， 7 “乙射击 3次，恰有 1次击中目标”为事件2B， 则? ? ? ?2 1 2212 3 2 32 2 4 3 3 91 , 13 3 9 4 4 64P A C P B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? 由于甲、乙射击相互 独立，故? ? ? ? ? ?2 2 2 2 4 9 19 64 16P A B P A P B? ? ? ?。 10分18、 【答案】 (1)红球 4个 ,白球8个； (2)4255. 试题解 析： （ 1）设该盒子里有红球m个 ,有白球n个 .根据题意得221310111mmnmmnCC ? ? ? ?。 4分 .解方程组得4, 8mn?. ?红球 4个 ,白球8个 . 。 6分 （ 2）设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为 事件 A,则? ? 3 2 18 8 4312 4255C C CPA C?. 因此 ,从盒子中任
14、取3个球 ,取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255. 。 12 分 19、【答案】 (1)详见解析 ;(2)63. 试题解析： (1)以 A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz?，如图所示， 8 则? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1 , 0 ,1 , 0 , 2 ,1 , 0E P D C，1 1 1 11, , , 0 , ,2 2 2 2F EF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ?2 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , ? 0 , ? 0C D D P EF C D EF D P? ? ? ? ? ? ?，,EF
15、 C D EF D P? ? ?，又CD?平面,PCDDP?平面,PCD D P C D D EF? ? ? ?平面 . 。 6分 (2)? ?1, 1,0DE ?,由（ 1）可知110, ,22EF ?为平面 的一个法向量，设平面 PDE的法向量为? ?,n x y z?，则 0, ? 0n DE n DP?，0 xyyz? ? ?，令 1z?，得? ? 161 , 1 , 1 , c os , 3232EF nn EF nEF n? ? ? ? ?， ?二面角C PD E?的余弦值为63.。 12分 20、【答案】（ 1）2y?；（ 2）? ?1,?. 试题解析：（）当1a?时，? ? 2
16、 3 ln ( 0)f x x x x x? ? ? ?， ? ? 21 2 3 123 xxf x x xx? ? ? ?， 。 1分 ? ? ? ?1 2, 1 0ff? ? ?. 切线方程为2y?. 。 4分 （）函数? ? ? ?2 2 lnf x ax a x x? ? ? ?的定义域为? ?0,?， 当0a?时，? ? ? ? ? ?22 2 1122 ax a xf x ax a xx ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1x axx?， 令? ? 0fx? ?得2x?或1a. 。 5分 当01?，即1a?时，?在? ?1,e上递增 . ?在? ?1,e上的最小值为? ?12f ?，符合题意； 。 7分 当11 ea?，即1 1ae时，?在1,?上递减，在,e上递增， 9 ?fx在? ?1,e上的最小值为? ?1 12ffa? ? ?，不合题意；。 9分 当1 ea?，即10 a e?时，?在? ?1,e上递减， ?在? ?1,e上的最小值为? ? ? ?12f e f? ? ?，不合题意； 。 11 分 综上，a的取值范围是? ?1,?
