1、 二次函数任意角解题策略（非定弦定角类）二次函数任意角解题策略（非定弦定角类） 针对已知角的动点，求角一边与抛物线或直线的交点针对已知角的动点，求角一边与抛物线或直线的交点 例例 1、如图，抛物线 yx2+2x3 与 x 轴交于 A（1，0） ， 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，3） ，点 D 是 y 轴左侧的抛物线上一动点，连接 AC，当DABACO 时，求点 D 的坐标 分析：D 的坐标，坐标即“横平竖直” ，横纵坐标比即为直角三角 形，两直角边的关系。由于DABACO ，tanDABtanACO， 则很容易得到点 D 坐标的绝对值之比。然后通过二次函数解析式表示 D 的坐
2、标，利用比值求解。 解：过点 D 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 H，如图 2 所示 设点 D 的坐标为（m，m2+2m3） DABACO， tanDABtanACO，即， 总结： 一般来说，角度问题都可通过正切处理解决，有定角，则该角的正切值定，可得坐标的横纵比横纵比。 此题简单在所求角的一边是确定的，刚好在 X 轴上，易于构造直角三角形解决问题。倘若，角的一边 不在坐标轴上，那问题又该如何处理，上述做法是否仍然可行？且看下例。 例例 2、如图，抛物线 yx2+x+2与直线 yx+2 交于 C、D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3，） 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一
3、动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 N若 存在点 P，使PCN45，请写出相应的点 P 的坐标 分析：首先根据题意可大概画出图形，应有两种可能，一种是点 P 在 CD 上方，一种是在 CD 下 方。点 N 对解题并无影响，PCN 即为PCD。点 C（0,2） ，若能再在 PC 上得一个点的坐标求出直线 CP 解析式，联立二次函数求交点，问题便迎刃而解。由于 45是特殊角，可构造等腰直角三角形，在 利用一线三直角模型，得全等三角形，进一步得到点的坐标。 如何构造一线三直角模型呢，关键是直角顶点的选取，首先探究当点 P 在 CD 上方的情况。 法一：如图 1-1 所示,易证CE
4、GEDF（AAS） ，想办法求出点 E 的坐标，结合点 C 即可求直线 CP. 法二：如图 1-2 所示。 通过以上两种直角顶点的选取方法，你发现了什么？对于此类问题，今后我们如何构建一线 三直角模型更简便？ 当点 P 在 CD 下方时，请自行探究。 例 2 中是通过 45角，联想等腰直角三角形，再构造一线三直角解决问题，其实本质还是正 切处理。tan45=1，构造的一线三直角模型，两侧的两个三角形全等，通过线段相等可解。如果 角度不是 45，那么仍然可以构造一线三直角模型，此时的两个直角三角形还全等吗？又该如何 解决呢？且看下例分解。 例例 3、若二次函数 yx2x2 的图象与 x 轴、y
5、轴分别交于点 A（3，0） 、B（0，2） ，在抛 物线上（AB 下方）是否存在点 M，使ABOABM ？若存在，求出点 M 到 y 轴的距离；若不存在， 请说明理由 法一：构造一线三直角模型 考虑到两个等角的位置比较特殊，此题还有以下两种解法。 法二：角平分线+平行线造等腰 法三：利用轴对称（折叠）思想 例例 4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y（x1）23，它与 y 轴负半 轴交于点 A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为 3 （1）求点 M、A、B 坐标； （2）连接 AB、AM、BM，求ABM 的正切值； （3）点 P 是顶点为 M 的抛物线上一点，且位于对称
6、轴的右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角为 ， 当 ABM 时，求 P 点坐标 例例 5、如图，抛物线 y（x1）24，与 x 轴交于 A（1，0） ，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称 点 Q 在 x 轴上，且ADQDAC，请直接写出点 Q 的坐标 分析：应有 2 中情况，点 Q 在原点右边，比较简单，同学们自 行解答。 下面就针对点 Q 在 A 点左边的情况详细说明。 法一：仍然选择上述通法，求已知角正切，构造一线三直角模型，由正切转相似，得坐标，求一 次函数，可解。但是此题ACD 不是坐标三角形，不易得出 tanD
7、AC，需要构造直角三角形，如下 图所示。作图步骤不再赘述。tanDAC= ，CH 如何计算？（ACD 等面积或CDH 为等腰直角 三角形） 算出 CH，AH 可勾股定理得出。tanDAC=tanADQ。再构造一线三直角模型，易求 I 点坐标， 得直线 DI。 法二：当点 Q 在点 A 左侧， 得ADG 为等腰三角形。 又得EAD=EDA=45 所以CAE=QDE，这步等角代换可谓 是神来之笔。不禁让人拍案叫绝。接下来，依 然用正切处理，tanCAE=tanQDE。tan CAE 如何求呢？通过观察，CAE 即为 CAO，在坐标 RtCAO 可求得正切值。最后 通过 QE 和 DE 的比值列式求
8、解。 练习：练习：1、如图，已知抛物线 yx2+6x+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点，与 x 轴的另一 个交点为 C（1，0） ，顶点为 D，连结 CD该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存 在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx24x+3与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） 点 P 为抛物线上一点（不与点 A 重合） ，连接 PC当PCBACB 时， 求点 P 的坐标； 3、如图，已知抛物线 yx2x4；过点 A（4，0） ，B（2，0） ，C（0，4） 点 C 和
9、点C关于抛物线的对称轴对称， 点 P 在抛物线上， 且PABCAC1， 求点 P 的横坐标 4、如图，二次函数 ymx2+（m2m）x2m+1 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， 顶点 D 的横坐标为 1 （1）求二次函数的表达式及 A、B 的坐标； （2）若 P（0，t） （t1）是 y 轴上一点，Q（5，0） ，将点 Q 绕着点 P 顺时针方向旋转 90 得到点 E当点 E 恰好在该二次函数的图象上时，求 t 的值； （3）在（2）的条件下，连接 AD、AE若 M 是该二次函数图象上一点，且DAEMCB， 求点 M 的坐标 5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2
10、+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是（3， 0） ，点 C 的坐标是（0，3） ，动点 P 在抛物线上 （1）b ，c ，点 B 的坐标为 ； （2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件 的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）是否存在点 P 使得PCA15，若存在，请直接写出点 P 的横坐标若不存在，请说 明理由 6、 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y=-x+3 与坐标轴交于 B、 C 两点， 抛物线 1 C： y=cbxx 2 过 B、C 两点，与 x 轴的另一个交点为 A，点 P 为抛物线的顶点，连接 PB，将抛物线绕点 O 旋转 180得到抛物线。 （1）求抛物线 1 C的解析式及点 A 的坐标； （2）连接 CP，点 Q 是抛物线 2 C上的点，若满足QCO=PBC，求点 Q 的坐标； （3）若点 M 是抛物线 2 C在 y 轴右侧部分上的点，横坐标为 a，以点 M、B、P 为顶点的三角 形是以 PB 为直角边的直角三角形，求 a 的值。
