1、 1 内蒙古太仆寺旗 2016-2017学年度高二数学下学期期末考试试题 理 考试时间： 120分钟； 注意事项： 1答题 前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、选择题 1 已知复数3 4,z i i?为虚数单位， z是 的共轭复数， 则iz?（ ） A. 4355i?B. i?C. 4325 25iD. 25 25i2 对于命题 “ 正三角形的内切圆切于三边的中点 ” ，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（ ） A. 各正三角形内的点 B. 各正三角 形的中心 C. 各正三角形某高线上的点 D. 各正三角形各边的中点 3 用反证法证明
2、命题 “ 若220ab?，则,全为? ?0,a b R?” ，其反设正确的是（ ） A. ,ab至少有 一个不为0B. ,至少有一个为0C. 全不为 D. ,中只有一个为 4 设函数?fx可导，则? ? ? ?011lim 3kf k fk?等于（ ） A. 1f?B. ?1 13f?C. ?31f? ?D. ?1 13f? ?5 如图所示，阴影部分的面积为（ ） A. 12B. 1 C. 23D. 762 6 已知函数()fx的导函数为()，且满足( ) 2 (1) lnf x xf x?，则(1)?（ ） A.e?B.1 C.-1 D.e7 函数? ? ? ?2 1 exf x x?的递增
3、区间为（ ） A. ? ,?B. 1,2?C. 1, 2?D. 1,2? ?8 已知?1 nx?的展开式中第 5项与第 7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 92B. 10C. 112D. 129下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A某校高三 (1)班有 55人， 2班有 54 人， 3班有 52人，由此得高三所有班人数超过 50人 B两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A B 180 C由平面三角形的性质，推 测空间四边形的性质 D在数列 an中， a1 1， an (an 111na?)(n2) ，由此归纳出 an的通项公
4、10 函数sin lny x x?在区间? ?3,3?的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11 古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山。现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中 “ 口才季 ” 中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A. 14种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 12 已知定义在实数集 R上的函数?fx满足?13f ?，且 的导数?fx?在 R上恒有? ? ?2f x x R? ?，则不等
5、式? 21f x x?的解集为（ ） A. ? ?1,?B. ? ,1?C. ? ?1,1?D. ? ? ? ?, 1 1,? ? ? ?第 II卷（非选择题） 二、填空题 3 13? ?30 )sin2(? dxxx 。 14? ?61 21xxx?的展开式中， 3x的系数是 _.（用数字填写答案） 15 函数? ? 323 9 3,f x x x? ? ? ?若函数? ? ? ?g x f m?在 R上有 3 个零点，则m的取值范围为 _ 16 学校艺术节对同一类的, , ,ABCD四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是
6、C或 D作品得一等奖 ” ； 乙说： “ B作品获得一等奖 ” ； 丙说： “,AD两项作品未获得一等奖 ” ； 丁说： “ 是 作品获得一等奖 ”. 若这四位同学只有两位的话是对的，则获得一等奖的是 _ 三、解答题 17 （ 10 分） 证明不等式：32aa? ? ?1?，其中 a0 18 （ 12分） 设 a为实数，函数 f（ x） =x3 x2 x+a， 若函数 f（ x）过点 A（ 1， 0），求函数在区间 1， 3上的最值 19 （ 12 分）已知函数? ? 2xf x e x a? ? ?， xR?，曲线? ?y f x?的图象在点? ?0, 0处的切线方程为y bx?. （ 1）
7、求函数? ?f x?的解析式 ； （ 2）当?时，求证： ? ? 2f x x x? ?； 4 20 （ 12 分）数列?na满足*15 36 18 ,nna a n n N? ? ? ?，且1 4a?. （ 1）写出 的前 3项，并猜想其通项公式； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 . 21 （ 12 分） 已知? ?nxx 23 2 3?展开式各项系数的和比它的二项式系数 的和大 992. （ ） 求 n； （ ） 求展开式中6x的项； （） 求展开式系数最大项 . 22 （ 12 分）已知函数? ? ? ? ? ?1ln , ,af x x a x g x a Rx? ? ? ? ?.
8、（ 1）若1a?，求函数?fx的极小值； （ 2）设函数? ? ? ? ? ?h x f x g x?，求函数?hx的单调区间； （ 3）若在区间? ?1,e上存在 一点0x，使得? ? ? ?00f g x?成立，求a的取值范围，（ 2.718e?） 5 参考答案 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C .7.D 8.A 9.B 10.A 11.D 12.A 132 192? ?【解析】222 3300 11( 2 si n ) ( c os ) | ( ) ( 0 1 )9 2 9 2x x dx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 考点：定积分的计算 . 14180?
9、【 解 析 】 由 题 意 得 ， ? ?61 21xxx?展 开 式 中3x项为? ? ? ? ? ? ? ?2 4 4 24 2 366 12 1 2 1 180x C x C x xx? ? ? ? ? ?， 所以展开式中3x的系数为180?. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项 .可依据条件写出第 1r?项，再由特定项的特点求出 r值即可 . (2)已知展开式的某项，求特定项的系数 .可由某项得出参数项，再由通项写出第 1?项，由特定项得出 r值，最后求出其参数 . 15 （ -24， 8） 【解析】 因为? ? ? ? ? ?23 6 9 3 1
10、 3f x x x x x? ? ? ? ? ?，则当? ?,1x? ?时， ? ? 0fx? ?，函数y f x?单调递增；当? ?1,3x?时， ? ? 0fx? ?，函数?y f x?单调递减；当?3,x ?时， ? ? 0fx? ?，函数? ?y f x?单调递增。所以函数 在1x?时取极大值? ?18?， ?y f x在3x?时取极小值? ?3 24f ?，结合图形可知当24 8m? ? ?时，函数? ?y f x?与ym的图像有三个交点，即函数?y f x m有三个零点，应填答案? ?,8?。 点睛：解答本题的关键是求出函数? ?f x?的极大值? ?f与极小值?3 24f ?，然
11、后再结合函数y f x?的图像将函数? ?y f x的零点的个数问题转化为两个函数?y f x?与函数?的图像的交点的个数问题。 16 B 6 【解析】 若甲同学说的话是对的，则丙、丁两位说的话也是对的；若丁同学说的话是对的，则甲、丙两位说的话也是对的，所以只有乙、丙两位说的话是对的，所以获得一等奖的作品是 B 17用分析法证明。 【解析】 试题分析： 要证32aa? ? ?1?成立， 需证1?1?需证? ?1因为3 1 , 2a a a a? ? ? ? ?显然成立，所以原命题成立。 考点：本题主要考查不等式证明，分析法。 点评：容易题，利用分析法证明不等式，从格式上来说，表述要规范。本题也
12、可转化证明 312? ? ?，两边平方。 18函数 f（ x）的最大值为 16，最小值为 0 【解析】 试题分析：由题意可得 f（ 1） =1 1 1+a=0，从而化简 f（ x） =x3 x2 x+1， f （ x） =3x2 2x1=（ 3x+1）（ x 1），从而判断函数的单调 性再求最值即可 解： 函数 f（ x）过点 A（ 1， 0） ， f （ 1） =1 1 1+a=0， a=1 ， f （ x） =x3 x2 x+1， f （ x） =3x2 2x 1=（ 3x+1）（ x 1）， f （ x）在 1， 上是增函数，在 ， 1上是减函数， 在 1， 3上是增函数； 而 f（ 1
13、） = 1 1+1+1=0， f（ ） = + +1=1+ = ， f（ 1） =0， f（ 3） =27 9 3+1=16， 故函数 f（ x）的最大值为 16，最小值为 0 7 19 （ 1）? ? 2 1xf x e x? ? ?；（ 2）见解析； 【解析】 试题分析： (1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为? ? 2 1xf x e x? ? ?. (2)构造新函数? ? ? ? 2 1xg x f x x x e x? ? ? ? ? ?.结合函数的最值和单调性可得? 2f x? ?. （ 1）根 据题意，得? ?2xf x e x?，则? 0 1fb?. 由切线方程可
14、得切点坐标为? ?0,0，将其代入? ?y f x?，得1a?， 故? ? 2 1xf x e x? ? ?. （ 2）令? ? ? ? 2 1xg x f x x x e x? ? ? ? ? ?. 由? ? 1 0xg x e ?，得0x?， 当? ?,0x? ?， ? ?0gx?， ?y g x?单调递减； 当0,?， ?， ?单调递增 . 所以? ? ? ?m in 00g x g?，所以? 2f x x? ?. 20 （ 1）62nan（ 2）见解析 【解析】 试题分析 : （ 1） 由1 2 34, 10 , 16a a a? ? ?，猜想n; 试题解析 :解：（ 1）1 2, ,
15、，猜想n ?；（ 2） 验证1?时成立 ; 假设 ,n k k N?时，猜想成立，即有kak， 由15 36 18kka a k? ? ?，及62， 证得 1nk?时成立 ,故命题成立 . （ 2） 当1n?时， 1 4 6 1 2a ? ? ? ?成立； 假设,k k N?时，猜想成立，即有k， 由15 36 18a a k? ? ?，及k， 得? ?1 6 4 6 1 2k k k? ? ? ? ? ?，即当 时猜想成立， 由 可知， 62n对一切正整数 均成立 . 21 （ ）5n?（ ）690x（ ）263405x8 【解析】 试题分析： （ ）99224 ? nn?，322 ? n，
16、.5?n4分 （ ）? ? ? ? 3 4105253 251 33 rrrrrrr xCxxCT ? ?，令63410 ? r，得 2?r. 展开式中6x的项 为662253 903 xxC ?. 8分 （）设第 1?r项的系数为?rt，则rrr Ct 351 ?，由? ?rrrr tt tt121 ,得2927 ?r，所以 4?r. 展开式系数最大项 为3263264455 4053 xxCT ?. 12分 考点：二项式定理 点评：二项式定理? ?nab中通项1 r n r rrnT C a b? ?是常考点， 利用其可求出任意一项；展开式的二项式系数和为2n，系数和只需令未知量为 1即可 22 （ 1） 1；（ 2）详见解析；（ 3）： 或 . 【解析】 试题分析： （ 1） 求出?fx的导函数，研究单调性，即可得到函数的极小 值 ；（ 2） 对参数 a分类讨论，明确函数的单调区间； （ 3） 原问题等价于在区间? ?1,e上存在一点0x， 使得 ，即求函数?hx的最小值即可 . 试题解析： （ 1） 的定义域为 ， 当 时， ， ， （ 0,1） 1 - 0 + 极小值 所以 在 处取得极小值 1. 9 （ 2） ， ， 当 时，即 时，在 上 ，在 上 ， 所以 在 上单调递减，在
