1、 1 浙江省宁波市 2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 答卷时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题（共 10个小题，每小题 4分，共 40 分） 1. 设 *mN? ，且 25m? ，则 ( 2 0 ) ( 2 1 ) .( 2 6 )m m m? ? ?等于 ( ) A 726mA? B 726mC? C 720mA? D 626mA? 2. 若 21010 CCx ? ，则正整数 x 的值 为（ ） A 2 B 8 C 2或 6 D 2 或 8 3. 下列求导运算正确的是 ( ) A ? ?x 3x 1 3x2 B (3x) 3xlog3e C (log2x) 1x
2、ln 2 D (x2cos x) 2xsin x 4. 用反证法证明命题：“已知 Nba ?, ,若 ab 可被 5 整除，则 ba, 中至少有一个能被 5 整除”时，反设正确的是 （ ） A ba, 都不能被 5整除 B ba, 都能被 5整除 C ba, 中有一个不能被 5 整除 D ba, 中有一个能被 5整除 5.设 ()fx? 是函数 ()fx 的导函数， ()y f x? 的图象 如图 1所示，则 ()y f x? 的图象最有可能的是（ ） 6.某校三 位学生参加省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是 41,31,51 ，则此题能解出的概率是 ( ) A.16
3、0 B. 320 C. 1330 D. 35 7. 甲、乙两人练习射击 , 命中目标的概率分别为 21 和 31 , 甲、乙两人各射击一次 ,有下列说 2 法 : 目标恰好被命中一次的概率为 3121? ； 目标恰好被命中两次的概率为 3121? ； 目标被命中的概率为 31213221 ? ； 目标被命中的概率为 32211 ? 以上说法正 确的序号依次是 A B C D 8. 随机变量 的概率分布列为 P( k) ck(k 1)， k 1,2,3,4，其中 c是常数，则 P? ?12 52的 值为 ( ) A.23 B.34 C.45 D.56 9. 设 ),( pnB? ， 12?E ，
4、 4?D ，则 n 的值是 ( ) A.17 B.18 C.19 D. 20 10. 有 下 列 命 题 ： 若 )(xf 存 在 导 函 数 ， 则 )2()2( ? xfxf ； 若)2013) .(2)(1()( ? xxxxg ，则 !2012)2013( ?g ； 若函数 y f(x)满足 f( x)f(x)，则当 a0 时， f(a)eaf(0)；若 dcxbxaxxf ? 23)( ，则 0? cba 是 )(xf 有极值点的充要条件 其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 二、填空题（共 7个小题， 11-14 每小题 6分， 15-17 每小题 4分，共
5、 36 分） 11. 若 0nC + 12nC + 24nC + ? 2nnnC 729? ，则 n? _， 1 2 3 nn n n nC C C C? ? ? ? ?_. 12. 现有 5本不同的书，其中有 2本数学书，将这 5本书排成一排，则数学书不能相邻且又 不同时排在两边的排法有 _种；将这 5本书分给 3个同学，每人至少得 1 本，则所 有不同的分法有 _种 . 13. 若对于任意实数 x ，恒有 5 2 50 1 2 5( 2 ) ( ) . . . ( 2 )x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ?成立，则3a? _， 0 1 2 4 5a a a a a?
6、 ? ? ? ?_. 14. 已知 ( ) lnf x x x? ，则 ()fx在 1x? 处的切线方程是 _，若存在 0x? 使得( ) 2f x x m?成立，则实数 m 的取值范围是 _. 15.从装有 6 个 白球和 4 个红球的口袋中任取一个球，用 ? 表示“取到的白球个数”，即3 1,0? ? ? 当 取 到 白 球 时 ， 当 取 到 红 球 时 ，则 D? _. 16. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同 . 从中任意舀取 4个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1个的概率为 _. 17. 已知 ( ) ( )f x g x
7、、 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， ( ) 0,gx? ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x? ，( ) ( )xf x a g x? ( 0, 1)aa?， (1) ( 1) 5(1) ( 1) 2ffgg? ，在有穷数列 () ( 1, 2 , ,1 0 )()fn ngn? ? 中，任意取正整数 (1 10)kk? ，则前 k 项和大于 1516 的概率是 _. 三、解答题（共 5个小题，共 74 分） 18.（ 15 分） 已知二项式32()nx x?的 展开式中第四项为常数项 . （ 1）求 n 的值；（ 2）求展开式的各项系数绝对值之和；（ 3）
8、求展开式中系数最大的项 . 19.（ 15 分） 设有编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个球和编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个盒子，现将这五个球放入 5个盒子内 （ 1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （ 2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （ 3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 20.（ 15 分）我校为 全面推进新课程改革，在高一年级开设了选修课程，某班学生在选修课 程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为 21 (1）求该小组做了 5次这种实验至少有 2
9、次成功的概率 (2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过 5次，求该小组所做实验的次数 ? 的概率分布列和数学期望 4 21.(14 分）是否存在常数 ,abc使得 22 2 2 ( 1 ) ( )1 2 2 3 . . . ( 1 ) 12n n a n b n cnn ? ? ? ? ? ? ? ? ?对一切*nN? 均成立，并证明你的结论 . 22.（ 15 分）已知 aR? ，函数 2( ) lnf x a xx? （ 1）若函数 ()fx在 (0,2) 上递减 , 求实数 a 的取值范围； （ 2）当 0a? 时，求 ()fx的最小值
10、()ga的最大值； （ 3）设 ( ) ( ) ( 2 ) , 1 , )h x f x a x x? ? ? ? ? ?，求证： ( ) 2hx? 2016-2017学年度第二学期期末考试 高二数学参考答案 一、 1.A； 2.D； 3.C； 4.A； 5.C； 6.D； 7.C； 8.D； 9.B； 10.B. 二、 11.6,63； 12.60,150； 13.40, 41? ； 14. 1, , )y x e? ? ? ?； 15.0.24 ； 16.4891； 17.35. 三、 18. 解： （ 1）32()nx x?的展开式中第四项为常数项， 53 3 3 3 3 24 3 2(
11、 ) ( ) ( 2 )nnnnT C x C xx? ? ? ? ? ?， 5 0 5.2n n? ? ? ? ? 5分 （ 2）由（ 1）知 5n? ，32()nx x?展开式的各项系数绝对值之和为 53 . ? 9分 （ 3）设32()nx x?展开式的第 1r? 项系数绝对值为 1rA? ，且 1rA? 为最大值 则 1 *121 2 2 3 4 ,1 1 0 2rrAA rr r r NA A r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3r?或 4 ， 又 3r? 时32()nx x?是 展开式中第四项，其系数是负值， 4r? 故32()nx x?的展开式中 系数最大的项为：
12、54 1 4 4 4 65 5 53 2( ) ( ) ( 2 )T C x C xx ? ? ? ? ?. ? 15 分 19.解：（ 1） 2455 1200CA? （种）； ? 5分 （ 2） 55 1 119A ? （种）； ? 9分 （ 3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全 同的放法： 1种； 第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法 ： 0种； 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法： 10种； 第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法： 252 20C ? 种； 故满足条件的放法数为 1 0 10 20 31? ? ? ?种 . ? 15分 20. 解： (1）记“
13、该小组做了 5次实验至少有 2 次成功”为事件 A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件 A0，则： P(A) 1 P(A1 A0) 1 P(A1) P(A0) 1 5 0 5551 1 1 31 ( ) ( )2 2 1 6CC? ? ? 故该小组做 了 5次这种实 验至少有 2次成功的概率为 1316 ? 7分 (2） ? 的可能取值为 2， 3， 4， 5. 则 211( 2) ( )24P ? ? ? ?； 132 11( 3) ( )24PC? ? ? ?， 143 13( 4 ) ( )2 1 6PC? ? ? ?， 0 5 1 5 1 55 5 41 1 1 5( 5
14、 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 6P C C C? ? ? ? ? ? ? 的分布列为： E = 1 1 3 5 5 72 3 4 54 4 1 6 1 6 1 6? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 分 21.解 ： 令 1,2,3n? 得 ： 2 4 34 2 4 4 1 19 3 7 0 1 0a b c aa b c ba b c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 2 ( 1 ) ( 3 1 1 1 0 )1 2 2 3 . . . ( 1 ) 12n n n nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 下面利用数学归纳法加以证明：（
15、1）验证当 1n? 时，由上面计算知等式成立； （ 2）假设 ( 1)n k k?时等式成立，即 22 2 2 ( 1 ) ( 3 1 1 1 0 )1 2 2 3 . . . ( 1 ) 12k k k kkk ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 当 1nk?时有： 22 2 2 2 2( 1 ) ( 3 1 1 1 0 )1 2 2 3 . . . ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )12k k k kk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2( 1 ) ( 3 1 1 1 0 ) 1 2 ( 2 ) ( 1 ) 3
16、 ( 2 ) 1 7 ( 2 ) 2 4 ( 2 ) 1 2 1 2k k k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) ( 2 ) 3 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 0 12k k k k? ? ? ? ? ? ， 1nk? ? ? 时等式成立 . 故由（ 1）（ 2）知存在常数 ,abc使得 22 2 2 ( 1 ) ( )1 2 2 3 . . . ( 1 ) 12n n a n b n cnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对一 切 *nN? 均成立 . ? 14 分 22. 解：（ 1） 函数 ()fx在 (0,2) 上递减
17、? (0,2)x? , 恒有 ( ) 0fx? ? 成立 , 而2 2( ) 0axfx x? ? (0,2)x?,恒有 2a x? 成立 , 而 2 1x? , 则 1a? 即满足条件的 a 的取值范围是 1a? . ? 4分 （ 2）当 0a? 时 , 2 2( ) 0axfx x? ? ? ?2x a?()fx的最小值 ()ga= 22( ) lnf a aaa? ( ) ln 2 ln 0g a a? ? ? ? ?2a? 故 ()ga的最大值为 (2) 2g ? . ? 9分 （ 3） 当 2?a 时， xaxfxh )2()()( ? ? xaxax )2(ln2 ? 2 2( ) 2 0axh x ax? ? ? ? ?,所以 ()hx 在 1, )? 上是增函数，故 ahxh ? )1()( 2? 当 2?a 时， xaxfxh )2()(
