1、精选课件精选课件ppt1一、线性微分方程的解法一、线性微分方程的解法(一一)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构问题问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()(yxQyxPy1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:精选课件精选课件ppt2例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),(x 1).函数的线性相关性函数的线性相关性精选课件精选课件ppt3例如例如,0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 2)2)二阶齐次线性方程的通解二阶齐次线性方
2、程的通解精选课件精选课件ppt42.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构 1)通解的构成通解的构成 2)特解的叠加原理特解的叠加原理精选课件精选课件ppt5(二二)降阶法与常数变易法降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式,得得,0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有,0)(2(111 vyxPyvy,0)(2(111 uyxPyuy即即精选课件精选课件ppt6解得解得,1)(21 dxx
3、PeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v精选课件精选课件ppt7设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程
4、通解求法-常数变易法常数变易法精选课件精选课件ppt8得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc,0)(2121 yyyyxw系系数数行行列列式式精选课件精选课件ppt9,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非
5、齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy精选课件精选课件ppt10.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解,01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例精选课件精选课件ppt11,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应应满满足足方方程程组组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(21
6、22)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为.1221 xxeCxCyx精选课件精选课件ppt12 小结小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)()(yxQyxPy,0)()()1(xxQxP若若;xy 特解特解,0)()(1)2(xQxP若若;xey 特特解解,0)()(1)3(xQxP若若.xey 特特解解(三）三）齐次线性方程齐次线性方程 1.定义定义 2.解法解法)(xfqyypy 1,2jr xjjye由此得
7、特解：1,2,2pr 特征根：.20rxy erpr q 20rprq特征方程：1 1、由对结果的猜想得：、由对结果的猜想得：2 2、对判别式的讨论、对判别式的讨论齐次线性方程齐次线性方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr 由定理由定理2得通解：得通解：;2121xrxreCeCy )0(特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根12,rxyye特解:)0(特征根为特征根为12,2prrr 问：如何求通解？问：如何求通解？通解显然不是通解显然不是1122y=C y+C y.21yy原因：常数。2r xxe1r再回顾：常数e122r xr xee
8、y1（此时称y与线性无关）。于是须寻找新函数于是须寻找新函数313331:rxyyeyyyy1 与 有关常数（即y 与 线性无关）331,rxyxyyxe由简单性原则猜得：（常数变易法），即由此得通解：由此得通解：12rxyCC xe注注:也可由降阶法也可由降阶法(刘维尔公式刘维尔公式)得得y3 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0(特征根为特征根为12(ixixyC eC e得通解：复数形式）如何得实数解？如何得实数解？由欧拉公式由欧拉公式cossin1iyieyiye注：cossinx iyiyxxeeeey iy精选课件精选课件pp
9、t17121122coscossin2,cossinsin2xxxxyyexyexixyyyexixexi12122122,22yyyyyi 1y1,y2 是齐次线性方程的解，则是齐次线性方程的解，则:由此得由此得:1212cos,sin22xxyyyyexexi也是原方程的解也是原方程的解.由定理由定理1:也是原方程的解也是原方程的解.12,C Cx12y=eC cos x+C sin x由此得通解：可任取。精选课件精选课件ppt18综上得特征方程法：综上得特征方程法：12122.rxrrryCC x e 二阶常系数齐次线性方程解法小结二阶常系数齐次线性方程解法小结2120,rprqr r解
10、解特特征征方方程程：得得：；1212121;r xr xrryC eC e 12cossin.:(0)axyeCxCxri 。特特例例12,C C以以上上可可任任取取。例例.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2一一、求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解:1 1、04 yy；2 2、0252
11、0422 xdtdxdtxd；3 3、0136 yyy；4 4、0365)4(yyy.二、二、下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、0,2,04400 xxyyyyy；2 2、3,0,013400 xxyyyyy.三、三、求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解.四、四、设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒,直径为直径为m5.0,铅直放在水中铅直放在水中,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周周期期为为,求浮筒的质量求浮
12、筒的质量.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCCy421 ；2 2、tetCCx2521)(；3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ；4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 .二、二、1 1、)2(2xeyx ；2 2、xeyx3sin2.三、三、0 yy.(.(提示提示:为为两两个个xe,1线性无关的解线性无关的解)四、四、195 Mkg.kg.精选课件精选课件ppt23（四）非齐次线性方程（四）非齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构*yy
13、y,()()cos,()sinmxxmmf xxPx ePx ex Px ex常见类型：难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法（待定系数法（同型化！同型化！）.精选课件精选课件ppt24猜测：猜测：*()xyQ x e 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 1()若若 是是特特征征方方程程的的零零重重根根 即即不不是是根根,02 qp ()mQ xPx比比较较不不含含微微分分的的项项，猜猜测测与与同同型型，故故：2()若若 是是特特征征方方程程的的一一重重根根 即即单单根根,02 qp ,02 p ()mPxQ x同同猜猜测测与与：型型，
14、故故 *();xmmQ xQxyQx e 1 1、指数式乘多项式型指数式乘多项式型:)()(xPexfmx ().mPxm为为次次 多多 项项 式式 *(),();xmmQ xxQxyxQx e 精选课件精选课件ppt253()若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根，,02 qp ,02 p 综上讨论知可设特解：综上讨论知可设特解：()(kxmyx eQkx 是是特特征征方方程程的的）.重重根根注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程 22*();xmmQ xx Qxyx Qx e 精选课件精选课件ppt26.232的通解的通解求方程求
15、方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr212,xxyc ec e 是单根，是单根，2 2*(),xyx AxB e设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1精选课件精选课件ppt272、指数式乘三角式型：、指数式乘三角式型：()()cos()sinxlnf xeP xxP xx 12()()()cos()sin,kxmmyx eRxxRxx 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()
16、2()1(max,ml n设：，则有结论（不证明）：ik 是是特特征征方方程程的的 重重根根。上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.精选课件精选课件ppt28 ()()cossinixkkxmmmg xx ePxx ePxPx cosxemg xRg xePxxfx 的的实实部部：；sinxmmg xIg xePxxfx 的的虚虚部部：。注注:实际计算中实际计算中,常有常有:cossinxxmmfxePxfxePx 或或 +iw xkmg x=x ePx 此此时时可可令令或或精选课件精选课件ppt29.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解
17、解对应齐方通解对应齐方通解12cossin,yCxCx 作辅助方程作辅助方程4,ixyye,i 是是单单根根*,ixyAxe 故故代入上式代入上式24,Ai 2,Ai 222sin(cos),ixg xixexxixx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为2*cosyxx 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2精选课件精选课件ppt30.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程2,ixyyxe 2,i 不不是是特特征征方方程程的的根根 2(),ixg xAx
18、B e 设设代入辅助方程代入辅助方程43031AiBA 1439,ABi ，21439(),ixg xxj e 例例3 3精选课件精选课件ppt31142239()(cossin)xixjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为 142239*cossin,yxxx g x 的的实实部部原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 144122223993cossin(cossin),xxxxxx i 注意注意xAexAexx sin,cos().ixAe 分分别别是是的的实实部部和和虚虚部部精选课件精选课件ppt32.tan的的通通解解求求方方程程xyy
19、 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 4精选课件精选课件ppt33三、小结三、小结()()xf xeP x*kxy=x e Q(x);(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法：只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取特解的实部或虚部取特解的实部或虚部,得得原非齐方程特解原非齐方程特解.kQ x
20、P x 其其中中，为为特特征征方方程程得得 重重与与根根，同同型型。kxxg=x e Q(x)当当 是是复复数数时时有有:精选课件精选课件ppt34思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.精选课件精选课件ppt35思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根CBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）CBxAx 2.22xeDx*2y*1*yy 22,1 r*2y*1*yy xeyyy2844 *2y2644xyyy *1y精选课件精选课件ppt36一一、求求
21、下下列列微微分分方方程程的的通通解解:1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin .二二、求求下下列列各各微微分分方方程程满满足足已已给给初初始始条条件件的的特特解解:1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2,1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy ,0,000 xxyy.练练 习习 题题精选课件精选课件ppt37三、三、含含源源在在CLR,串联电路中串联电路中,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充充电电容容器器 C.已已20 E知知伏伏,微微法法2.0 C,亨亨1.0 L,欧欧10
22、00 R,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电压电压 .四、四、设设)(x 函函数数连续连续,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()(,)(x 求求.精选课件精选课件ppt38练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ；2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ；3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ；4 4、212cos10121 xeCeCyxx.二、二、1 1、xeyx45)511(1614 ；2 2、xxxexexexeey26)121(61223 ；3 3、)2sin1(812sin161xxxy .精选课件精选课件ppt39三、三、)105sin(104)(310523tetit (安安),105sin()105cos(2020)(331053ttetutc (伏伏).四、四、)sin(cos21)(xexxx .
