1、第十八章第十八章 平行四边形平行四边形18.2 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形第第3 3课时课时 正方形的判定正方形的判定1课堂讲解课堂讲解正方形面积的性质正方形面积的性质正方形的判定正方形的判定2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的马送来的“河图河图”(如下图所示如下图所示)，在洛水边又得到神，在洛水边又得到神龟送来的龟送来的“洛书洛书”“河图河图”、“洛书洛书”是几千年前是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，的两幅图象，是正方形的图案，
2、由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究充分显示了中华祖先的聪明才智和代数的研究充分显示了中华祖先的聪明才智1知识点知识点正方形面积的性质正方形面积的性质例例1 如图，点如图，点E在正方形在正方形ABCD的对角线的对角线AC上，且上，且EC 2AE，直角三角形，直角三角形FEG的两直角边的两直角边EF、EG分别分别 交交BC、DC于点于点M、N.若正方形若正方形ABCD的边长为的边长为a，则重叠部分四边形则重叠部分四边形EMCN的面积为的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2知知1 1讲讲2314594
3、9D作作EPBC于点于点P，EQCD于点于点Q，易得，易得EPM EQN，利用四边形，利用四边形EMCN的面积等于正方形的面积等于正方形PCQE的面积求解的面积求解作作EPBC于点于点P，EQCD于点于点Q，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCD90，又又EPMEQN90，PEQ90，PEMMEQ90，三角形三角形FEG是直角三角形，是直角三角形，NEFNEQMEQ90，PEMNEQ，CA是是BCD的角平分线，的角平分线，EPCEQC90，EPEQ，四边形，四边形PCQE是正方形，是正方形，知知1 1讲讲导引：导引：在在EPM和和EQN中，中，EPM EQN(ASA)，SEQNSEPM
4、，四边形四边形EMCN的面积等于正方形的面积等于正方形PCQE的面积，的面积，正方形正方形ABCD的边长为的边长为a，AC a，EC2AE，EC a，EPPC a，正方形正方形PCQE的面积的面积 a a a2，四边形四边形EMCN的面积的面积 a2.知知1 1讲讲,PEMNEQEPEQEPMEQN 22 232323234949总总 结结知知1 1讲讲 本例解法在于巧用本例解法在于巧用割补法割补法，将分散的图形拼合在，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了再利用正方形及三
5、角形的性质求出，解答过程体现了割补法割补法及及转化思想转化思想1 枣庄枣庄如图，边长为如图，边长为1的正方形的正方形ABCD绕点绕点A逆逆 时针旋转时针旋转45得到正方形得到正方形 AB1C1D1，边，边 B1C1与与 CD交于点交于点O，则四边形，则四边形AB1OD的面积是的面积是()A.B.C.D.1知知1 1练练2212 716342 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为2，H在在CD的延长线的延长线 上，四边形上，四边形CEFH也为正方形，则也为正方形，则DBF的面积的面积 为为()A4 B.C2 D2知知1 1练练222知识点知识点正方形的判定正方形的判定知知2 2导导
6、正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论中的一些结论.思考思考知知2 2导导 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？问题问题知知2 2讲讲正方形的判定方法：正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形先证明它是矩形(或菱形或菱形)，再证明这个矩形，再证明
7、这个矩形(或菱形或菱形)有有一组邻边相等一组邻边相等(或有一个角是直角或有一个角是直角)，其实质就是根据正，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直知知2 2讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，CD平分平分 ACB，DEBC，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F.求证：四边形求证：四边形CFDE是正方形是正方形要证四边形要证四边形CFDE是正
8、方形，是正方形，首先要确定这个正方形建立首先要确定这个正方形建立在哪种四边形的基础上，即在哪种四边形的基础上，即先证它是什么四边形；再证先证它是什么四边形；再证这种四边形是正方形需要补这种四边形是正方形需要补充的条件充的条件导引：导引：知知2 2讲讲证法一：证法一：DEBC，ACBC，DECF.同理同理DFCE，四边形四边形CFDE是平行四边形是平行四边形 CD平分平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，CFDE是菱形是菱形 ACB90，菱形菱形CFDE是正方形是正方形证法二：证法二：ECFCFDCED90，四边形四边形CFDE是矩形是矩形 CD平分平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，
9、矩形矩形CFDE是正方形是正方形正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）总总 结结知知2 2讲讲 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：方法：方法方法1：证：证：“四边形四边相等四个直角四边形四边相等四个直角”；方法方法2：证：证：“平行四边形一组邻边相等一个直平行四边形一组邻边相等一个直角角”；方法方法3：证：证：“矩形一组邻边相等矩形一组邻边相等”；方法方法4：证：证：“菱形一个直角菱形一个直角”说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是建立在矩形或菱形的基础上，采用方
10、法建立在矩形或菱形的基础上，采用方法3、方法、方法4进行进行证明；如证明中的证法一、证法二；本例也可采用方证明；如证明中的证法一、证法二；本例也可采用方法法1、方法、方法2，请读者去试一试，请读者去试一试正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）1 已知：如图，点已知：如图，点M是矩形是矩形ABCD的边的边AD的中点，点的中点，点 P是是BC边上的一动点，边上的一动点，PECM，PFBM，垂足，垂足 分别为分别为E、F.(1)当矩形当矩形ABCD的长与宽满足的长与宽满足 什么条件时，四边形什么条件时，四边形PEMF 为矩形？试说明理由；为矩形？试说明理由；(2)在在(
11、1)中，当点中，当点P运动到什么位置时，矩形运动到什么位置时，矩形PEMF 为正方形？为什么？为正方形？为什么？知知2 2练练正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）2 下列选项中不能判定四边形下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形是正方形(对角对角 线交于点线交于点O)的是的是()AAB CD，ABAD，BAD90 BABBCCDAD，ABC90 CBADABCBCD90，ACBD DAOCOBODO，ACBD知知2 2练练正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）知知2 2讲讲例例3 如图，已知在如图，已知在 ABCD中，对角线中，对
12、角线AC，BD交于点交于点O，E 是是BD的延长线上的点，且的延长线上的点，且EAEC.(1)求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；(2)若若DACEADAED，求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形要证要证 ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四是正方形，有三种途径可走：即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的条件进行证明；若要证明条件进行证明；若要证明 ABCD是菱形，由于题中条是菱形，由于题中条件与对角线相关，则需证件与对角线相关，则需证ACBD.导引：导引：正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的
13、判定课件（PPT优秀课件）知知2 2讲讲(1)首先根据平行四边形的性质可得首先根据平行四边形的性质可得AOCO，再由，再由EA EC可得可得EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得形三线合一的性质可得EOAC，根据对角线互相，根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论；垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出首先根据角的关系得出AODO，进而得到，进而得到AC BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结 论论正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）知知
14、2 2讲讲(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AOCO，EAEC，EOAC，即，即BDAC，四边形四边形ABCD是菱形是菱形(2)ADOEADAED，DACEADAED，ADODAC，AODO，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC2AO，BD2DO，ACBD，四边形四边形ABCD是正方形是正方形.证明：证明：正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）总总 结结知知2 2讲讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)
15、证：证：“平行四边形对角线互相垂直且相等平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：证：“矩形对角线互相垂直矩形对角线互相垂直”；(4)证：证：“菱形对角线相等菱形对角线相等”证明一个四边形是正方形的方法：需结合条件选证明一个四边形是正方形的方法：需结合条件选择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，然后找一个角是直角或对角线相等然后找一个角是直角或对角线相等正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）1 如图，已知如图，已知 A
16、BCD中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，E是是BD延长线上的点，且延长线上的点，且ACE是等边三角形，是等边三角形，若若AED2EAD.求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形知知2 2练练正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）2 (2016益阳益阳)下列判断错误的是下列判断错误的是()A两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形两条对角线垂直且互相平分的四
17、边形是正方形知知2 2练练正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）3 (2015日照日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文小明在学习了正方形之后，给同桌小文 出了道题，从下列四个条件：出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC 90；ACBD；ACBD中选两个作为补充中选两个作为补充 条件，使条件，使 ABCD为正方形为正方形(如图如图)，现有下列四种选，现有下列四种选法，法，你认为其中错误的是你认为其中错误的是()A B C D知知2 2练练正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四证明条件中不含
18、对角线的四边形是正方形的四种方法：种方法：方法方法1：证：证：“四边形四边相等四个直角四边形四边相等四个直角”；方法方法2：证：证：“平行四边形一组邻边相等一个直平行四边形一组邻边相等一个直 角角”；方法方法3：证：证：“矩形一组邻边相等矩形一组邻边相等”；方法方法4：证：证：“菱形一个直角菱形一个直角”正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：证：“平行四边形对角线互相垂直且相等平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：证：“矩形对角线互相垂直矩形对角线互相垂直”；(4)证：证：“菱形对角线相等菱形对角线相等”正方形的判定课件（PPT优秀课件）正方形的判定课件（PPT优秀课件）
