1、第二章第二章 单元分析单元分析 平面问题常应变单元平面问题常应变单元2.1 基本力学量矩阵基本力学量矩阵 在用矩阵描述单元各种力学量时，不同性质单元在用矩阵描述单元各种力学量时，不同性质单元的同一力学量可采用相同的矩阵符号，不同的仅仅是的同一力学量可采用相同的矩阵符号，不同的仅仅是矩阵体积和矩阵元素。矩阵体积和矩阵元素。本章主要讲单元分析的一般理论、方法。为了便本章主要讲单元分析的一般理论、方法。为了便于理解，以平面问题常应变三角形单元为对象进行说于理解，以平面问题常应变三角形单元为对象进行说明、演引。必须指出：尽管说明、演引中具有明显的明、演引。必须指出：尽管说明、演引中具有明显的针对性（平
2、面问题三角形单元），但原理、方法和主针对性（平面问题三角形单元），但原理、方法和主要矩阵公式都具有普遍性。要矩阵公式都具有普遍性。（2-1）Tsysxsysxsqqqqq2、单元内任意点的体积力列阵、单元内任意点的体积力列阵 qV（2-2）TVyVxVyVxVqqqqq1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵、单元表面或边界上任意点的表面力列阵 qs ijmxyijmxyqVqs图图2-1ijmxyuv3、单元内任意点的位移列阵、单元内任意点的位移列阵 f Tuf（2-3）4、单元内任意点的应变列阵、单元内任意点的应变列阵 Txyyx（2-4）ijmxy5、单元内任意点的应力列阵、单元内任意点的
3、应力列阵 Txyyx（2-5）6、几何方程列阵、几何方程列阵Txyuyxu（2-6）xvyuyvxuxyyx,将上式代入式（将上式代入式（2-4），），ijmxyTxyyx（2-4）7、物理方程矩阵式、物理方程矩阵式xyyxxyyxE21001112称对（2-7）式中式中 E、弹性模量、泊松比。弹性模量、泊松比。上式可简写为上式可简写为D（2-8）其中其中 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：式可表示为：)(12yxxE21001112称对ED（2-9）矩阵矩阵D称为弹性矩阵。称为弹性矩阵。式（式（2-9）给出的弹性矩阵）给出的弹
4、性矩阵D的矩阵元素是按照平面应力问题的物理方程得出的；的矩阵元素是按照平面应力问题的物理方程得出的；对于平面应变问题，需将式（对于平面应变问题，需将式（2-9）中的）中的E换为换为 ，换为换为 。21E1D（2-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式（各种类型结构的弹性物理方程都可用式（2-8）描述。但结构类型不同，力学性态描述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变应力分量、应变分量分量)有区别，有区别，弹性矩阵弹性矩阵D的体积和元素是不同的。的体积和元素是不同的。2.2 位移函数和形函数位移函数和形函数 1、位移函数概念、位移函数概念 “位移函数位移函数”也称也称“位移模式位移模式”，是
5、单元内部，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先给出（设定）位移函数。事先给出（设定）位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是算结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划分得足够小一件容易的事情。有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这
6、正是有限单元法具有的重要优势之一。确的结果。这正是有限单元法具有的重要优势之一。2、位移函数设定举例、位移函数设定举例 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图以平面问题三角形单元（图2-2）为例，说明设定位）为例，说明设定位移函数的有关问题。移函数的有关问题。图图2-2是一个三节点三角形是一个三节点三角形单元，其节点单元，其节点i、j、m按逆时针按逆时针方向排列。每个节点位移在单方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：元平面内有两个分量：),(mjiuTiii（2-10）一个三角形单元有一个三角形单元有3个节点（以个节点（
7、以 i、j、m为为 序），共序），共有有6个节点位移分量。其个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列单元位移或单元节点位移列阵阵为：为：图图2-2ijmuiujumvivjvmxy 本问题选位移函数为简单多项式：本问题选位移函数为简单多项式：yaxaayaxaau654321（2-12）式中，式中，a1、a2、a6待定常数，由单元位移的待定常数，由单元位移的6个个 分量确定。分量确定。Tmmjjiimjiuuu（2-11）式（式（2-12）位移函数中，）位移函数中，a1、a4代表刚体位移，代表刚体位移，a2、a3、a5、a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数代表单元中的常应变，而且，位移函
8、数是连续函数。是连续函数。ijmuiujumvivjvmxyuv625352,aaaaayvaxuxyyx 3、选取位移函数应考虑的问题、选取位移函数应考虑的问题 （1）单元）单元有几个位移函数有几个位移函数 单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函数。本单元中有数。本单元中有u和和v，与此相应，有，与此相应，有2个位移函数；个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元位移列阵中的元素个待定常数个数应等于单元位移列阵中的元素个数。以便用单元位移确定位移函数中的待定常数。数。以便用单元位移确定位移函数中的待定常
9、数。本单元位移列阵中有本单元位移列阵中有6个元素，为了能把个元素，为了能把2个位移函个位移函数（数（u、v）和单元位移的）和单元位移的6个元素联系起来，两个位个元素联系起来，两个位（2）位移函数是坐标的函数位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：本单元的坐标系为：x、y；移函数中包含的待定常数一共应有移函数中包含的待定常数一共应有6个。个。（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。量协调。条件（条件（4
10、）、（）、（5）构成单元的完备性准则。）构成单元的完备性准则。条件（条件（6）是单元的位移协调性条件。）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。要与充分条件。yaxaayaxaau654321例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函
11、数中包含了单元的常应变。位移函数中包含了单元的常应变。xvyuyvxuxyyx,(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)254136对任一单元，如对任一单元，如单元，取位移函数：单元，取位移函数：、单元的位移函数都是单元的位移函数都是yaxaayaxaau654321可以看出：可以看出：位移函数在单元内是连续的；位移函数在单元内是连续的；以以、的边界的边界26为例为例2562635623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗
12、？是。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。3、形函数、形函数 形函数是用单元位移分量来描述位移函数的插值形函数是用单元位移分量来描述位移函数的插值函数函数。iiiiiiyaxaayaxaau654321jjjjjjyaxaayaxaau654321mmmmmmyaxaayaxaau654321（2-13）（1）形函数定义）形函数定义 现在，通过单元位移确定位移函数中的待定常数现在，通过单元位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、a6。设节点。设节点i、j、m的坐标分别为（的坐标分别为（xi、yi）、（）、（xj、yj）、（）、（xm、ym），节点位移分别为），节点位移分别为（ui、vi）、
13、）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代）。将它们代入式（入式（2-12），有），有)122(654321yaxaayaxaau从式（从式（2-13）左边）左边3个方程中解出待定系数个方程中解出待定系数a1、a2、a3为为 mmmjjjiiiyxuyxuyxuAa211mmjjiiyuyuyuAa111212mmjjiiuxuxuxAa111213（2-14）式中，式中，A为三角形单元的面积，有为三角形单元的面积，有 mmjjiiyxyxyxA11121（2-15）特别指出：特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。
14、至于将哪个节的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点点作为起始节点i，则没有关系。，则没有关系。将式（将式（2-14）代入式（）代入式（2-12）的第一式，整理后得）的第一式，整理后得)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu同理同理)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaAijmxy（2）（1）（7）)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA（2-16）式中式中),(mjijmmjiyxyxamj
15、iyybmjixxc（2-17）ijm式（式（2-17）中（）中（i、j、m）意指：按）意指：按i、j、m依次轮换依次轮换下标，可得到下标，可得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出现类似。后面出现类似情况时，照此推理。式（情况时，照此推理。式（2-17）表明：）表明：aj、bj、cjam、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。是单元三个节点坐标的函数。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA（2-16）令令)(21ycxbaANiiii),(mji（2-18）位移模式（位移模式（
16、2-16）可以简写为）可以简写为（2-19）mmjjiimmjjiiNNNuNuNuNu 式（式（2-19）中的）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。又称插值函数。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA（2-16）用形函数把式（用形函数把式（2-16）写成矩阵，有）写
17、成矩阵，有mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000缩写为缩写为Nf（2-20）下面将会看到，形函数是有限单元法中的一个下面将会看到，形函数是有限单元法中的一个重要函数。了解它的一些基本性质是有益的。重要函数。了解它的一些基本性质是有益的。N为形函数矩阵，进一步写成分块形式：为形函数矩阵，进一步写成分块形式：mjiNNNN（2-21）其中子矩阵其中子矩阵),(00mjiINNNNiiii（2-22）I是是22的单位矩阵。的单位矩阵。（2）形函数性质）形函数性质性质性质1 形函数形函数Ni在节点在节点i上的值等于上的值等于1，在其它节点，在其它节点 上的值等于上的值等于0。
18、对于本单元，有。对于本单元，有 0),(0),(1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN（i、j、m）性质性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对。对 于本单元，有于本单元，有1),(),(),(yxNyxNyxNmjimmjjiimmjjiiNNNuNuNuNuxyN（i，j，m）Ni=1ijm图图2-3为什么？为什么？xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1图图2-4性质性质3 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有 0),(),(1),(yxNxxxx
19、yxNxxxxyxNmijijijiixxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1jijixxxxyxN1),(ijijijiijijixxxxxxxxxxxxxxyxN1),(证证图图2-5性质性质4 形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公 式为式为 ijdlNAdxdyNijiAi213（2-23）式中式中 为为 边的长度。边的长度。ijij2.3 单元应变矩阵和应力矩阵单元应变矩阵和应力矩阵 式（式（2-6）给出了单元内任一点的应变和位移之）给出了单元内任一点的应变和位移之间关系。间关系。1、单元应变矩阵、单元
20、应变矩阵xvyuyvxuxyyx（2-6）对位移函数（式（对位移函数（式（2-16）mmjjiimmmmjjjjiiiixyyxuuubccbbccbbccbA00000021（2-24）)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA（2-16）求导后代入式（求导后代入式（2-6），得到应变和节点位移的关系式。），得到应变和节点位移的关系式。xvyuyvxu,上式简写一般式：上式简写一般式：B（2-25）式中，式中，B单元应变矩阵。单元应变矩阵。对本问题，维数为对本问题，维数为36。它的分
21、块形式为：。它的分块形式为：mjiBBBB 子矩阵子矩阵),(0021mjibccbABiiiii（2-26）由于由于 与与x、y无关，都是常量，因此无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。被称为常应变单元。mmjjiicbcbcbA,2、单元应力矩阵、单元应力矩阵 将式（将式（2-25）代入物理方程式（）代入物理方程式（2-8），得），得 D（2-8）BD（2-27）上式也可写为上式也可写为 S（2-28）这是单
22、元内任一点应力与单元位移的关系式。其中这是单元内任一点应力与单元位移的关系式。其中S称为单元应力矩阵，并有称为单元应力矩阵，并有（2-29）BDS 这里，这里，D是是33矩阵，矩阵，B是是36矩阵，因此矩阵，因此S也是也是36矩阵。它可写为分块形式矩阵。它可写为分块形式 mjiSSSS（2-30）将弹性矩阵（式（将弹性矩阵（式（2-9）和应变矩阵（式（和应变矩阵（式（2-26）代入，得子矩阵代入，得子矩阵Si由式（由式（2-29）iiBDS),(2121)1(22mjibcccbbAESiiiiiii（2-31）式（式（2-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，）是平面应力的结果。对于平面
23、应变问题，只要将上式中的只要将上式中的E换成换成 ，换成换成 即得。即得。21E1),()1(221)1(22111)21)(1(2)1(mjibccbcbAESiiiiiii（2-32）由于同一单元中的由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，矩阵都是常数矩阵，所以所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。点单元内的应力分量也是常量。当然，相邻单元的当然，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现
24、象。但是随着网格的细分，边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。2.4 单元应变能和外力势能的矩阵表达单元应变能和外力势能的矩阵表达 1、单元应变能单元应变能 仍以平面应力问题中的三角形单元说明。设单元仍以平面应力问题中的三角形单元说明。设单元厚度为厚度为h。ATAxyxyyyxxhdxdyhdxdyU21)(21将式（将式（2-25）和（）和（2-8）代入上式进行矩阵运算，并）代入上式进行矩阵运算，并注意到弹性矩阵注意到弹性矩阵D的对称性，有的对称性，有AThdxdyDU21 ATThdxdyBDB21应变能
25、应变能 U为为ijmxyh TTTTDD)(B(2-25)D（2-8）由于由于和和T是常量，提到积分号外，上式可写成是常量，提到积分号外，上式可写成 21ATThdxdyBDBU引入矩阵符号引入矩阵符号k，且有，且有AThdxdyBDBk（2-33a）式（式（2-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中意到其中hdxdy的实质是任意的微体积的实质是任意的微体积dv，于是得计，于是得计算算k的一般式。的一般式。dvBDBkvT（2-33）式（式（2-33）不仅适合于平面问题三角形单元，）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元也是计算各种类
26、型单元k的一般式。的一般式。ATThdxdyBDBU21 2.6节中将明确节中将明确k的力学意义是单元刚度矩阵。的力学意义是单元刚度矩阵。式（式（2-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。适合于各种类型的单元。单元应变能写成单元应变能写成 21kUT（2-34）2、单元外力势能单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内布载荷，如风力
27、、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。力等。dvBDBkvT（2-33）（1）体积力势能体积力势能 单位体积中的体积力单位体积中的体积力如式（如式（2-2）所示。）所示。单元上体积力具有的势能单元上体积力具有的势能Vv为为AVTvhdxdyqfV（2-2）TVyVxVqqqijmxyqVxqVyijmxyuv注意到式（注意到式（2-20）AVTTAVTvhdxdyqNhdxdyqNV)(有有Nf（2-20）（2）表面力势能表面力势能 面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵力，但它们属于结构内力，成对
28、出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。时也就不予考虑。现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面边界面上单位面积受到的表面力积受到的表面力如式（如式（2-1）。）。dAqNhdlqfVlSTTlSTSl单元边界长度单元边界长度h单元厚度单元厚度A表面力作用面积表面力作用面积（2-1）Tsysxsysxsqqqqq qs qs 沿厚度均匀分布，沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能则单元表面力的
29、势能Vs为为 （3）集中力势能集中力势能 当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力 Pc 的势能的势能Vc为为CTCPVp p/2C （4）总势能总势能CSVVVVV如果把（如果把（2-35）式中原括符内的部分用列阵）式中原括符内的部分用列阵 Fd 代替，代替，综合以上诸式，单元外力的总势能综合以上诸式，单元外力的总势能V为为 lCSTAVTTphdlqNhdxdyqN（2-35）Fd 具有和具有和相同的行、列数。则相同的行、列数。则dTFV（2-36）由单元的应变能
30、由单元的应变能U（2-34）和外力势能）和外力势能V（2-36），），可得单元的总势能可得单元的总势能 21dTTFkVU（2-37）以节点位移为未知量，对总势能取驻值问题变以节点位移为未知量，对总势能取驻值问题变成了一个多元函数的驻值问题。将式（成了一个多元函数的驻值问题。将式（2-37）代入，）代入，0根据弹性力学能量原理：结构处于稳定平衡的必要根据弹性力学能量原理：结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。和充分条件是总势能有极小值。2.5 能量原理和单元平衡方程能量原理和单元平衡方程于是有，于是有，21kUT（2-34）dTFV（2-36）式（式（2-38）是从能量原理导出的单
31、元平衡方程。这个方）是从能量原理导出的单元平衡方程。这个方程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，程表达了单元力与单元位移之间的关系。其中，Fd 和和单元节点力单元节点力 F 具有相同的意义。具有相同的意义。dFk（2-38）即得单元平衡方程即得单元平衡方程 2.6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 平衡方程（平衡方程（2-38）中的矩阵）中的矩阵k是单元力和单元是单元力和单元位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，位移关系间的系数矩阵，代表了单元的刚度特性，称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的体积为nj nj，nj 是单元位移总数。是单元位移总数。1、计算单元
32、刚度矩阵的一般公式、计算单元刚度矩阵的一般公式 计算各类单元的单元刚度矩阵均可按式（计算各类单元的单元刚度矩阵均可按式（2-33）执行。它与单元应变矩阵执行。它与单元应变矩阵B和弹性矩阵和弹性矩阵D有关。有关。dvBDBkvT（2-33）对于平面应力三角形单元，应变矩阵对于平面应力三角形单元，应变矩阵B是常数是常数矩阵，同时弹性矩阵矩阵，同时弹性矩阵D也是常数矩阵，于是式（也是常数矩阵，于是式（2-33）可以化简为）可以化简为 式中式中A表示三角形单元的面积。表示三角形单元的面积。h是单元厚度。是单元厚度。2、平面问题三角形单元刚度矩阵、平面问题三角形单元刚度矩阵 （1）平面应力三角形单元）平
33、面应力三角形单元 hASBhABDBkTT（2-39）将式（将式（2-9）和（）和（2-26）代入上式，）代入上式，即得平面应力三角形单元刚度矩阵。写成分块形即得平面应力三角形单元刚度矩阵。写成分块形式，有式，有mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk（2-40）21001112称对ED（2-9）),(0021mjibccbABiiiii（2-26）式式(2-40)中子矩阵中子矩阵krs为为22矩阵，有矩阵，有（2-41）（2）平面应变三角形单元）平面应变三角形单元对于平面应变问题，须将上式中的对于平面应变问题，须将上式中的E换为换为 ，换为换为 ，于是有，于是有21E1srs
34、rsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbAEhhABDBk21212121)1(42),(mjisr，组合见式（，组合见式（2-40）其中，其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式（是形函数式（2-16）中的系数）中的系数(式式2-17)。（2-42）平面问题的单元刚度矩阵平面问题的单元刚度矩阵k不随单元（或坐标轴）不随单元（或坐标轴）的平行移动或作的平行移动或作n 角度角度（n为整数）的转动而改变。为整数）的转动而改变。由公式（由公式（2-41）、（）、（2-42）知，）知，krs矩阵和其中的矩阵和其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有关。）有
35、关。单元平移时，单元平移时，bi、ci不变不变。srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAhEk)1(221)1(2211)1(2211)1(221)21)(1(4)1(),(mjisr，组合见式（，组合见式（2-40）（3）平面问题三角形单元刚度矩阵与坐标系无关）平面问题三角形单元刚度矩阵与坐标系无关ijmxyo 单元转动时，单元转动时，bi、ci不变。不变。当单元旋转时，各节点的编号保持不变。如图当单元旋转时，各节点的编号保持不变。如图2-7所示，图所示，图a所示的单元旋转所示的单元旋转 时，到达图时，到达图b所示位置。所示位置。mjiyybmjixxc（2-1
36、7）ijmyjymijm图图2-7xyo(b)xyo(a)jim可以证明，这两种情形的可以证明，这两种情形的k是相同的。是相同的。其实，推演公式（其实，推演公式（2-40）、（）、（2-41）、（）、（2-42）时并没有规定坐标系的方位，当坐标系旋转任意角度时并没有规定坐标系的方位，当坐标系旋转任意角度时，也不影响刚度矩阵的结果。时，也不影响刚度矩阵的结果。由此得出重要结论：平面问题的单元刚度矩阵由此得出重要结论：平面问题的单元刚度矩阵k计算式不因坐标系不同而变，可以认为是结构坐计算式不因坐标系不同而变，可以认为是结构坐标系中写出的单元刚度矩阵。因而，没有坐标变换标系中写出的单元刚度矩阵。因而
37、，没有坐标变换问题。问题。（4）示例）示例 平面应力直角三角形单元刚度矩阵平面应力直角三角形单元刚度矩阵 图图2-8示出一平面应力直角三角形单元，直角边示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为长分别为a、b，厚度为，厚度为h，弹性模量为，弹性模量为E，泊松比为，泊松比为，计算单元刚度矩阵。计算单元刚度矩阵。第一步：计算第一步：计算bi、ci和单元和单元 面积面积A。图图2-8mjiyybmjixxc（1-17）ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)Ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表表2-1 单元节点坐标和单元节点坐标和bi、ci值（值（i、j、m）参数参数
38、节点节点单元面积单元面积:A=ab/2 计算步骤计算步骤 第二步：求子矩阵第二步：求子矩阵 由式（由式（2-41），算得），算得 2222100)1(2bbabEhkii0210)1(22abababEhkij其他从略。其他从略。第三步：形成第三步：形成k将将kii等按式（等按式（2-40）组集成）组集成k。（2-43a）222222222222222222121212121212121002121021210212102121000)1(2baababaabbabababababaabbaabaababaaabbababbabbabbabEhk 2i-1 2i 2j-1 2j 2m-1 2m
39、2i-12i2j-12j2m-12m红色号码红色号码是单元位移（是单元位移（1、2、）在结构中对应的）在结构中对应的节点位移的序号。节点位移的序号。i、j、m表示单元中表示单元中3个节点在结构系统中的编号。个节点在结构系统中的编号。当当a=b时，即等腰直角三角形单元，有时，即等腰直角三角形单元，有（2-43b）2321121212123212111100212102121021210212101001)1(22Ehk2i-12i2j-12j2m-12m 2i-1 2i 2j-1 2j 2m-1 2m 子程序框图子程序框图SUBROUTINE SME3(NJ,NE,NI,ND2,E,AMU,H,
40、LO,X,Y,SM,NTYPE)IMPLICIT DOUBLE PRECISION(a-h,o-z)DIMENSION LO(NE,3),X(NJ),Y(NJ),SM(ND2,ND2),B(3),C(3),D(3,3),YB(3,6),S(3,6),组集弹性刚度矩阵组集弹性刚度矩阵D（书式（书式1-19）计算应变矩阵计算应变矩阵B（书式（书式1-17、24、25、26）计算应力矩阵计算应力矩阵S（书式（书式1-29）计算单元刚度矩阵计算单元刚度矩阵k（书式（书式1-42）RETURNEND 子程序子程序见附页见附页 SUBROUTING SME3()作业作业1：写平面问题三角形单元单元刚度矩写
41、平面问题三角形单元单元刚度矩 阵阵k的子程序。的子程序。3、单元刚度矩阵性质、单元刚度矩阵性质 jjjjjjjjjjnnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk21212122222211111211njnj单元刚度矩阵单元刚度矩阵k的详细内容为的详细内容为（i、j是行列号是行列号）：）：jjjjjjjjjjjjnjinjinnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjiFFFFFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk212121212122222211111211（2-38）单元刚度矩阵具有以下的性质
42、：单元刚度矩阵具有以下的性质：（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，例如，kij表示当单元位移中第表示当单元位移中第j个元素为个元素为1(j=1)其余元其余元素为零时，引起的单元力中的第素为零时，引起的单元力中的第i个节点力个节点力Fi。主对角线上元素主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。恒为正值。（2）k的每一行或每一列元素之和为零的每一行或每一列元素之和为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11injinjjijiiiiiFkkkkk2211以上以上式中第式中第i行为例，行为例，当所有节点沿当所有节点沿x向或
43、向或y向向都产生单位位移时，都产生单位位移时，单元作平动运动，无单元作平动运动，无应变，也无应力。应变，也无应力。121nj所以有，所以有，021injijiiiikkkkk即，即，k的每一行元素之和为零。的每一行元素之和为零。rstxy图图2-6iinjijiiFkkkk21 （3）k是对称矩阵是对称矩阵 由的表达式，可见，由此可知由的表达式，可见，由此可知k具有对称性。具有对称性。jjjjjjjjjjnnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk21212122222211111211njnj对于主对角线元素对称。对称表达式
44、：对于主对角线元素对称。对称表达式：kij =kji根据对称性，每一列元素之和也为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。证明证明 kij表示当单元位移中第表示当单元位移中第j个元素为个元素为1(j=1)其余元其余元素为零时，引起的单元力中的第素为零时，引起的单元力中的第i个节点力个节点力Fi kji表示当单元位移中第表示当单元位移中第i个元素为个元素为1(i=1)其余元其余元素为零时，引起的单元力中的第素为零时，引起的单元力中的第j个节点力个节点力Fj第第 i自由度自由度 第第 j自由度自由度位移位移 i=1 j=1力力Fi=kijFj=kji虚功虚功Fi i=kijFj j=kji由虚功原理
45、，得由虚功原理，得 kij=kji （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即即k的行列式为零。的行列式为零。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的）中的“平动问题平动问
46、题”，即单元可以发生任意的刚，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程（体运动。从数学上讲，方程（2-28）的解不是唯一的）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。（5）单元刚度矩阵是常量矩阵）单元刚度矩阵是常量矩阵单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。单元力和单元位移成线性关系是基于弹性理论的结果。2.7 等价节点力等价节点力 从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦应如此，必须将
47、体积力、表面力转化到节点上荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成为等价节点力（载荷）。在第去，成为等价节点力（载荷）。在第2.5节中已经得节中已经得到了公式（到了公式（2-35）和（）和（2-36）。这里，这里，Fd 就是体积力、表面力和集中力之和的总等就是体积力、表面力和集中力之和的总等价节点力。价节点力。CSVVVVVlCSTAVTTphdlqNhdxdyqN（2-35）dTFV（2-36）cSVdpFFF（2-44）把总等价节点力把总等价节点力 Fd 分解成体积力、表面力和集中分解成体积力、表面力和集中力的等价节点力之和，有力的等价节点力之和，有 FV 单元上体积力的等价节点
48、力单元上体积力的等价节点力 FS 单元上表面力的等价节点力单元上表面力的等价节点力 pC 单元上节点上的集中力单元上节点上的集中力注意到式（注意到式（2-35），得体积力等价节点力计算公式：），得体积力等价节点力计算公式：表面力的等价节点力计算公式：表面力的等价节点力计算公式：AVTVhdxdyqNF（2-45）hdlqNFSTlS（2-46）1、体积力的等价节点力、体积力的等价节点力 2、表面力的等价节点力、表面力的等价节点力 3、等价节点力计算举例、等价节点力计算举例（1）单元自重）单元自重 图图2-9所示平面应力三角形单元，单元厚度为所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重
49、为单元单位体积自重为，自重指向，自重指向y轴的负方向。轴的负方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmyAVTVhdxdyqNF（2-45）0Vq 计算式计算式mjiNNNN（2-21）图图2-9xyijm-0000000dxdyNNNNNNhFAmmjjiiV注意到形函数的性质注意到形函数的性质4：3AdxdyNAi（2-23）得自重荷载的等价节点力得自重荷载的等价节点力 00INNNNiiii（2-22）（i,j,m）根据体积力和式（根据体积力和式（2-45）、（）、（2-21）、（）、（2-22），得），得TTVhAAAAAAAhF101010310300330033003（2
50、-47）上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。子程序子程序见见 EJFV.FOR（2）均布面力）均布面力ijm图图2-10 xyqs单元边界上作用了均匀的分布力，单元边界上作用了均匀的分布力，如图如图2-10所示，其集度为所示，其集度为 qs。SySxSqqq hdlqNFSTlS（2-46）mjiNNNN（2-21）根据式（根据式（2-46）、（）、（2-21）和（）和（2-22）计算式计算式SySxlTmmjjiiSqqdlNNNNNNhF000000注意到形函数性质注意到形函数性质4：（2-23）ijij idlN21得得TSySxS
