1、 1 珠海市珠海市 20202020- -20212021 学年度第一学期高三学年度第一学期高三 摸底测试摸底测试 数学数学 2020.92020.9 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合 2 |4Ax x， 2 |30Bx xx，则AB A( 5, 2)(2,6) B( 2,2) C(, 5)(6,) D(, 2)(2,) 2 2 7 (1) i i A1 B2 Ci D2i 38 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名 医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方
2、式共有 A280 种 B350 种 C70 种 D80 种 4一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面，则 直线AC与平面所成的角为 A30 B45 C15 D60 5现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴， 5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学 的概率是 A 1 4 B 1 2 C 3 8 D 5 8 6若定义在R上的奇函数 f(x)在(0,)单调递增，且( 5)0f ，则满足0)(xf x 的解集 是 A(, 5)(5,) B(, 5)(0,5) C( 5,0)(5,)
3、 D( 5,0)(0,5) 7已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP的最大值是 A 1 4 B2 C1 D 1 2 2 8直线: l ykxb是曲线( )ln(1)f xx和曲线 2 ( )ln()g xe x的公切线，则b A2 B 1 2 Cln 2 e Dln(2 )e 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx ，则双曲线E的 离心率为 A 5 2 B5 C
4、5 3 3 D 3 5 5 10如图是函数( )sin()f xAx(0)的部分图象，则 (第 10 题图) A 1 ( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos() 2 f xx 11已知0ab，则 A 22 2abab B 22 2abab C()0a ab D2 ba ab 12已知随机变量X的取值为不大于()n nN 的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0 p 1 p 2 p 3 p n p 其中(0,1,2,3, ) i p in满足0,1 i p ，且 012
5、 1 n pppp定义由X生成的 函数 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp x，( )g x为函数( )f x的导函数， ()E X为随机变量X的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2， 3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为 1( ) f x， 3 则 A()(2)E Xg B 1 15 (2) 2 f C()(1)E Xg D 1 225 (2) 4 f 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点
6、的直线l与E交于 A，B 两 点， 1 AF、 2 BF都与x轴垂直，则|AB=_ 14将数列 2n与2n的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 10 项和为 _（用数字作答） 15已知、为锐角三角形的两个内角， 4 3 sin 7 ， 5 3 sin() 14 ，则 cos 2 16一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则 该长方体体积的最大值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在 1 cos 2 B ， 1 cos 2 C ， 2 cos 2 C 这三个条件中任选一个，补充在下
7、面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且sin (1 2cos )2sincoscossinBCACAC ，1b ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 已知数列 n a 是正项等比数列，满足 345 2aaa ， 12 1aa （1）求 n a 的通项公式； （2）设 2 log (3) nn ta，求数列 12 1 nn tt 的前n项和 n T 4 19 （12分）如图，三棱锥PABC中，2ACBCPCPB，120ACB，平面 P
8、BC底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点 （1）证明：PD平面ABC； （2）求二面角P CEB的正切值 (第19题图) 20（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等 品，每件售价240元；质量指标值落在20,25)和30,35)内的为一等品，每件售价为180元； 质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁每 件产品生产销售全部成本50元 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 频率 组距 质量指标值 0.
9、080 0.036 0.032 0.024 0.020 0.008 45403530252015 (第20题图) 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产 品的利润X(元)的期望的估计值 (2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费 用为(单位：元)，求(元)的分布列 质量 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 2 18 48 14 16 2 P E DC B A 5 21（12分）已知函数 2 ( )e2(
10、) xx f xxaxeaxa，0a （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）讨论 ( )f x的零点的个数 22（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点(0,) 2 p F(0)p 到直线:2l yx的距 离为 3 2 2 ， 00 (,)P x y为直线l上的点， 过P作抛物线E的切线PM、PN， 切点为M N、 (1)求抛物线E的方程； (2) 若 (3,1)P ，求直线MN的方程; (3)若P为直线l上的动点，求| | |MFNF 的最小值 6 珠海市珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三摸底测试学年度第一学期高三摸底测试 数学数学 2020.9 解析及评分参考解析及评分
11、参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合 2 |4Ax x， 2 |30Bx xx，则AB A A( 5, 2)(2,6) B( 2,2) C(, 5)(6,) D(, 2)(2,) 2 2 7 (1) i i B A1 B2 Ci D2i 38 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名 医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B A280 种 B350 种 C70 种 D80 种 4一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面，
12、则 直线AC与所成的角为 D A30 B45 C15 D60 5现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴， 5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学 的概率是 A A 1 4 B 1 2 C 3 8 D 5 8 6若定义在R上的奇函数 f(x)在(0,)单调递增，且( 5)0f ，则满足0)(xf x 的解集 是 D A (, 5)(5,) B (, 5)(0,5) C ( 5,0)(5,) D( 5,0)(0,5) 7已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP的最大值是
13、C A 1 4 B2 C1 D 1 2 8直线: l ykxb是曲线( )ln(1)f xx和曲线 2 ( )ln()g xe x的公切线，则b C 7 A2 B 1 2 Cln 2 e Dln(2 )e 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx ，则双曲线E的 离心率为 AB A 5 2 B5 C 5 3 3 D 3 5 5 10如图是函数( )sin()f xAx(0)的部分图象，则 BCD A 1
14、( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos() 2 f xx 11已知0ab，则 ACD A 22 2abab B 22 2abab C()0a ab D2 ba ab 12已知随机变量X的取值为不大于()n nN 的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0 p 1 p 2 p 3 p n p 其中(0,1,2,3, ) i p in满足0,1 i p ，且 012 1 n pppp定义由X生成的 函数 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp
15、 x，( )g x为函数( )f x的导函数， ()E X为随机变量X的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2， 3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为 1( ) f x， 则 CD A()(2)E Xg B 1 15 (2) 2 f C()(1)E Xg D 1 225 (2) 4 f 8 提示： X 2 3 4 5 6 7 8 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 2345678 1 1234321 ( ) 16161616161616 f xxxxxxxx 2345678 1 1234321
16、(2)2222222 16161616161616 f 225 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点的直线l与E交于 A，B 两 点， 1 AF、 2 BF都与x轴垂直，则|AB=_13 14将数列 2n与2n的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 10 项和为 _（用数字作答） 2046 15已知、为锐角三角形的两个内角， 4 3 sin 7 ， 5 3 sin() 14 ，则 cos 2 1 2 16一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则
17、该长方体体积的最大值为 64 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在 1 cos 2 B ， 1 cos 2 C ， 2 cos 2 C 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且sin (1 2cos )2sincoscossinBCACAC ，1b ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 9 解：ABC中，由sin (1 2cos )2sincosco
18、ssinBCACAC 得sin2sincossincoscossinsincosBBCACACAC sinsincosBAC 1 分 (2sinsin)cos0BAC 2 分 ABC不是直角三角形 cos0C 2sinsinBA3 分 即2ab4 分 1b 2a6 分 选：由 1 cos 2 B ，及0B 得 3 B 7 分 由 sinsin ba BA 得sin 31A 9 分 不合理，故ABC不存在 10 分 选：由 1 cos 2 C 得 22 2cos3cababC 8 分 222 bca9 分 A为直角，不合题设，故ABC不存在10 分 选：由 2 cos 2 C 10 得 22 2
19、cos52 2cababC 10 分 18 （12 分） 已知数列 n a是正项等比数列，满足 345 2aaa ， 12 1aa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log (3) nn ta，求数列 12 1 nn tt 的前n项和 n T 解： （1）设正项等比数列 n a的公比为0q 由 345 12 2 1 aaa aa 得 234 111 11 2 1 a qa qa q aa q 解得 1 1 3 2 a q 2 分 所以 n a的通项公式 1 2 3 n n a nN 4 分 （2） 1 22 log (3)log 21 n nn tan 6 分 故 12 1111 (
20、1)1 nn ttn nnn 8 分 所以 12 1 nn tt 的前n项和: 1111111 (1)()()() 2233411 n n T nnn 12 分 19 （12分）如图，三棱锥PABC中，2ACBCPCPB， P E DC B A 11 120ACB，平面PBC底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点 （1）证明：PD平面ABC； （2）求二面角P CEB的正切值 （1）证明：PCPB，D是BC中点 PDBC1分 平面PBC底面ABC，PD平面PBC，平面PBC底面ABC BC PD平面ABC.4分 （2）解：如图，取CE中点F，连接DF，PF 则/DFAB5 分 2ACBCPC
21、PB，E是AB的中点，120ACB CEAB，6 分 3BE ， 3PD DFCE，7 分 3 2 DF PD平面 ABC CEPD，PDDFD CE 平面PDF8 分 CEFP9 分 PFD为二面角P CEB的平面角.10 分 在Rt PDF中， 3 tan2 3 2 PD PFD DF 11 分 二面角P CEB的正切值为 2 12 分 P F E D C B A 12 20（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等 品，每件售价240元；质量指标值落在20,25)和
22、30,35)内的为一等品，每件售价为180元； 质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁每 件产品生产销售全部成本50元 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 频率 组距 质量指标值 0.080 0.036 0.032 0.024 0.020 0.008 45403530252015 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产 品的利润X(元)的期望的估计值 (2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付
23、的费 用为(单位：元)，求(元)的分布列 解：(1)由题设知，50,70,130,190X 1分 X的分布列为 X 50 70 130 190 P 0.14 0.18 0.28 0.4 3分 质量 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 2 18 48 14 16 2 13 设备升级前利润的期望值为 ()0.14 ( 50)0.18 700.28 1300.4 190118E X 4分 升级前一件产品的利润的期望估计值为118元5分 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元) 则120,180,2406分 患者购买一件合格品的费用的分布列
24、为 8分 则240,300,360,420,48010分 111 (240) 6636 P 111 (300) 339 P 11115 (360)2 263318 P 111 (420)2 323 P 111 (480) 224 P 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 240 300 360 420 480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 12分 21（12分）已知函数 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa，0a （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）讨论 ( )f x的零点的个数 解：（1） 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa ( )(1
25、)(e2 ) x fxxa1分 120 180 240 P 1 6 1 3 1 2 14 0a时1x时 ( )0fx ，1x 时( )0fx .3分 0a时， ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,)4分 （2）0a时，(1)0 f 且 ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,) (1)0fe 是 ( )f x的极小值，也是最小值5分 (2)0fa ，6分 取0b且ln 2 a b 7分 则 22 ( )(2)(1)(2)(1)(23)0 22 b aa f bbea bba bbb 8分 ( )f x在( ,1)b 和(1,2)上各一个零点9分 0a时，( )(2) x f
26、 xxe只一个零点2x10分 综上，0a时， ( )f x有两个零点；11分 0a时， ( )f x一个零点 12分 22（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点(0,) 2 p F(0)p 到直线:2l yx的距 离为 3 2 2 ， 00 (,)P x y为直线l上的点， 过P作抛物线E的切线PM、PN， 切点为M N、 (1)求抛物线E的方程； (2) 若 (3,1)P ，求直线MN的方程; (3)若P为直线l上的动点，求| | |MFNF 的最小值 解：(1)由(0,) 2 p F到直线:20l xy的距离为 3 2 2 得 |2| 3 2 2 22 p 得2p 或10p 2分 15
27、0p 2p 3分 抛物线 2 :4E xy.4分 (2) 由 2 :4E xy知 2 1 4 yx 2 x y 5分 设切点 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 则 2 1111 111 :()2 2222 xxxx PMyyxxxxy 即 1 1 : 2 x PMyxy 2 2 : 2 x PN yxy6分 PPM，PPN 11 22 3 10 2 3 10 2 xy xy 即 11 22 3220 3220 xy xy 7分 :3220MNxy8分 (3)若P为直线l上的动点，设00 (,)P x y，则 00 2xy 由(2)知 PPM，PPN 0 110 0 220 0 2 0 2 x xyy x xyy 0 0 :0 2 x MNxyy与 2 :4E xy联立消x得 222 000 (24)0yyyyy“” 9分 则 1 y， 2 y是“”的二根 16 2 1200 2 120 24yyyy y yy 10分 121212 | | (1)(1)1MFNFyyyyy y 2 00 225yy11分 当 0 1 2 y 时，| |MFNF得到最小值为 9 2 12分
