1、1 131 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 132 质点系的达朗质点系的达朗贝尔贝尔原理原理 133 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 134 绕定轴转动刚体的轴承动约束反力绕定轴转动刚体的轴承动约束反力 第十四章第十四章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理2 本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原达朗贝尔原理理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法动静法。313-1惯性力惯性力 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理人用手推车amFF力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(
2、人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力。F 定义：质点惯性力定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。性反抗的总和。amQ一、惯性力的概念惯性力的概念 4222222dtzdmmaQdtydmmaQdtxdmmaQzzyyxx0222bbnnmaQvmmaQdtsdmmaQ注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。5 非自由质点M，质量m，受主动力 ，约束反力 ，合力FNamNFR0amNF0QNF质点的达朗
3、贝尔原理质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理6 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。7例例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a8 选单摆的摆锤为研究对象。虚加惯性力 )(maQamQ0cossin ,0QmgXtgga 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。aaa解：解：由动静法，有 解得
4、913-2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 ),1,2,.(0niQNFiii注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分,则 0)(,0)()(iiOiiFmF 0)()(0)()(iOeiOieiQmFmQF10 表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。dtKdvmdtdaMamQiiCiii)(dtLdv
5、mmdtdammQmOiiOiiOiO)()()(11对平面任意力系：对平面任意力系：0)()(0 0)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX对于空间任意力系：对于空间任意力系：0)()(,00)()(,00)()(,0)()()()()()(izeizizeiiyeiyiyeiixeixixeiQmFmQZQmFmQYQmFmQX 实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，12 13-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶
6、 。QRQOM )(与简化中心有关与简化中心无关QmMaMamQROQOCQ 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。13一、刚体作平动一、刚体作平动向质心C简化：CQaMR0)()(CiiCiiiCQCarmamrQmMcQaMR刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻翻页页请请看看动动画画1415空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：iiiamQ主矢：主矩：CQaMR)(0 )()(2反向负号表示与OiiiiiniOiOQOIrmrmrQmQmM二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体 先讨论具有
7、垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。O直线 i :平动，过Mi点，16向O点简化：CQaMROQOIM向质点C点简化：CQaMRCQCIM作用在C点作用在O点17讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。2meRQ18讨论：讨论：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）CQIM19讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0 ,0QCQMR（主矢、主矩均为零）20 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心。CQaMRCQCIM CQaMRCQCIM三
8、、刚体作平面运动三、刚体作平面运动2122 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：0)(,0)(0 ,00 ,0)()()(QCeCCQyeQxeMFmFmRYYRXX实质上：)(,)(22)(22)(22eCCeCeCFmdtdIYdtydMXdtxdM23 例例1 均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为研究对象 虚加惯性力系：2mlRQ3 ,02mlIMmaRAQAnnQ解解：根据动静法，有24(3)02/cos,0)(2)0sin ,0(1)0cos ,0000QAAnQnAnQAMlmgFmRmgR
9、FRmgRF。得代入得由得由 cos4 :(1);cos23 :)3(;sin :)2(000mgRlgmgRAnA25cos2331cos22lgmllmg0cos,000此时时 ,23g ,lt用动量矩定理用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解解：选AB为研究对象2coslmgIA由得：由质心运动定理：nAnARmgmaglamgRma000sin0cos432 cos00cos4 ,sin mgRmgRAnA26 例例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于
10、轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。TS、取轮为研究对象 虚加惯性力系：2mIMmRmaRCQCCQ解：解：由动静法，得：O27(3)0,0)(2)0 ,0(1)0 ,0QCCQMFRMFmSPNYRTFX由(1)得TFmRRQ得代入所以(3)mRTF(4)()(2222RTRRFTFRFRMmRTFmFRMFRMQC由(2)得 N=P+S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N=f(P+S)(5)RTRRSPfM22)(可见，可见，f 越大越越大越不易滑动。不易滑动。Mmax的值为上的值为上式右端的值。式右端的值。把(5)代入(4)
11、得：O2813-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化:主矢 ,主矩RQROMQOM )()()()(kQmjQmiQmkMjMiMQmQrMaMRiziyixQzQyQxiOiiQOCQ29iiiiiiiiiiiiiniiiixnixixQxRzmRzmamzamzQmQmQmMcossin cossin )()()(2ziiiiiizQzyzzxQyIRmRamQmMIIM22)(同理可得)()(/co /sin 2iiiiiiQxiiiiii
12、zymxzmMRxsRy故而2 ,yzzxQxiiiyziiizxIIMzymIxzmI惯性积令30根据动静法：.0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 QzzBAQyyABQxxzBQyyBAQxxBAMMOBXOAXMMOAYOBYMMRZRRYYRRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l，OA=l1，OB=l2，可得31/)()(/)()(/)()(/)()(11112222xBQxQyxyBQyQxyxBQyQxyxAQxQyxyARZllRMlRMXllRMlRMYllRMlRMYllRMlRMX 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不
13、平衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力320QyQxMM0QyQxRR当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。0022yzzxyzzxIIII)0(04222yzzxxzIII00CyCxMaMa0CCyx对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心33 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。动平衡：动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念二、
14、静平衡与动平衡的概念34例例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：(b)、(d)动平衡：(a)35 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。体，不一定是动平衡的。GrrgGmrGrrRMbGrmrGrMaQQQ2222212121 ,0 :)(21 ,0 :)(对对2121,例例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重G的物体OO36 根据达朗贝尔贝尔原理，以静
15、力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。达朗贝尔原理的应用达朗贝尔原理的应用37 选取研究对象选取研究对象。原则上与静力学相同。受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标 出方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加
16、惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定 要在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚 体惯性力系的简化结果。38 列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。求解求知量。求解求知量。注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。QOQMR ,OQOCQIMmaR ,39 例例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：解：方法方法1 用达朗
17、贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解40虚加惯性力和惯性力偶：IIMamRamROQOQQ ,222111由动静法：00 ,0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列补充方程：代入上式得：2211 ,raragIrmrmrmrm222211221141方法方法2 用动量矩定理求解用动量矩定理求解 2211)(222211222111)(grmgrmMIrmrmIrvmrvmLeOOgIrmrmrmrm2222112211 根据动量矩定理：2211222211)(ddgrmgrmIrmrmt 取系统为研究对象42gIrmrmrmrm222
18、2112211 )(2 21212122221122222211IrmrmIvmvmTd)()(2dd22112222112grmrmIrmrmWTF 得由取系统为研究对象，任一瞬时系统的)gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmWF221122112211 元功两边除以dt，并求导数，得方法方法3 用动能定理求解用动能定理求解43 例例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩
19、擦力（不计滚动摩擦）？44解：方法解：方法1 用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶OOOQRgQIM221列出动静方程：(3)0 sin0(2)0cos0(1)0 ,0)(TQ ,YYT ,XXMMTRFmOOQOAAQRgPagPR2QA21M ,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。QR45列出动静方程：(5)0sin ,0(4)0sin ,0)(PFRTXMRTRRRPFmQQAQC运动学关系：，OAOAARRa 将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：。)3()sin3(,)3()sin(22RPQQRMPTgR
20、PQRPMO46代入(2)、(3)、(5)式，得：。)3()sin(,sin)3()sin3(,cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOO47方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象)sin(sinPRMPRMWF)sin()3(4 ,2212PRMCRPQgWTTOF得由 )(AORRv222222221)3(4 22121221)(RPQgRgPvgPRgQTCTOAO常量gRPQPRMO2)3()sin(2 两边对t求导数：)sin(2)3(412OOOPRMRPQg48(2)用动量矩定理求
21、绳子拉力 （定轴转动微分方程）取轮O为研究对象，由动量矩定理得TRMRgQO22RPQQRMPT)3()sin3(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 ,cos0 ,TQYYMaTXXMaOCyOCxQRPQQRMPYRPQQRMPXOO sin)3()sin3(,cos)3()sin3(49(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程)(OAAAFRIRPQPRMPgRPQPRMRgPRRIFAA)3()sin()3()sin(22122方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用
22、达朗贝尔原理求约束反力用达朗贝尔原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。TOXOYF50 例例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：P51222224322121CCvgPRgPvgPT 主动力的功：sinPSWF由动能定理 得FWTT12sin34 sin04322gSvPSvgPCC对 t 求导数，则：sin32 ,sin3
23、2RggaC(2)用达朗贝尔贝尔原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCQRP52sin3sin3221,sin322PRRgRgPMPagPRQCCQ 0sincossin32sin3 ,0)(0sinsin32 ,00cossin32,0RPPSRPRPMFm ,PP YY ,P XXOOOO列出动静方程：SP MOcos2sin3P XO)sin3212P(YO53 例例4 绕线轮重P，半径为R及 r，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解解：用达朗贝尔贝尔原理求解 绕线轮作平面运动（
24、纯滚动）)(,RaaRIMagPROOOQOOQ由达朗伯原理，得0cos ,0)(RTTrRRMFmQQOC将RQ 、MQO代入上式，可得2)cos(RgPIrRTRaOO540cos ,0QRFTX22)cos()cos(cos cosRgPIRrgPITRgPIrRTRgPTRTFOOOQsin 0sin ,0TPNTPNY纯滚动的条件：F f N )sin()cos(2TPfRgPIRrgPITOO)(sin()cos(2RgPITPRrgPITfOO551.物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F？思考题：思考题：解：解：FNNFmaFNNRFQ056cos2212221aaaamRQcossintg2121aaa解：解：2.质量为M的三棱柱体A 以加速度 向右移动，质量为m的滑块B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？1a2a57 3.匀质轮重为P，半径为 r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解：解：grPIMrgPagPRgrPILgrPITrgPvgPKrgPICQCCQCCCCC2 ,2421 )(222222258谢谢！
