1、说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例4 4 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(li
2、m2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式
3、式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：定定义义 2 2 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0,PD是是其其聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数，总总 存存 在在 正正 数数，使使 得得 对对 于于 适适 合合 不不 等等 式式|00PP的的 一一 切切 点点DP ，都都 有有|)(|APf成成立立，则则称称 A A 为为n元元函函数数)(Pf当当0PP 时时的的极极限限，记记为为 APfPP)
4、(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0,PD是是其其聚聚点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性 （第（第197页）页）定义定义3 3例例 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性
5、解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续(0,0)是函数的间断点是函数的间断点21),(xyyxfz二元函数的间断点可以是孤立点，也可二元函数的间断点可以是孤立点，也可以是一条曲线以是一条曲线.例如函数：例如函数：的间断点就是一条抛物线的间断点就是一条抛物线.2xy 五、闭区域上二元连续函数的性质（第五、闭区域上二元连续函数的性质（第198页）页）在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，在上的二元连续函数，在D D上至少取得它的最大值
6、和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，如果上的二元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3）介值定理）介值定理（2）有界性定理）有界性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，在上的二元连续函数，在D D上一定有界上一定有界二元初等函数二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四
7、则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数元初等函数一切二元初等函数在其定义区域内是连续的一切二元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求例例).32(lim22312yxyyxxyx求解解22311231222原式.5例例.11lim00 xyxyyx 求求解：
8、解：)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 堂上练习题堂上练习题)12ln(12xyz、求定义域yxz、求定义域2xyzarcsin3、求定义域)1ln(44222yxyxz、求定义域221)ln(5yxxxyz、求定义域堂上练习题堂上练习题.)lnlim12201yxexyyx（、求.42lim200 xyxyyx、求.lim32200yxxyyx、求22()4limx yxyxye、求上节课内容小结：上节课内容小结：1、空间两点间距离公式、空间两点间距离公式2、二元函数定义域的确定、二元函数定义域的确定3、二元函数极限的定义和求法、二元函数极限的定
9、义和求法4、二元函数连续性的讨论、二元函数连续性的讨论一、偏导数的定义及其计算方法（一、偏导数的定义及其计算方法（199页）页）三、高阶偏导数三、高阶偏导数 （第（第202页）页）（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）第二节、偏导数全微分第二节、偏导数全微分 (199-206页页)二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义 （第（第201页）页）四、全微分四、全微分 （第（第203页）页）定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x
10、 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数，为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00y
11、yxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数，记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.一阶偏导数的等价定义：一阶偏导数的等价定义：,),(),(lim),(0000000 xxyxfyxfyxfxxx,),(),(lim),
12、(0000000yyyxfyxfyxfyyy偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 三元函数的一阶偏导数的等价定义：三元函数的一阶偏导数的等价定义：,),(),(lim),(0000000000 xxzyxfzyxfzyxfxxx,),(),(lim),(0000000000yyzyxfzyxfzyxfyyy.),(),(lim),(
13、0000000000zzzyxfzyxfzyxfzzz例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2,1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1,0(xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyy
14、yx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0 000lim)0,0(0yy
15、fyy.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的的偏偏导导数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例解解,)0,0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx ,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyy
16、yxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0,0(处处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，例例 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy
17、 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续(0,0)是函数的间断点是函数的间断点二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义 （201201页）页）,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率.偏导数的几何意义偏导数的几何意义:（201201页）页）),(22yxfxzx
18、zxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数三、高阶偏导数 （202页）页）解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解2238zxxyx3248zyx yy22268zxyx2222128zyxy216
19、zxyx y 216zxyy x 342244zxyx y例求的二阶偏导数。例例 设设)ln(yxxz，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,)ln(yxxyxxzyxxyz,)(2)(12222yxyxyxxyxyxxz,22yxxyz,)()(1222yxyyxxyxyxz222)()()(yxyyxxyxxyz解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？.02222 yux
20、u解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu.0 2222222222)()(yxyxyxxy 证毕证毕xyyxzyxcos1xxxzyysinlnxyxyyzyxxsin)1(2xxzyyy2lnxxyxxzyyxycosln11xxxyxzyyyxcosln11yyezxxlnxxxyezyxezxy2yxzyyyezzxyxxy1),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyx
21、fy ),(二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分三、全微分 （203-206页）页）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z，即即 z=),(),(yxfyyxxf （1）全增
22、量的概念）全增量的概念 （第（第203页）页）（2）全微分的定义）全微分的定义（第（第203页定义页定义2）函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.（3）可微的条件）可微的条件 （第（第204页）页）证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),
23、(yxP可可微微分分,),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)(oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yxfyxxf|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，（教材例如，（教材203页最后一段）页最后一段）.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0,0(处有处有0)0,0()0,0(yxff)0,0()0,0(yfxfzyx ,)
24、()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0,0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 函函数数在在点点)0,0(处处不不可可微微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 在第一个方括号内，应
25、用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),(（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0,0 yx时时，01.其其中中1 为为yx ,的的函函数数,xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z 2121 yx,00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时时，02,习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它
26、的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解233zxyx343zyxy23(33)(43).dzxy dxyx dy所求全微分所求全微分解解,10463xyyxz,3012522yxxyyz.)3012()104(52263dyyxxydxxyydz所求全微分所求全微分解解221zyxx y221zxyx y(2,1)1,5zx(2,1)2,5zy12.55dzdxdy所求全微分所求全微分解解,1yyxxz,ln xxyzy,1)1,2(xz,2
27、ln2)1,2(yz.2ln2dydxdz所求全微分所求全微分解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz （4）全微分在近似计算中的应用）全微分在近似计算中的应用 （第（第205页）页）都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设
28、函数1,2,0.02,0.04.xyxy 取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得2.04(1.02)12 0.020 0.04 1.04上节课内容小结：上节课内容小结：1、偏导数及其求法、偏导数及其求法2、高阶偏导数及其求法、高阶偏导数及其求法3、全微分公式及其求法、全微分公式及其求法一、多元复合函数的偏导数一、多元复合函数的偏导数（第（第207页）页）二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性 （第（第209页）页）第三节、多元复合函数和隐函数的求导第三节、多元复合函数和隐函数的求导法则法则 （第（第207
29、-211页）页）三、隐函数的偏导数三、隐函数的偏导数 （第（第210页）页）证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、多元复合函数的偏导数（第一、多元复合函数的偏导数（第207页）页），获获得得增增量量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时，0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dz
30、z duz dvz dwdxu dxv dxw dxuvwxzdzdx公式中的称为全导数。上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzy
31、z .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 （208页）页）xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx解解dzz duz dvzdxu dxv dxxsincosxveuxxcossincosxxexexx(coss
32、in)cosxexxx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu,)cos()sin(yxyxyexy。)cos()sin(yxyxxexy例：设例：设,2,2,2yxvyxuvuz求：求：.,yzxz解解 xz uzxu vzxv 1)(2222vuvu22)2()2(2)24yxyxyxyx（yz uzyu vzyv ）（2)(1222vuvu22)2()2(22)22yxyxyxyx（例：设例：设),(22xyeyxfz求：求：.,yzxzxyevyxu,22
33、令：解：解：xz uzxu vzxv ),(vufz 则：vxyufyefx 2 yz uzyu vzyv vxyufxefy 2例：设例：设,1,2xyxyz求全导数：求全导数：.dxdz解：解：xzdxdyyzdxdz）22(1221xyxxx2211xx法二：法二：xxxyz21)11(12222xxxxdxdz2211xx 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数
34、或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性（第（第209页）页）dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 解解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe上节课内容小结：上节课内容小结：1、偏导数及其求法、偏导数及其求法2、高阶偏导数及其求法、高阶偏导数及其求法3、全微分公式及
35、其求法、全微分公式及其求法4、复合函数微分公式、复合函数微分公式（分以下几种情况）（分以下几种情况）三、隐函数的偏导数三、隐函数的偏导数 （第（第210210页）页）0),()1(yxF0),()2(zyxF0),(.1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy xyyx.yxyx0),(.2 zyxF解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 上节课内容小结：上节课内容小结：2、全微分公式及其求法、全微分公式及其求法3、复合函数微分法公式、复合函数微分法公式4、隐函数微分法公式、隐函数微分法公式1、偏导数与高阶偏导数求法、偏导数与高阶偏导数求法92谢谢！谢谢！93
