1、二次函数的图象和性质xyo(1)的作用及的作用及抛物线与抛物线与x轴、轴、y轴的交点坐标；轴的交点坐标；(2)交点式；交点式；(3)当当x=-1,1 时时 的图像；的图像；（1）=b2-4ac决定抛物线与决定抛物线与x轴交点情况：轴交点情况：yoxyoxyox 0抛物线与抛物线与x轴有两个交点；轴有两个交点；0抛物线与抛物线与x轴有唯一的公式点；轴有唯一的公式点；0抛物线与抛物线与x轴无交点。轴无交点。（1）=b2-4ac决定抛物线与决定抛物线与x轴交点情况：轴交点情况：yoxyoxyox 0抛物线与抛物线与x轴有两个交点；轴有两个交点；0抛物线与抛物线与x轴有唯一的公式点；轴有唯一的公式点；
2、0抛物线与抛物线与x轴无交点。轴无交点。与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(2)抛物线抛物线2yaxbx c与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbx c2yaxbx c 12,0,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向：a0 开口向上开口向上a0 开口向下开口向下 xy(2)a，b决定抛物线对称轴的位置决定抛物线对称轴的位置:对称轴是直线对称轴是直线x=ab2 a，b同号同号 对称轴在
3、对称轴在y轴左侧；轴左侧；b=0 对称轴是对称轴是y轴；轴；a，b异号异号 对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧oxy c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在y轴负半轴轴负半轴。(3)c决定抛物线与决定抛物线与y轴交点（轴交点（0，c）的位置：）的位置：c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在y轴正半轴；轴正半轴；c=0 图象过原点；图象过原点；xy2222yy x8x7yx9x17y mxkx-4k练习：指出下列二次函数与 轴交点的位置：1.=2.=-23.=22yaxbxcabc2.yaxbxcabc练习：1.若抛物线的图象如图，说出，的符号。若抛物线经过原点和第一二三象限，则，的取值范围分别是。23
4、.yaxbxcy=ax+bc若抛物线的图象如图所示，则一次函数的图象不经过。yoxyox图图1图图21x（4）与直线交点000ya b cya b cya b c oxy0yabc0yabc0yabcX=11x 与直线交点000yabcyabcyabcoxy0yabc0yabc0yabcX=-12yaxbxca0b0c0a+b+c0a-b+c0练习：二次函数的图象如图，用(,=)填空:，yox-11-1 例例3、已知函数、已知函数y=ax2+bx+c的图象如的图象如下图所示，下图所示，x=为该图象的对称轴，根为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数据图象信息你能得到关于系数a，b，c的的
5、一些什么结论？一些什么结论？31y 1.x13顶点坐标是（顶点坐标是（，）。）。ab2abac442y.xab2abac442(,)（6）二次函数有最大或最小值由）二次函数有最大或最小值由a决定。决定。当当x=时时,y有最大有最大(最小最小)值值ab2abac442y.xy.xx能否说出能否说出它们的增它们的增减性呢？减性呢？与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(2)抛物线抛物线2yaxbx c与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbx c2yaxbx c 12,0,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两
6、实数根的两实数根2221.x1 yx2x2(2)23(3)yx2x1yxx 训练题：判断下列二次函数与 轴交点情况：（）；例例4 已知抛物线已知抛物线247,y xkx k k取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5
7、)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404a
8、cba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断
9、abc的符号的符号1.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的顶点在的顶点在 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的顶点都的顶点都在在 （）A.A.直线直线y=xy=x上上 B.B.直线直线y=-xy=-x上上 C.xC.x轴上轴上 D.yD.y轴上轴上3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2+4x+a-1+4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是的值是
10、（）A 4 B.-1 C.3 D.4A 4 B.-1 C.3 D.4或或-1-1CBA4.4.若二次函数若二次函数 y=ax2+b x+c 的图象如下的图象如下,与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则下列各式中不成立则下列各式中不成立的是的是 （）A.A.b2-4ac0 B.0 B.0=0 D.01xyo-15.5.若把抛物线若把抛物线y=x2-2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c,则（则（）A.b=2 A.b=2 c=6 B.b=-6,c=6 B.b=-6,c=6 C.b=-8 C.b
11、=-8 c=6 D.b=-8,c=18 D.b=-8,c=18 B B-2ab4a4ac-b213.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示（1）求解析式）求解析式(1,-1)(0,0)(2,0)当当x 时，时，y0。当当x 时，时，y=0;（2）根据图象回答：）根据图象回答：当当x 时，时，y0;解：解：二次函数图象的顶点是二次函数图象的顶点是(1,-1)，设抛物线解析式是设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，其图象过点其图象过点(0,0)，0=a(0-1)2-1，a=1y=(x-1)2-1x20 x2x=0或或25.如图，在同一坐标系中，函数如图，在同一坐
12、标系中，函数y=ax+b与与y=ax2+bx(ab0)的图象只可能是（的图象只可能是（）xyoABxyoCxyoDxyo6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下的图象如图所示，下列各式中是正数的有（）列各式中是正数的有（）a b c a+b+c a-b+c 4a+b 2a+bBy-1.12xyA.5个个B.4个个C.3个个D.2个个6.6.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四象限，则二次函数象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是（）7.7.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,二次函数二次函数 y=ax2+
13、bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC7.7.已知抛物线已知抛物线y yaxax2 2bxbxc c的图象如图所示，的图象如图所示，下列结论：下列结论：a+b+c0 a+b+c0 a-b+c0 acb0 acb0 b=2a,b=2a,其中正确的结论的个数是（）其中正确的结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1A.4 B.3 C.2 D.110yx1-3.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如的图象如图所示，试求出图所示，试求出a,b,c的值。的值。230
14、yx(1)已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其图象上在其图象上,且且x2 x40,0 x3|x1|,|x3|x4|,则则 ()x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B2222y axbx ca02y axbx cxaxbx c03y axbx cac0 B.0 B.0=0 D.01xyo-12.2.若把抛物线若把抛物线y=x2-2x+4向右平移向右平移2 2个单位个单位,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位,得抛物线得抛物线y=x2+bx
15、+c,则（则（）A.b=2 A.b=2 c=6 B.b=-6,c=9 B.b=-6,c=9 C.b=-8 C.b=-8 c=6 D.b=-8,c=18 D.b=-8,c=18 B B-2ab4a4ac-b24.4.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第的图象经过第 -二、三、二、三、象限，则二次函数象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是 ()()5.5.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,二次函数二次函数 y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数与一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xy
16、oxyoxyoxyoABCDA D2yaxbxc抛物线的对称性2byaxbxcx2a抛物线是以直线=-为对称轴的轴对称图形，有以下性质：1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。xyO2.x如果抛物线交 轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。12123.xxxxx2，若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为，则抛物线+的对称轴是直线21.yaxbxcxyx例 已知二次函数，与 的部分对应值如下，则其图像与 轴的两个交点坐标分别为。x-11235y1530-1321.yaxbxcxyx2练 已知二次函数，与 的部分对应值如下，那么二次函数的对称轴为
17、，当时，函数值为。X-3-20135y70-8-9-57212121221.yaxcxxxxxx=xxy2.2 54 53.y2 x4kx2 0 x若二次函数，当 取，（）时，函数值相等，那么+时，。若（，），（，）是抛物线上两点，则它的对称轴为。若二次函数（）与 轴的一个交点坐标为（，），则它与 轴的另一个交点坐标为。24.y xxaa 0),xmy0,.xm-1y0.xm-1y0.xm-1y0.xm-10ABAD已知抛物线=（当时，则下列结论中，正确的是（）时，时，时，时，y与 大小不确定5.4xm 0mPA已知抛物线的图像如图，其顶点 的横坐标为，图像与 轴的交点（，）和点B，其中 4,
18、求点B的坐标及AB的长。xyOBAP2221(0)yaxbxc ab、二次函数的图象如图所示，下列结论c04a+2b+c0,(a+c)其中正确的是（填序号，并说明理由）yox1x=1222222()()x1a+b+c0 x1a-b+c0()()00babc abcabc abcbb(a+c)时，时，即(a+c)(a+c)2121222(0)12xx21,01,84yaxbxc axxbaac、如图函数的图象经过点（，），且与 轴的交点的横坐标分别是x、，其中下列结论4a-2b+c0;2a-b0;a0,b0,2cm(am+b)(m1)中正确的有哪些？说明理由。yoxyox-11X=1-12222
19、224yx2m1 xmxm5y axbx cbacx0y4xy6y axbx cabc（）抛物线（）与 轴有两个交点，则。（）抛物线=+中，且时，则当，时 有最值为。（）已知抛物线=+过 原点和第二三四象限，那么；222.y3x2x+kx1233.yxp2xp-4 1xx2pk 为何值时，抛物线与 轴（）交于两点（）相切（）相离已知抛物线（）（）证明：无论 取何值，抛物线与 轴均交于两点；（2）若两交点间的距离为12，求。24.yx4xm-3xy0,m若二次函数，无论 取何值都有：求 的取值范围。2ymx4x4xy0,m练习：若二次函数，无论 取何值都有：求 的取值范围。21222125.y5
20、x5xmx(x 09x 0 xxm5AB抛物线图象与 轴交于，），（，），且，求 的值。226.my2 3m2x4mxm11x2xx为何值时，函数（）图象（）在 轴的下方（）与 轴有交点，且都在轴的负半轴。27.yxm2x3 m11m2163;(4)ABCOA OBCABS 抛物线（）（）的图象如下：（）求 的取值范围（）在（）的情况下，求的坐标（）求求yoxBCA2yx2 m1 x2 m 1mx作业：1.已知抛物线（）（），求证：无论 为何实数，抛物线与 轴总有两个交点。2ym+6x2 m 1 xm1xm2.已知抛物线（）（）的图象与 轴总有两个交点，求 的取值范围。23.y2x3xmx,1
21、1m22pA BAB已知抛物线与 轴交于两点，且线段的长为，（）求 的值；（）若抛物线顶点为，求 ABP的面积。24.ykx4kx2k3 1 kxkx已知抛物线=2（+1）（）为何值时，抛物线与 轴交于两点（一点或没有交点）；（2）为何值时，抛物线与 轴的两个交点在原点两侧。25.yxm3xm 1xmmxx已知抛物线（）（）试证：抛物线与 轴总有两个交点（2）为何值时，两个交点间的距离为3（3）证明：无论 为何值，函数与 轴的交点不可能落在 轴的正半轴。27.yxkx3x41kABCABPABP已知函数的图象的顶点为C，与 轴交于A,B两点，且，（）求；（2）P为抛物线上以动点（除C外），求使得SS的 的坐标。2222m3m8.yxmx+yxmx-24x112,3OBOA抛物线与在同一个坐标系中的图象如下，其中一条与 轴交于A,B,（1）试判断是那一条抛物线经过A,B;(2)若求抛物线的解析式。yoxBA220cm,24cmxcmycmyx2DEFGABCABACBCABCDEFGEFBCD矩形5.如图，是一块等腰三角形的铁板余料，其中，若在上截取一块矩形零件，使、在上，点、G分别在边AB、AC上。（1）设EF=，S，试求 与 之间的函数关系式；（）问截得的矩形的长、宽各多少时，可使矩形的面积最大？并求最大面积。ABCEHFDGP
