1、 线线 性性 代代 数数 第二章第二章 矩阵矩阵 线性方程组是线性代数研究的主要对象之线性方程组是线性代数研究的主要对象之一一.在这一节里，我们讨论线性方程组的在这一节里，我们讨论线性方程组的高斯高斯消元解法，解的判定消元解法，解的判定。2.7 解线性方程组的高斯消元法解线性方程组的高斯消元法 用克莱姆法则求解线性方程组时，必须满足：用克莱姆法则求解线性方程组时，必须满足：方程的个数方程的个数=未知量的个数；未知量的个数；系数矩阵的行列式不等于零。系数矩阵的行列式不等于零。且计算量是比较大的且计算量是比较大的.用消元法可以较方便的求解和讨论解的各种情况。用消元法可以较方便的求解和讨论解的各种情
2、况。对对符合或不符合符合或不符合上面两个条件的一般的线性方上面两个条件的一般的线性方程组，需考虑：程组，需考虑：判别是否有解？判别是否有解？有解时，有多少解？有解时，有多少解？如何求出全部解？如何求出全部解？有无穷多解时，解有无穷多解时，解之间的关系要用到之间的关系要用到3章章的的n维向量。维向量。一、一、线性方程组的概念线性方程组的概念 本节讨论本节讨论m个方程，个方程，n个未知量的个未知量的线性方程组：线性方程组：1111221121122 2221 12 2(1)nnn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 当常数项不全为零时，称为非齐次的当常数项
3、不全为零时，称为非齐次的线性方程线性方程组，当组，当常数项全为零时，称为齐次的常数项全为零时，称为齐次的线性方程组，线性方程组，即即常数常数项系数系数111122121122221 12 2000(2)nnn nmmmn na xa xa xaxaxa xa xa xa x常数常数项 定义定义2.12 如果方程组中的未知量如果方程组中的未知量x1,x2,xn的一组的一组x1=c1,x2=c2,xn=cn值代入方程组的每值代入方程组的每个方程，都成为恒等式，则称这组值为方程组的个方程，都成为恒等式，则称这组值为方程组的一组解一组解；全部解的集合称为；全部解的集合称为解集合（解集合（或解集或解集）
4、。）。定义定义2.22 如果两个方程组的解集合相等，则如果两个方程组的解集合相等，则称这两个方程组为称这两个方程组为同解方程组同解方程组或两个方程组同解或两个方程组同解。12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb线性方程组线性方程组的的解解取决于取决于,1,2,ijai jn常数项常数项系数系数1,2,ibin性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究。性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究。线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 线性方程组是否有解，有解时，解是什么线性方程组是否有解，有解时，解是什
5、么等问题，完全由这个矩阵来确定。因此，对线等问题，完全由这个矩阵来确定。因此，对线12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab12111212121121222212nnnmmmnmnnaaabaaabxxxxaaaxxxxxb 线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式系数和常数项按顺序构成如下的矩阵：系数和常数项按顺序构成如下的矩阵：对线性方程组对线性方程组111212122212,nnmmmnAaaaaaaaaa记记12,nxxXx12,mbbBb方程组的等价矩阵形式
6、为：方程组的等价矩阵形式为：.AXB111212122212,nnmmmnAaaaaaaaaa11121212221212.mnnmmmnaaaaaaAaabbab则称则称A为为系数矩阵系数矩阵，A为为增广矩阵；增广矩阵；线性方程组与增广矩阵一一对应。线性方程组与增广矩阵一一对应。记记12,nxxXx12,mbbBb下面讨论消元法：下面讨论消元法：.AXBAB1.线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换对线性方程方程组实施以下三种变换对线性方程方程组实施以下三种变换(1)交换某两个方程的位置；交换某两个方程的位置；(2)用一个非零常数用一个非零常数k乘某一个方程的两边；乘某一个方程的两边；(3
7、)将一个方程的将一个方程的k倍加到另一个方程上去倍加到另一个方程上去.以上这三种变换称为以上这三种变换称为线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换.矩阵的初等变换由此推广，下面利用矩阵初等变矩阵的初等变换由此推广，下面利用矩阵初等变换来解线性方程组。换来解线性方程组。二、线性方程组的消元解法二、线性方程组的消元解法 就是利用方程组的初等变换将原方程组化为就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组阶梯形方程组(对应的增广矩阵为对应的增广矩阵为行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵），从而求出其解。从而求出其解。例例1 解下列线性方程组解下列线性方程组:123123123123x32432511232
8、37xxxxxxxxxxx 411133232521121372.消元法的具体做法及类型消元法的具体做法及类型考察唯一解时系数矩阵与增广矩阵秩的关系。考察唯一解时系数矩阵与增广矩阵秩的关系。解解 由初等变换有由初等变换有123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx 4111332325211213723555xx 2371xx07112371xx 07110555000000231xx0111231xx2371xx 0711011131x0011解得线性方程组解为：解得线性方程组解为：123201xxx 问问:(1)消元过程能否在增广矩阵上进行？消元过程能否在增广
9、矩阵上进行？(2)消元法是否将方程组化为同解方程组？消元法是否将方程组化为同解方程组？因为线性方程组与相应的增广矩阵一一对因为线性方程组与相应的增广矩阵一一对应，且线性方程组的应，且线性方程组的初等变换初等变换恰好对应其增广恰好对应其增广矩阵的矩阵的初等行变换。初等行变换。所以，可以直接对增广矩所以，可以直接对增广矩阵进行阵进行初等行变换初等行变换化为行简化形矩阵来求解线化为行简化形矩阵来求解线性方程组。性方程组。如上例，如上例，1320110010004110ABA 1000100011000200所以，方程组解是：所以，方程组解是：123201xxx 回代过程回代过程行最简行最简形矩阵形矩
10、阵行最简行最简形方程组形方程组 由行阶梯形方程组从后往前继续用初等变由行阶梯形方程组从后往前继续用初等变 换化为换化为行最简形方程组行最简形方程组（对应的增广矩阵（对应的增广矩阵 为行最简形矩阵）的过程，称为为行最简形矩阵）的过程，称为回代过程。回代过程。AAB1000100011000200r(A)=3有唯一解的情形有唯一解的情形r(A)=3=r(AB)3(未知量的个数未知量的个数)，有唯一解。，有唯一解。=r(AB)例例2 解线性方程组解线性方程组 7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx有无穷多解的情形有无穷多解的情形15111121333
11、811119377AB 解：因为解：因为 15111012 74 74 70000000000 行103 713 713 7012 74 74 70000000000 回代行阶梯行阶梯形矩阵形矩阵行最简行最简形矩阵形矩阵15111121333811119377ABr(A)=2=r(AB)4相应的同解线性方程组为：相应的同解线性方程组为：13423431313777244777xxxxxx 13423413313777424777xxxxxx 【x3,x4 任取一组常数，可得到原方程组的任取一组常数，可得到原方程组的 一个解，称其为一个解，称其为自由未知量自由未知量】自由未自由未知量知量令令 3
12、142,xc xc，得方程组的全部解为，得方程组的全部解为241321241174727471373713cxcxccxccx其中其中c1，c2为任意常数。为任意常数。r(A)=r(AB)24（未知量的个数）时，（未知量的个数）时，方方 程组有无穷多解。程组有无穷多解。6323211523423x 321321321321xxxxxxxxxxx63123112115-2342-31A 1324011100660001例例3 解线性方程组解线性方程组 解解无解的情形无解的情形r(A)3，r(AB)4【这是一个矛盾方程组，称这是一个矛盾方程组，称“01”为为矛盾方程矛盾方程】相应的同解线性方程组为
13、：相应的同解线性方程组为：12323332614106xxxxxx未知量的任未知量的任何值都不能何值都不能满足此方程满足此方程所以，方程组无解。所以，方程组无解。r(A)3，r(AB)4，r(A)=r(AB)1或或r(A)r(AB)，则无解。，则无解。例例4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 123412341234202420.220 xxxxxxxxxxxx4解解 12110AB 24-240-1-21-20 121100021000000齐次线性方程组齐次线性方程组总有总有r(A)r(B)，总有零解总有零解。齐次方程组系数矩阵与增广矩阵的秩永远相等。齐次方程组系数矩阵与增广矩阵的秩永
14、远相等。302021000-20001001相应的同解线性方程组为：相应的同解线性方程组为：124343202.102xxxxx令令 2142,xc xc，得方程组的全部解为，得方程组的全部解为11221324232212xccxcxcxc12,c c（为任意常数）为任意常数）自由未自由未知量知量 由行最简形矩阵可以方便求出线性方程组由行最简形矩阵可以方便求出线性方程组的解，下面证明线性方程组的初等变换的解，下面证明线性方程组的初等变换化方程化方程组为同解方程组。组为同解方程组。证明：证明：只要证明一次初等行变换两方程组同只要证明一次初等行变换两方程组同解解 即可。即可。定理定理2.9 线性方
15、程组线性方程组AXB经经行初等变换行初等变换，化为化为同解同解线性方程组线性方程组A1XB1。即即 注意到线性方程组初等变换就是对相应增广注意到线性方程组初等变换就是对相应增广矩阵的行初等变换，于是存在初等矩阵矩阵的行初等变换，于是存在初等矩阵R，使，使11R ABAB1,RAA1.RBB所以，若所以，若X1为为AXB的解，则的解，则AX1=B,两边乘两边乘R得，得，1,RAXRB111,A XBX1为为A1XB1的解；的解；于是，于是，若若X2为为A1XB1的解，的解，则则A1X2B1，2RAXRB将，将，1R故故 X2也为也为AXB的解。的解。因此，线性方程组因此，线性方程组AXB与与A1
16、XB1为同解为同解线性方程组。线性方程组。11,RAARBB代入，得：代入，得：两端乘两端乘，得：，得：2AXB上面介绍了：上面介绍了：()()r Ar An()()r Ar An()()r Ar A 无解无解 有无穷多解有无穷多解下面讨论一般下面讨论一般线性方程组解的判别线性方程组解的判别。1.线性方程组的高斯消元解法把方程组变换线性方程组的高斯消元解法把方程组变换为同解方程组；为同解方程组；2.消元解法解的情形：消元解法解的情形：m nAXB有唯一解有唯一解对一般线性方程组对一般线性方程组 AXB，即，即 11112211211222221 122(1)nnnnmmmnnmaxa xa x
17、baxa xaxbaxaxaxb与齐次线性方程组与齐次线性方程组AX0，即，即11 1122121 122221 12200(2)0nnnnmmmnna xaxaxa xaxaxaxaxax 有如下重要结果：有如下重要结果：三、线性方程组解的判别三、线性方程组解的判别()(),r Ar A证明证明定理定理2.10 有解的有解的充要条件充要条件是系数矩阵是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩等于增广矩阵n元线性方程组元线性方程组Amn X=BAAB的秩，即的秩，即 并且：并且：()()r Ar An；（1）有唯一解的）有唯一解的()();r Ar An（2）有无穷多解的）有无穷多解的()()r Ar
18、A（3）无解的）无解的或或()1()r Ar A()r Ar rn设设变换化的行阶梯形矩阵中变换化的行阶梯形矩阵中A非零行数为非零行数为r行。行。，则，则A由初等行由初等行12111112212211122100000000000000000000rrrrnrrnrrrnrraaaabaaabaabAbaaa不妨设该行阶梯形矩阵为不妨设该行阶梯形矩阵为(0,1,2,)iiair 相应的相应的同解同解方程组为：方程组为：不一定为不一定为01rb112 211 111122211221122111 .a.0.r rrrn nr rrrn nrrrrrn nrrrrxa xa xaxa xbxa x
19、axa xbxaxa xaabbr 1b0r(A)r(A)rnr行行所以，方程组所以，方程组AX=B:（1）有唯一解有唯一解有解有解没有矛盾方程没有矛盾方程()()r Ar Ar有解且没有自由未知量有解且没有自由未知量nr个自由未知量个自由未知量矛盾矛盾方程方程r(A)r(A)rr 1b0（2）有无穷多解有无穷多解（3）无解无解有解，且有自由未知量有解，且有自由未知量有矛盾方程有矛盾方程n-1()()1r Ar A齐次线性方程组齐次线性方程组为方程组为方程组AXB的特殊情况，因此，由定理易知：的特殊情况，因此，由定理易知：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna x
20、axaxa xaxaxaxaxax 0AX11 1122121 122221 12200 .0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xn元齐次线性方程组元齐次线性方程组推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组AX0：（2）只有零解只有零解.()r An（3）有非零解有非零解120,0,;0nxxx 有唯一解有唯一解有无穷多解有无穷多解（1）一定）一定有零解：有零解：.()r An推论推论2 方程个数方程个数等于等于未知量数未知量数0.A（1）只有零解只有零解系数矩阵的行列式系数矩阵的行列式 ；0A（2）有非零解有非零解推论推论3 若若mn，则齐次线性方程组，则齐
21、次线性方程组AmnX0一定有一定有非零解非零解。定理的证明给出了定理的证明给出了判断判断方程组是否有解及方程组是否有解及求解求解的方法：的方法：对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解；若有解，梯形矩阵，便可直接判断其是否有解；若有解，化为行最简形矩阵，便可直接求出其全部解化为行最简形矩阵，便可直接求出其全部解.当有当有无穷多解无穷多解时，一般将行阶梯形矩阵非零时，一般将行阶梯形矩阵非零行的行的首非零元对应的未知量首非零元对应的未知量作为非自由未知量，作为非自由未知量，其余的作为其余的作为自由未知量自由未知量。对齐次线性方程组
22、，主要关心其是对齐次线性方程组，主要关心其是只有零解只有零解，还是有还是有非零解非零解。将其系数矩阵化为行阶梯形或行。将其系数矩阵化为行阶梯形或行最简形矩阵，便可直接写出其全部解最简形矩阵，便可直接写出其全部解.例例5 5 方程组方程组121232343454515xxaxxaxxaxxaxxa有解的有解的 。解解123451100001100001100001110001aaAaaa r Ar A方程组有解方程组有解？510iia123451100001100001100001110001aaaaa0115aa01125aaa011235a a a a 0012345a a a a a 例例
23、6 6 讨论线性方程组讨论线性方程组 12341234123412342313633153,51012xxxxxxxxxxxxxxxxpt当当 p，t 取何值时，取何值时，方程组无解？方程组无解？有唯一解？有唯一解？有无穷多解有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下，在方程组有无穷多解的情况下，求出全部解求出全部解.解一解一：因为：因为含参数方程组含参数方程组解的讨论很综解的讨论很综合，要熟悉。合，要熟悉。112311361331153151012tpA11231012110024500320pt 行 4r Ar A，（1）当）当p2时，时，方程组有唯一解；方程组有唯一解；11231012110
24、002400503tA（2）当当p2时，有时，有方程组无解；方程组无解；11231012110001200100t 34r Ar A，3r Ar A，当当t1时，时，当当t1时，时，方程组有无穷解，此时方程组有无穷解，此时，11231012110001200000A10008012030001200000相应同解方程组为相应同解方程组为 3124823,2xxxx 3xc令，得方程组的全部解为，得方程组的全部解为 12348322xxcxcx（c为任意常数）为任意常数）自由未自由未知量知量解二解二：因为系数矩阵行列式：因为系数矩阵行列式112313613115151012Ap112301210
25、0200320p3(2)p所以，所以，(1)当当p2时，根据克莱姆法则，有唯一解；时，根据克莱姆法则，有唯一解；(2)当当p2时，时，由解一的（由解一的（2）来求。）来求。21110021002 01231231202020 xxxxxxxx有非零解，并求解。有非零解，并求解。例例7 试确定试确定解解一一：系数矩阵的行列式：系数矩阵的行列式.解二：由解二：由111 021 020 0A03的值，使齐次方程组的值，使齐次方程组(一1)因此，当因此，当【完】(1)当当 时，有非零解时，有非零解.23 或2 时，111 003 0005 00A110 001 0000 00得全部解为：得全部解为：1
26、230 xcxcx （C为任意常数）为任意常数）【完】(2)当当3 时，111 002 0000 05A3105 0200501000得全部解为：得全部解为：1233525xcxcxc （C为任意常数）为任意常数）例例8 a,b为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 解一解一111100122101323211Aaba11100221000100111001aab课堂练习课堂练习：无解无解,有唯一解有唯一解,无穷解无穷解?.,4)A(r)A(r,1a有唯一解时.),A(r)A(r,1b,1a无解时.,42)A
27、(r)A(r,1b,1a有无穷解时11100221000100111001aab解二解二 系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为111101220132321Daa211110122(1)00100001aaa.,4)A(r)A(r,1a有唯一解时.),A(r)A(r,1b,1a无解时.,42)A(r)A(r,1b,1a有无穷解时【结束】对任意的列矩阵对任意的列矩阵B，AmnX=B有解有解()r A?()r A B.m r(A)=n推不出推不出AmnX=B有解。有解。小小 结结1.线性方程组的消元法；线性方程组的消元法；2.解的有关结论：解的有关结论：()()r Ar AnAXB有唯一解；()(
28、)r Ar AnAXB()()r Ar AAXB.()0r AnAX 只有零解.()0r AnAX 有非零解(1)(2)(3)无解；无解；(5)有无穷多解；有无穷多解；(4)习题二习题二：50 53题题作业：作业：小结：小结：1.克拉默法则；克拉默法则；2.线性方程组的消元法；线性方程组的消元法；3.解的有关结论：解的有关结论：()()r Ar AnAXB有唯一解；()()r Ar AnAXB()()r Ar AAXB.()0r AnAX 只有零解.()0r AnAX 有非零解(1)(2)(3)无解；无解；(5)有无穷多解；有无穷多解；(4)下节课内容：下节课内容：5.线性方程组线性方程组 解的判别解的判别。习题习题2.1：16题题作业：作业：
