1、东南大学东南大学hechuanfu多元函数微分学多元函数微分学及其应用及其应用东南大学东南大学hechuanfu1.微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系重要关系:)(o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续方向方向导数导数存在存在内容小结：内容小结：东南大学东南大学hechuanfu3.隐函数存在定理隐函数存在定理4.隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.代公式代公式 00),(yFyxF 00
2、),(zFzyxF，zyzxFFyzFFxz，且且 yxFFxyxy）且）且（dd），（yxzz 东南大学东南大学hechuanfu5.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin东南大学东南大学hechuanfu6.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx 函数在
3、某点处方向导数的最大，最小值问题 东南大学东南大学hechuanfu（1）.空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt)(,)(,)(000tttT7.几何应用：东南大学东南大学hechuanfu空间光滑曲面空间光滑曲面0),(:zyxF曲面曲面 在点在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况隐式情况.的法
4、向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx（2 2）.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线东南大学东南大学hechuanfu空间光滑曲面空间光滑曲面),(:yxfz)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法向量法向量)1,(yxffn 2)2)显式情况：显式情况：.东南大学东南大学hechuanfu1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平
5、面(关键关键:抓住切向量抓住切向量)求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线(关键关键:抓住法向量抓住法向量)2.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)求解最值问题求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上求区域内部的驻点和边界上可能的极值点可能的极值点)多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用东南大学东南大学hechuanfu:),(),(.1处处可可微微的的方方法法是是在在证证明明yxyxf存存在在偏偏导导数数yxffA,)(0)(,0,0)(yfxfzyxByx时时当当0
6、)()()(,0,0)(22 yxyfxfzyxCyx时时当当否否则则不不可可微微连连续续偏偏导导数数,)(yxffD东南大学东南大学hechuanfu处处不不连连续续，则则在在若若),(),(.200yxyxf必必不不存存在在),().(lim),(),(00yxfAyxyx必必不不存存在在),().(00yxfB必必不不可可微微在在),(),().(00yxyxfC必必不不存存在在),(,),().(0000yxfyxfDyx东南大学东南大学hechuanfu处处的的二二个个偏偏导导数数在在),(),(.300yxyxf存存在在),().(),(),(00yxfAlimyxyx的的任任何何
7、方方向向导导数数存存在在),().(yxfC连连续续),().(yxfB以以上上结结论论都都不不成成立立).(D则则在在该该点点处处：都都存存在在,),(),(0000yxfyxfyx东南大学东南大学hechuanfu4.东南大学东南大学hechuanfu5.东南大学东南大学hechuanfu6.东南大学东南大学hechuanfu，）（）（，（，（）（），（，（）（设设）（00000.122,x,y,x,yyxyxx,yf）（），），（求求0000,f,fyx7.7.求下列函数的偏导数：求下列函数的偏导数：dzzzxyzyxx，求，求）（）（24.2，设设）（zyeyxz.3yxzyzxz 2
8、，求求东南大学东南大学hechuanfu）（可微，则可微，则），），（设设dzfyxfz23.9yxzfxyyxfz 228.求求具有二阶连续偏导，具有二阶连续偏导，），），（设设东南大学东南大学hechuanfu10.11.东南大学东南大学hechuanfu确定，确定，由由，设设012.22xyzzyxzyzefx），（求求110 xf）（1222,xzyxz 确定。确定。）由方程）由方程，（函数函数1013.32xzyzyxzz,yzxz ，求求东南大学东南大学hechuanfu，利用变换利用变换ayxvayxu ,.41022222 xzayz变换方程变换方程的函数的函数只是只是证明：函
9、数证明：函数byaxyxfz ),(.51yzaxzb 的充要条件是的充要条件是）处的切线）处的切线，在（，在（求曲线求曲线71,2,1216.222 xyxz东南大学东南大学hechuanfu17.东南大学东南大学hechuanfu切线和法平面方程。切线和法平面方程。）处的）处的在（在（求曲线求曲线3,2,181418.32222 zyxzyx19.东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu20.）处沿锥面）处沿锥面（在点在点求函数求函数3,4,521.Mxyzu。的法线方向的方向导数的法线方向的方向导数22yxz东南大学东南大学hechuanfu23422.yxz
10、求求上上的的最最值值。在在圆圆域域122 yx2223.yxz求求上上的的最最值值。）（）在在圆圆域域（92222 yx），最最小小值值为为（最最大大值值为为025东南大学东南大学hechuanfu，、别别为为、设设三三角角形形的的三三边边长长分分32124到到，试试求求该该三三角角形形内内一一点点面面积积为为3值值。三三边边距距离离之之乘乘积积的的最最大大32133232S3232 且且提提示示：abczyxzyxxyzu东南大学东南大学hechuanfu）的的所所有有平平面面中中，、，、经经过过（311225），（136cba面面所所围围成成的的哪哪一一个个平平面面与与三三个个坐坐标标立立
11、体体的的体体积积最最小小。东南大学东南大学hechuanfu形形中中面面积积最最大大者者、求求内内接接于于定定圆圆的的三三角角26所所为为成成与与平平面面、在在圆圆锥锥面面32722zyxz）（32 坐坐标标面面的的长长方方体体，于于的的锥锥体体内内作作出出底底面面平平行行xoy大大值值。求求此此长长方方体体的的体体积积的的最最）（8V东南大学东南大学hechuanfu，、求求内内接接于于椭椭圆圆1232822yx大大的的其其底底边边平平行行于于长长轴轴的的最最等等腰腰三三角角形形的的面面积积，（不不合合题题意意，舍舍去去）1320yxyx东南大学东南大学hechuanfu121229.222
12、和和求两曲面求两曲面zyxyx。的交线距原点最近的点的交线距原点最近的点的的长长半半轴轴和和短短半半轴轴求求中中心心在在原原点点的的椭椭圆圆184530.22yxyx），短短半半轴轴（长长半半轴轴31b21a31写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
