1、结构化学许旋课程介绍课程介绍什么是结构结构化学化学？结构化学是研究原子原子、分子分子及晶体晶体的结构结构以及它们和性质的关系的课程。结构：几何结构和电子结构电子结构。结构化学原理的应用应用:解释或预测性质、过程和解释或预测性质、过程和原理原理在化学、材料、环境、生命、药学等领域结构化学在中学化学中的地位地位 必修模块（化学2第一章物质结构、元素周期律）物质结构选修模块 奥赛结构化学课程群结构化学课程群结构化学（必，三上必，三上）计算机化学（选，二下选，二下）晶体化学（选，三上选，三上）分子设计学导论（选，三下选，三下）化学反应过程物质结构与性质结构化学与中学化学（选，三下选，三下）学习评价学习
2、评价作业作业专题报告，实验笔试自己做，别偷懒，不怕错自己做，别偷懒，不怕错期中，期末期中，期末参考书参考书物质结构物质结构，潘道皑等，高等教育出版社物质结构学习指导物质结构学习指导，倪行，高剑南，科学出版社第一章量子力学基础知识第一章量子力学基础知识微观粒子微观粒子的运动特征量子力学的基本假设 1.1 1.1 微观粒子的运动特征微观粒子的运动特征 -经典物理学的困难和量子论的诞生经典物理学的困难和量子论的诞生经典物理学：经典物理学：Newton 力学 Maxwell(麦克斯韦)电磁学Boltzmann 统计物理学Gibbs（吉布斯）热力学 1.1.1黑体辐射和能量量子化黑体：一种能全部吸收全部
3、吸收外来辐射能量，加热又能全部全部辐射出来的物体。黑体近似模型黑体近似模型：带有小孔的空心金属球，内壁涂上黑色涂料。黑体辐射能量曲线黑体辐射能量曲线 01230123451000K1500K2000KE v(1 0-9J.m-2)频 率 v(1E14/s)实验特征：随着温度的增加，E增大，极大值向高频移动。黑体的能量分布曲线黑体能量密度与频率的关系黑体能量密度与频率的关系 012345012维恩瑞 利 金 斯实 验能量密度E v频 率 v瑞利瑞利金斯金斯(Rayleigh-Jeans):力学和统计物理学高频（短波）处与高频（短波）处与实验不符实验不符。维恩维恩(Wien)低频（长波）处与低频（
4、长波）处与实验不符实验不符。热力学方法 Plank能量量子化假设能量量子化假设(1900年年)黑体中的原子或分子吸收或辐射能量时作简简谐振动谐振动，它只能辐射或吸收频率为、能量为=h的电磁能。00000,.3,2,1,0n,00000,.3,2,1,0nhhhhh(n=0,1,2,3)h:普朗克常数:h=6.610-34J.s 根据各能量振子概率和振动的平均能量可得：单位时间、单位表面积上辐射的能量：1/23)1(2kThechE由上式计算E值，与能量密度与频率实验曲线很吻合。能量量子化：黑体辐射的频率、能量的 数值不连续变化。Planck能量量子化假设的提出，标志着量子量子理论的诞生理论的诞
5、生。1.1.2光电效应和光子学说光电效应和光子学说 光电效应：光照射到金属表面上，使金属发射电子的现象。A C B 实验结果：经典物理学：只有当光的只有当光的频率频率超过超过最小频率最小频率0时，光电时，光电子才能逸出；子才能逸出；光强增大光强增大，发射的，发射的电电子数增多子数增多；光的频率增大光的频率增大，光电，光电子的子的动能增大动能增大。只有只有光强光强足够大，足够大，电子才能逸出；电子才能逸出；光强增大，发射的光强增大，发射的电子增多；电子增多；光强光强增大，光电子增大，光电子动能增多。动能增多。Einstein(爱因斯坦，爱因斯坦，1905年年)光子学说光子学说 光是一束光子流光子
6、流，光子的能量与频率光子的能量与频率成正比；=h 光子有质量，但静止质量为零 =mc2 ，m=h/c2光子有动量（p）:p=mc=h/光的强度取决于单位体积内光子的数目强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。Einstein光子学说解释光电效应光子学说解释光电效应 当一个光子撞击金属表面的一个电子时，光子的能量一部分用于克服金属对电子的束缚而做功W(脱出功脱出功)，另一部分转化为电子的动能电子的动能Ek。h=W+Ek=h0+1/2 mv21.只有hW,即0 时，才能产生光电效应。2.当增大，光电子动能增大；3.光强增大，单位体积内光子数增多，受撞击而发射的电子数增多。爱因斯坦揭示了光具有波
7、粒二象性：/hPhE1907年，爱因斯坦还把能量量子化的概念用于固体中原子的振动，证明当温度趋于0K时，固体的热容也趋于零。1.1.31.1.3实物微粒的波粒二象性实物微粒的波粒二象性实物微粒实物微粒：静止质量不为零的微粒。如电子、质子、原子和分子等。(1)de Broglie(德布罗意德布罗意)假设（假设（1924年）年）：实物微粒也具有波粒二象性。/hPhE德布罗意关系式实物微粒的波粒二象性实物微粒的波粒二象性德布罗意关系式把描述粒子性的物理量动量动量p与描述波动性的物理量波长波长联系起来，体现了波粒二象性波粒二象性。当粒子以动量p运动时，p=mv伴随有波长为的波：=h/P=h/mv=hP
8、kmEP2注意：Ek：动能粒子速度是v不是c!kmEh2实物微粒的波粒二象性实物微粒的波粒二象性光子与实物微粒的区别：(1)光的传播速度传播速度与光子的运动速度运动速度都是光速c.实物微粒的德布罗意波的传播速度u不等于粒子不等于粒子的运动速度的运动速度v，v=2u.(2)光子:p=mc,E=mc2=pcp2/2m 实物微粒：p=mv,E=p2/2mpv 速度为106m.s-1的电子的波长为7.010-10m(2)(2)实物微粒波动性的证明实物微粒波动性的证明Davisson(戴维逊)-Germer(革末)实 验（1927年）GPThomoson(汤姆逊汤姆逊)实验（实验（1927年）年）Dav
9、issonGermer实验实验以动能为54ev的电子束照射Ni单晶，在入射束成500角方向有强烈反射。=OA+OB=2dsin=1/2 (1800 500)=650 d 是晶面间距为 0.91 所以 =2 0.91 sin650 =1.65()由德布罗意关系式推算：已知动能ev54mV21E2又因为 P=mV,P2=m2V2=2mE所以mE2P 又因为hP所以 =h/P=1.6710-10(m)=1.67 与实验值很接近，证明德布罗衣关系式正确。kmEh2GPThomoson(汤姆逊)实验用能量足够大的电子流穿透金属薄膜，得到类似X射线衍射的花纹：电子流1928年后，进一步的实验证明，中子、质
10、子、原子、分子等也具有波动性波动性。实物微粒波的意义物理意义-统计解释电子流 衍射强度大(明)衍射强度小(暗）(一次实验)大量电子 出现电子数目多 出现电子数目少 (多次实验)单个电子 出现电子机会多 出现电子机会少 波恩波恩(M.Born)认为：认为：空间一点空间一点波的强度正比波的强度正比于于粒子在粒子在该点出现的几率该点出现的几率。物质波是几率波。物质波是几率波(概概率波率波)，即粒子在空间各点出现的几率不同。，即粒子在空间各点出现的几率不同。测不准原理-波粒二象性的必然结果1927年Heisenberg(海森堡)提出测不准关系由电子单缝衍射实验说明不确定关系不确定关系：第一个极小处P，
11、由O点及C点处的电子到达P处的波程差为半波长，由C、D到达P处的波程差则为一个波长：=DH=d sin=sin=/d分析电子束在进入狭缝时，坐标和动量的变化：分析电子束在进入狭缝时，坐标和动量的变化：坐标坐标：进入狭缝时，X方向的坐标范围为：X=d 动量动量：在极大与第一极小范围内进入狭缝前，电子只沿y方向运动，Px=0 通过狭缝后，电子运动方向改变，在到达极大与第一极小P范围内的电子，其Px的变化范围为：0 Px Psin Psin即为动量P在X方向上的不确定度 Px=Psin=h/d=h/d所以 X Px=h/d d=h考虑其他各级衍射，则：X Px h这就是测不准关系或叫测不准原理测不准
12、原理。测不准原理的意义 具有波性的粒子具有波性的粒子不能同时具有确定的坐标和动量不能同时具有确定的坐标和动量。坐标和动量的不确定程度的乘积约为坐标和动量的不确定程度的乘积约为h的数量级。的数量级。可判断哪些体系属于宏观物体的范畴，哪些属于微可判断哪些体系属于宏观物体的范畴，哪些属于微观体系。观体系。微观粒子的特性：微观粒子的特性：能量量子化、波粒二象性、服从测能量量子化、波粒二象性、服从测不准关系不准关系近年出现的纳米粒子（纳米材料，粒子直径处于纳米近年出现的纳米粒子（纳米材料，粒子直径处于纳米量级），常出现既不符合宏观物体，又不同于微观量级），常出现既不符合宏观物体，又不同于微观粒子的特性，
13、可称为介观粒子。粒子的特性，可称为介观粒子。测不准原理举例测不准原理举例 例1：0.01Kg的子弹，速度为1000mS-1，若速度的不确定值为1，求位置不确定程度。解：因为 X Px h (取等号）X=h/Px=h/mv所以 =6.62610-34/0.0110001 =6.626 10-33(m)所以位置不确定量可以忽略，子弹属于宏观物体。例例2：速度为：速度为1000mS-1的电子，若速度的不确的电子，若速度的不确定值为速度的定值为速度的1，求位置不确定量。，求位置不确定量。解：X=h/mv =6.62610-34/9.010001 =7.3 10-5(m)位置不确定值不能忽略不能忽略，电
14、子为微观粒子。作业作业(1)计算下述粒子的德布罗意波的波长：(A)质量为10-10kg，速度为0.01m.s-1的尘埃；(B)动能为0.1eV的中子；(C)动能为300eV的中子。(2)透射电子显微镜摄取某化合物的电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。(3)子弹(质量0.01kg,速度1000m.s-1)、尘埃(质量10-9kg,速度10m.s-1)作布朗运动的花粉(质量10-13kg,速度1m.s-1)、原子中电子(速度1000m.s-1)等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义。12 量子力学基本假设量子力学基本假
15、设微观粒子运动状态表示法-波函数 力学量和算符本征态、本征值和Schrodinger方程态叠加原理保里原理 微观粒子运动状态表示法微观粒子运动状态表示法-波函数波函数比较经典物理波（电磁波）和物质波比较经典物理波（电磁波）和物质波 波波 电磁波 物质波（几率波）物质波（几率波）定义定义 反映空间各点电场（磁场）强度的分布 反映实物微粒在空间各反映实物微粒在空间各点的几率密度分布点的几率密度分布 波函波函数数 U(x,y,z,t)表示t时刻在（x,y,z）点的电场（或磁场）强度。(x,y,z,t)：表示物质波：表示物质波的一种运动状态，没有的一种运动状态，没有具体的物理具体的物理意义意义波函波函
16、数的数的平方平方 U(x,y,z,t)2 t时刻在(x,y,z,)点的波强(x,y,z,t)2 t时刻在时刻在(x,y,z,)点的波强点的波强 t时时刻该点微粒出现的几率刻该点微粒出现的几率密度密度 量子力学假设量子力学假设 微观体系的状态状态和有关情况可用波函数波函数(x,y,z,t)表示。波函数是关于坐标和时间的函数。含一个粒子的体系用(x,y,z,t)表示；含两个粒子的体系，应包含两个粒子的坐标变量，用(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)表示。定态定态的原子、分子体系，能量有确定能量有确定值（能能量不随时间而变量不随时间而变）；故用(x,y,z)或表示，称为定态波函数定态波函数。2
17、 2 几率密度几率密度可以是实数，也可以是复数。如 =a+bi 则 *=a bi所以 2=*=a2+b2 因此 2为实数 因为 2 几率密度 所以 K 2=几率密度粒子在微体积元d（d=dxdydz）中出现的几率：K 2d粒子在体积中出现几率=K 2d粒子在全空间出现的几率=K 2d =1所以 K=1/2d当 2d=1时，称归一化条件若 K=1，即 2d=1时时，称归一化函数。称归一化函数。注意：“几率”与“几率密度”区别：几率密度：与体积无关 密度 几 率：与体积有关 质量合格波函数的性质合格波函数的性质 波函数必须是波函数必须是连续连续的；的；单值单值的；的；有限有限的。的。特性：特性：与
18、与c描述同一个状态描述同一个状态（c是常数）。是常数）。因为因为2222)2,2,1(),2,2,2()11,1()2,2,2(zyxczyxczyxzyx 乘上系数c后，粒子在空间各点出现的几率几率密度不变密度不变，而粒子在全空间出现的几率最大值为几率最大值为1，所以粒子在各体积元的几率也不变。所以粒子所处的物理状态不变。力学量和算符力学量和算符假设：对一个微观体系的每个可观测的力学量力学量都对应着一个线性自轭算符线性自轭算符。算符：作用于一个函数而得到另一函数的运算符号。作用于一个函数而得到另一函数的运算符号。可用英文字母加上角号“”表示。如表示算符。如d/dx，sin，log等，f1=f
19、2 f1、f2 是函数如 =d/dx，f1=6x2 2x则 f1=d（6x2 2x）/dx =12x 2 =f2线性自轭算符线性自轭算符 线性算符：若（1+2）=1+2 则称为线性算符。自轭算符（厄米算符、厄米尔算符）：若 1*1d=1(1)*d 或 1*2d=2(1)*d 则称为自厄算符。量子力学采用线性自厄算符，可使算符对应的量子力学采用线性自厄算符，可使算符对应的物理量的值为实数。物理量的值为实数。力学量力学量 算符算符 位置（坐标）位置（坐标）x,y,z 势能势能 V，时间时间 t 动量分量动量分量 Px，Py，PZ动能动能 T=P2/2m 角动量角动量z轴分量轴分量 Mz 总能总能
20、E=T+V ,yy zz,2xixihPxyiyihPy2zizihzP22h,VV tt ixyyxiMZ)(VmH2222222222222)(2mzyxmT,xx 其他物理量算符的求法其他物理量算符的求法将物理量的表达式表达式写成关于时间、坐标和动量的函数 如Q（x，y，z，t，Px，Py，PZ）把表达式中的动量换成其算符动量换成其算符的形式，即可得到物理量对应的算符。Q（x，y，z，t，Px，Py，PZ）),(ziyixitzyxQ本征态、本征值和本征态、本征值和Schrodinger方程方程假设假设：若力学量若力学量A的算符的算符 作用于某一状态作用于某一状态函数函数后，得到后，得到
21、常数常数a a乘以乘以，即即 =a=a则该状态（则该状态（）下，）下，a a称为算符称为算符 的的本征值本征值，力学量力学量A A具有确定值具有确定值a a，状态函数，状态函数称为称为 的本的本征函数或征函数或本征态本征态。方程称为。方程称为本征方程本征方程。这一假定把量子力学的这一假定把量子力学的计算与实验测量值计算与实验测量值沟通沟通起来。起来。EHEVm)2(22EVzyxm)(22222222(1)n非定态采用含时的非定态采用含时的Schrodinger方程：方程：tiHtiVm)2(22本书仅要求学习定态薛定格方程。本征函数的正交归一性 若某一体系存在n个状态1,2,n,则这些状态波
22、函数之间满足正交归一性。归一性：i*i d=1 反映粒子在全空间出现的几率为1。正交性：i*jd=0 由波函数对称性所决定。态叠加原理态叠加原理 假设：若1,2,n 为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是体系可能存在的状态。=C11+C22+CNn=Cii 式中C1，C2，C3，C n为任意常数。系数绝对值的大小，反映i对的贡献大小。如原子中的电子可能以s轨道存在，也可能以p轨道存在，将s和p波函数进行线性组合，所得的杂化轨道（spn）也是该电子可能存在的状态。力学量的平均值力学量的平均值 本征态的力学量的平均值(确定值）设某一物理量A在状态下对应的本征值分别为a，物理量A的平均值
23、为：=*d=a设某一物理量A对应的状态为n个本征态1,2,n的线性组合，若1,2,n状态下对应的本征值分别为a1,a2,an，即=C11+C22+CNn=Cii物理量A的平均值平均值为：iiiiiiiiiacdcAcdAa2*_)()(是归一化是归一化波函数波函数非本征态的力学量的平均值非本征态的力学量的平均值非本征态的力学量的平均值非本征态的力学量的平均值若状态不是力学量A的算符的本征态，则 a 这时力学量A没有确定值，只能求平均值：=*d （已归一化）ddAA*_或（未归一化）保里原理保里原理假设假设：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子必须自旋相反。量子力学中保里
24、原理描述为：对自旋自旋量子数s为半整数半整数的粒子的完全波函数必须是反对称反对称波函数。1.3 势箱中粒子的势箱中粒子的Schrdinger方程及其解方程及其解一维势箱：一个质量为m的粒子在一条直线（直线（x)上局限在一定范围（0l）自由运动，在这范围内粒子不受力，位能是常数，但在边上和边界外面位能无穷大，粒子跑不出去，这样的体系称为一维势箱。当 0 x l 时，时，V=0当当x0 或或 xl 时，时，V=近似模型近似模型：金属中的自由 电子、共轭体系的电子 V=V=0 V=0 x 一维势箱中的一维势箱中的Schrdinger方程方程 Schrdinger方程：一维一维Schrdinger方程
25、：方程：当当x0 或或xl 时，时，=0当当 0 x l 时，时，V=0,一维势箱的Schrdinger方程为方程为：EVzyxm)(22222222EVdxdm2222Edxdm2222Schrdinger方程的求解方程的求解 实际上是解二阶微分方程的问题。写出体系的位能（吸引能、排斥能）表达式，写出薜定格方程；写出微分方程的通解；根据边界条件和初始条件（定态体系无初始条件）求特解特解；用归一化条件确定特解特解。一维势箱一维势箱Schrdinger方程的求解方程的求解n一维势箱Schrodinger方程:Edxdm2222n常系数二阶线性齐次微分方程，通解为常系数二阶线性齐次微分方程，通解为
26、：)2sin()2cos()(xmEBxmEAxn边界处边界处，（0）=0，（l）=0 n所以 002sin02cos)0(mEBmEAn即 (0)=Acos0+Bsin0=0 n因为 sin0=0，所以 Acos0=0因为 cos0=1 所以 A=0n故一维势箱的薛定格方程为:xmEBx2sin)(xmEBx2sin)(对因为 （l）=002sin)(mEB所以 因为 B 0 若B=0，则（X）=0）所以 0)2sin(mE所以 nmE2（n为常数，为常数，一个一个n值表示粒值表示粒子的一种定态子的一种定态）所以 222222282mhnmnE把E的表达式代入(x)的通式，得：xnBxmEB
27、xsin)2sin()(对 xnBxsin)(确定确定B值值 根据归一化条件根据归一化条件：2d=1对一维势箱有：1)(sin1)(02202dxxnBdxx所以 babacxcxcxdx2sin412sin2积分公式：求得：122B所以 2B所以，一维势箱的解为：2228sin2)(mhnExnx(n=1,2,3,)一维势箱结果讨论一维势箱结果讨论根据一维势箱的解一维势箱粒子可能存在的状态和能量可能存在的状态和能量：2228sin2)(mhnExnx,8/221mhE)/sin()/2(2/11x,8/4222mhE)/2sin()/2(2/12x,8/9223mhE)/3sin()/2(2
28、/13x 1.1.能量量子化能量量子化 金属内部的自由电子可有无穷多个定态n，每一定态具有一个特征能量En，En的可能值由n来约束，因n为量子数，故En的值不连续，即能量量子化。En 随随n增大而增大增大而增大。两个状态间的能级差:当势箱很大势箱很大（l很大）或粒子很重（m很大）时能级间隔很小，则能量可看成是连续的。故宏观物体的能量量子化特征就显示不出来了。2221228)(mhnnE2.2.离域效应离域效应由于粒子活动范围增大而产生能量降低的效应由于粒子活动范围增大而产生能量降低的效应称为离域效应。称为离域效应。2228mhnE 由能量公式可知,当电子活动范围增大活动范围增大(l增大增大)时
29、,能量值减小能量值减小,例如,丁二烯中电子活动范围比乙烯大,能量降低,因此丁二烯中的电子比乙烯更稳定。H2CCH2H2CCHHCCH23.3.零点能效应零点能效应当n=1 时，体系能量最低,8/22mhE因为:ETV 而箱内:V0所以，动能动能T T永远大于零永远大于零。最低零点能效应：体系最低能量不为零点能效应：体系最低能量不为零的现象零的现象。4.粒子没有经典运动轨道，只有几率密度分布粒子没有经典运动轨道，只有几率密度分布 按量子力学模型，箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性。0 0 0 000 n=1 n=1 n=2 n=2 n=3 n=3 E1 E2 E32132*21*13*3
30、5.5.状态能量高低与波函数节点数之间的关系状态能量高低与波函数节点数之间的关系 -节点数（节点数（n1n1）越多，能量越高）越多，能量越高节点：除边界外，除边界外，=0的点。的点。量子数 波函数 节点数 能量 n=1 1(x)0 n=2 2(x)1 n=3 3(x)2 n=n n(x)n 1 能量升高 n越大节点数（n 1）越多，能量越高。量子效应量子效应 粒子可以存在多种运动状态，可由1、2、，n等描述；能量量子化 离域效应 存在零点能效应没有经典运动轨道，只有几率密度分布 节点数（n 1）越多，能量越高。一维势箱的应用一维势箱的应用粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX 粒子的动量
31、平方PX2共轭体系中电子电子的运动 箱中粒子出现的几率几率 1粒子在箱中的平均位置粒子在箱中的平均位置 所以无本征值无本征值，只能求平均值求平均值。因为XXXX,0*dxXX02dxxdxxnx02sin2dxxnx20)sin2(dxxnx)2cos(1220dxxnxxdx)2cos(100)02(122002222sin22cos4(21nxxnnxn粒子的动量平均值粒子的动量平均值-以动量以动量x轴分量轴分量PX为例为例所以只能求的平均值。,dxdiPx0*dxPPnxnxnnxaxndxdiP)sin2(dxxndxdixnsin2)(sin20dxxnxnni0cossin2dxx
32、nxnni0cossin2)sin2(2022xnnin=0因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和表示粒子正向运动和逆向运动的几率相等逆向运动的几率相等。粒子的动量平方粒子的动量平方P PX X2 2 解法一：2222dxdPx xndxdPnxsin22222)sin2)(2222xnnnhn222422224hnPx解法二：解法二：因为势箱中位能 V=0所以 所以 2228 mhnTEmPTx2222224hnPx共轭体系中共轭体系中 电子电子的运动的运动例1丁二烯的离域效应假定有两种情况：（a）4个电子形成两个定域键；（b）4个电子形成44离域键，每两个碳原子间距离为l。分析其能量。解：（
33、a）每个定域键看成一个势箱，4个电子中每两个电子处于一个势箱，其基态能量为：Ea=2E1+2E1=4E1=4h2/8ml2(b)4个电子均处于同一势箱中，箱长3l。基态能量：Eb=2E1+2E222222)3(822)3(82mhmh 228910mh1910EEb所以 Eb Ea离域使粒长活动范围增大，能量降低。离域使粒长活动范围增大，能量降低。例2求花青染料：R2N.(CH=CH)rCH=NR2+从（从（r+2）轨道跃迁到（）轨道跃迁到（r+3）轨道的波长。）轨道的波长。解：电子数：电子数：2r+4 个，基态占据个，基态占据 r+2 个能级轨道个能级轨道势箱长度：ar+b=248r+565
34、a 为（CH=CH）平均长度=248Pmb 为两端延伸长度：565Pmn=1 n=1 n=2 n=2 n=r+2 n=r+2n=r+3n=r+3n=r+4n=r+4 基态 激发态2221228)(mhnnE因为 E=h，hE221228)(mhnn c)(821222nnhmc)2()3(8222rrhmc)52(82rhcm5230.32r52)565248(30.32rr三维势箱（长、宽、高分别为a，b，c）Ezyxmh)(822222222Ezyxm)(22222222三维势箱的Schrodinger 方程为：需用变数分离法将方程分离为三个一维势箱三个一维势箱的Schrodinger 方
35、程，再分别求解，得到X(x)，Y(y)，Z(z)，将其相乘，即得到三维势箱的解三维势箱的解为：)()()(),(zZyYxXzyxcxnbxnaxnabczyxsinsinsin8)(82222222cnbnanmhEEEEzyxzyx(nx,ny,nz=1，2，3，)简并态、简并能级和简并度简并态、简并能级和简并度 当 a=b=c 时，三维势箱称为立方箱立方箱。当nx=ny=nz=1时，立方箱的能级最低。接着是nx,ny,nz取2，1，1，三个数的组合状态：nx ny nz E2 1 1 211 1 2 1 121 1 1 2 112 22222222221143)112(8mahcbamhE22222222212143)121(8mahcbamhE22222222211243)211(8mahcbamhEE211=E121=E112，同一个能级对应三个不同状态，即同一个能级对应三个不同状态，即211 121 112，称此能级为，称此能级为简并能级简并能级，相应状态为，相应状态为简并态简并态，简并，简并态的数目称为态的数目称为简并度简并度。体系的这种性质称为。体系的这种性质称为简并性简并性。
