1、南京市南京市2021届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数学参考答案数学参考答案 2020.09 一、 单项选择题： 本大题共一、 单项选择题： 本大题共8小题， 每小题小题， 每小题5分， 共分， 共40分分 1C 2B 3D 4A 5A 6C 7C 8B 二、 多项选择题： 本大题共二、 多项选择题： 本大题共4小题， 每题小题， 每题5分， 共分， 共20分 分 9ABD 10ACD 11ABC 12AC 三三、 填空题： 本大题共填空题： 本大题共4小题， 每题小题， 每题5分， 共分， 共20分 分 132 14 64 3 154； 220 16(-， -1 四、 解答题： 本大题
2、共四、 解答题： 本大题共6小题， 共小题， 共70分 分 17(本小题满分10分) 解：解： 因为 m=(2cosx， -1)， n=( 3sinx， 2cos2x)， 所以f(x)=mn+1=2 3sinxcosx-2cos2x+1 = 3sin2x-cos2x=2sin(2x- 6 ) 4分 (1)T= 2 2 = 5分 (2)由f()= 8 5 ， 得sin(2- 6 )= 4 5 由 3 ， 7 12 ， 得 2 2- 6 ， 所以cos(2- 6 )=- 6 =- 4 5 =- 3 5 ， 7分 从而 cos2=cos(2- 6 )+ 6 =cos(2- 6 )cos 6 -sin
3、(2- 6 )sin 6 =- 3 5 3 2 - 4 5 1 2 = -4-3 3 10 10分 18(本小题满分12分) 解：解： (1)选， 因为S1+S3=2S2+2， 所以S3-S2=S2-S1+2， 即a3=a2+2， 又数列an是公比为2的等比数列， 所以4a1=2a1+2， 解得a1=1， 因此an=12n-1=2n-1 4分 此时任意m， nN* *， aman=2m-12n-1=2m+n-2， 由于m+n-1N* *， 所以aman是数列an的第m+n-1项， 因此数列an满足条件P 7分 选， 因为S3= 7 3 ， 即a1+a2+a3= 7 3 ， 又数列an是公比为2
4、的等比数列， 所以a1+2a1+4a1= 7 3 ， 解得a1= 1 3 ， 高三数学参考答案第4页(共6页) 因此an= 1 3 2n-1 4分 此时a1a2= 2 9 6.635， 因为当H0成立时， 26.635的概率约为0.01， 所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4分 (2)记事件A为： 从该校男生中随机抽取1人， 课外阅读达标； 事件B为： 从该校女生中随机抽取1人， 课外阅读达标 由题意知： P(A)= 24 60 = 2 5 ， P(B)= 30 40 = 3 4 6分 随机变量X的取值可能为0， 1， 2， 3 P(X=0)=(1- 2 5 )2(1- 3 4
5、 )= 9 100 ， P(X=1)=C 1 2 2 5 (1- 2 5 )(1- 3 4 )+ 3 4 (1- 2 5 )2= 39 100 ， P(X=2)=( 2 5 )2(1- 3 4 )+C 1 2 2 5 (1- 2 5 ) 3 4 = 2 5 ， P(X=3)=( 2 5 )2 3 4 = 3 25 所以随机变量X的分布列为： 高三数学参考答案第4页(共6页) X0123 P 9 100 39 100 2 5 3 25 10分 期望E(X)=0 9 100 +1 39 100 +2 2 5 +3 3 25 =1.55 12分 20(本小题满分12分) (1)证明：证明： 因为PA
6、D=90， 所以PAAD 因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCD=AD， PA平面PAD， 所以PA平面ABCD 2分 又CD平面ABCD， 所以CDPA 在四边形ABCD中， AD/BC， DAB=90， 所以ABC=90， 又AB=BC=1， 所以ABC是等腰直角三角形， 即BAC=CAD=45， AC= 2 在CAD中， CAD=45， AC= 2， AD=2， 所以CD= AC2+AD2-2ACADcosCAD = 2， 从而AC2+CD2=4=AD2 所以CDAC 4分 又ACPA=A， AC， PA平面PAC， 所以CD平面PAC 又AE平面PAC， 所以CDAE 6
7、分 (2)解：解： 因为PA平面ABCD， BAAD， 故以 AB， AD， AP为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AB=BC=PA=1， AD=2， 所以 A(0， 0， 0)， P(0， 0， 1)， C(1， 1， 0)， D(0， 2， 0)， 则 CD=(-1， 1， 0)， AD=(0， 2， 0) 因为点E在棱PC上， 且CE=CP， 所以 CE= CP， 设E(x， y， z)， 则(x-1， y-1， z)=(-1， -1， 1)， 故E(1-， 1-， )， 所以 AE=(1-， 1-， ) 由(1)知， CD平面PAC， 所以平面ACE的一个法向量为n= C
8、D=(-1， 1， 0) 设平面AED的法向量为m=(x1， y1， z1)， 由 AE AD得 (1-)x1+(1-)y1+z1=0， y1=0， 令z1=1-， 所以平面AED的一个法向量为m=(-， 0， 1-) 9分 因此 |cos|=|cos|=| mn |m|n| |=| 2 22|= 10， 化简得3 2-8+4=0， 解得= 2 3 或2 因为E在棱PC上， 所以0， 1， 所以= 2 3 高三数学参考答案第4页(共6页) 所以当|cos|=10 时， 实数的值为 2 3 12分 21(本小题满分12分) 解：解： (1)因为椭圆C： x2 4 +y2=1， 所以F1(- 3，
9、 0)， F2( 3， 0) 设T(x0， y0)， 则 TF1 TF2=(- 3 -x0， -y0)( 3 -x0， -y0)=x0 2+y 0 2-3 因为点T(x0， y0)在椭圆C上， 即 x0 2 4 +y0 2=1， 所以 TF1 TF2= 3 4 x0 2-2， 且x 0 20， 4， 所以 TF1 TF2的取值范围是-2， 1 4分 (2)因为直线l与坐标轴不垂直， 故设直线l方程y=kx+m (m-1， k0) 设B(x1， y1)， D(x2， y2) 由 x2 4 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0， 所以x1+x2=- 8km 1+4k2 ， x1x2= 4
10、(m2-1) 1+4k2 6分 因为ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 所以ABAD， 即 AB AD=0， 因此 (y1+1)( y2+1)+x1x2=0， 即(kx1+m+1)( kx2+m+1)+x1x2=0， 从而 (1+k2) x1x2+k(m+1)( x1+x2)+(m+1)2=0， 即 (1+k2) 4(m2-1) 1+4k2 -k(m+1) 8km 1+4k2 +(m+1)2=0， 也即 4(1+k2)( m-1)-8k2m+(1+4k2) (m+1)=0， 解得m= 3 5 9分 又线段BD的中点M(- 4km 1+4k2 ， m 1+4k2 )， 且AMBD， 所以
11、m 1+4k2 4km 1+4k2 =- 1 k ， 即3m=1+4k2， 解得k= 5 又当k= 5， m= 3 5 时， =64k2m2-4(1+4k2)( 4m2-4)= 576 25 0， 所以满足条件的直线l的方程为y= 5x+ 3 5 . 12分 22(本小题满分12分) 解：解： (1)当k=2时， f (x)=2x-xlnx， f(x)=1-lnx， 由f(x)0， 解得0xe； 由f(x)e， 因此函数f (x)单调递增区间为(0， e)， 单调递减区间为(e， +) 2分 (2)f (x)=kx-xlnx， 故f(x)=k-1-lnx 当k1时， 因为0x1， 所以k-10
12、lnx， 因此f(x)0恒成立， 即f (x)在(0， 1上单调递增， 所以f (x)f (1)=k恒成立 4分 当k0， f (x)单调递增； 当x(ek-1， 1)， f(x)f (1)=k， 与f (x)k恒成立相矛盾 综上， k的取值范围为1， +) 7分 (3)由(2)知， 当0x1时， x-xlnx1 高三数学参考答案第4页(共6页) 令x= 1 n2 (nN*)， 则 1 n2 + 2 n2 lnn1， 即2lnnn2-1， 因此 lnn n+1 n-1 2 10分 所以 ln1 2 + ln2 3 + lnn n+1 0 2 + 1 2 + n-1 2 = n(n-1) 4 12分 高三数学参考答案第4页(共6页)
