1、函数的零点问题函数的零点问题 (1)函数的零点的概念 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf(x)有零点 (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足： 在区间a， b上的图象是连续不断的一条曲线； f(a) f(b)0； 则函数 yf(x)在(a， b)上存在零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 零点区间的判断零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间题型结构特征：判别零点区间 1.函数 f（
2、x）=ex + x - 2 的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2,-1） B. （-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 【答案】C 2.若abc，则函数( )()()()()()()f xxa xbxb xcxc xa两个零点分别位于区间 A.( , )a b和( , )b c内 B.(, )a和( , )a b内 C.( , )b c和( ,)c 内 D.(, )a和( ,)c 内 【答案】A 零点个数的判断零点个数的判断题型结构特征：题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题判别零点在区间上的个数问题 3.函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是( ) A0 B1
3、 C2 D3 【答案】B 4.函数 0.5 ( )2 |log| 1 x f xx的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C.3 D.4 【答案】A 5.已知函数 f(x) x1，x0， log2x，x0，则函数 yf(f(x)1 的零点个数是( ) A4 B3 C2 D1 【答案】B 6.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，且满足 f(5x)f(5x)，在0，5上有且只有 f(1)0，则 f(x)在2 015， 2 015上的零点个数为( ) A808 B806 C805 D804 【答案】C 零点存在性确定的参数范围问题零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参
4、数范围题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围 7.函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A(1，3) B(1，2) C(0，3) D(0，2) 【答案】C 8.2015 湖南文 14若函数 f（x）=| 2x-2 | - b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_ 【答案】0b0有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】1 9 4 a 10 已知函数满足，且是偶函数，当时，若在区间内，函数 有三个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A. B C D. 【答案】C )(xf)() 1(xfxf )(xf 1 , 0 x 2
5、 )(xxf 3 , 1 kkxxfxg)()( ) 4 1 , 0( 2 1 , 0() 2 1 , 4 1 ( 3 1 , 4 1 11.已知函数 f(x) |x|，xm， x22mx4m，xm， 其中 m0.若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同 的根，求 m 的取值范围 解析：作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个 不同的根，则 4mm2m，即 m23m0.又 m0，解得 m3. 12.已知函数 若 g （x） 存在 2 个零点， 则 a 的取值范围是 （ ） A1，0） B0，+） C1，+）
6、D1，+） 【答案】 ：C 解答： 存在个零点，即与有两个交点，的图象如下： 要使得与有两个交点，则有即，选 C. 零点分布问题零点分布问题题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断 13.已知定义域为 R 的函数 )2( , 1 )2( 2 1 )( x x xxf.若关于x的方程 0)()( 2 bxafxf有三个不同的实根 321 ,xxx， 求 2 3 2 2 2 1 xxx 的值为（ ） e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf xxa ( )( )g xf xxa2
7、( )yf x yxa )(xf yxa )(xf1a 1a A. 10 B .12 C. 14 D.16 【答案】C 二次函数零点区间讨论法二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围 14 已知 a 是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求 a 的取值范围 【答案】a1 或 2 53 a 15 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围 【答案】 （1） （
8、 2 1 6 5 ，） （2），（21 2 1 16 已知函数 2 2|,2 ( ) (2)x2 xx f x x ， ,函数( )3(2)g xfx= -,则函数y( )( )f xg x=-的零点的个数为 A. 2 B. 3 C.4 D.5 【答案】A 17. 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围 解析：法一：设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2 (x1x2)10，由根与系数的关系， 得(a2)(a21)10， 即 a2a20， 2a1. 18 已知二次
9、函数 f(x)x22bxc(b，cR)满足 f(1)0，且关于 x 的方程 f(x)xb0 的两个实数根分别 在区间(3，2)，(0，1)内，则实数 b 的取值范围为_ axaxxf322 2 xfy 1 , 1 【答案】 7 5 , 5 1 19.已知函数 f(x)x2axb(a， bR)的值域为0， )， 若关于 x 的不等式 f(x)c0 的解集为(m， m6)， 则实数 c 的值为_ 【答案】9 20.已知二次函数 f(x)x2ax3 - a 的两零点均为正数的实数，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】2aa， x26x3，xa， 函数 g(x)f(x)2x 恰有三个不同的零点，则实数
10、 a 的取值范围是 ( ) A1,3) B3，1 C3,3) D1,1) 【答案】A 22.已知函数 yf(x)是定义域为 R 的偶函数当 x0 时，f(x) 5 4sin 2x x 1 4 x x ，若关于 x 的方程 5f(x)2(5a6)f(x)6a0(aR)有且仅有 6 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是( ) A(0,1) 5 4 B0,1 5 4 C(0,1 5 4 D. 1，5 4 0 解析：作出 f(x) 5 4sin 2x x 1 4 x x 的大致图象如图所示，又函数 yf(x)是定义域为 R 的偶函数， 且关于 x 的方程 5f(x)2(5a6)f(x)6a0(aR
11、)有且仅有 6 个不同的实数根，等价于 f(x)6 5和 f(x) a(aR)有且仅有 6 个不同的实数根由图可知方程 f(x)6 5有 4 个不同的实数根，所以必须且只需方程 f(x) a(aR)有且仅有 2 个不同的实数根，由图可知 0a1 或 a5 4.故选 C. 【答案】 ：C 23.在平面直角坐标系xOy中， 若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点， 则a的值为_ 解析：若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则方程 2a|xa|1 只有一解，即方程|x a|2a1 只有一解，故 2a10，所以 a1 2. 【答案】 ：1 2 24.函数 f(x) 1 2
12、 |x1|2cos x(4x6)的所有零点之和为_ 解析：问题可转化为 y 1 2 |x1|与 y2cos x 在4x6 的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于 x1 对称， 所以 x1 两侧的交点对称， 那么两对应交点的横坐标的和为 2， 分别画出两个函数的图象(图略)， 易知 x1 两侧分别有 5 个交点，所以所求和为 5 210. 【答案】 ：10 25.已知函数 f(x) 1|x1|，x x24x2，x1 ，则函数 g(x)2|x|f(x)2 的零点个数为_ 解析：由 g(x)2|x|f(x)20 得，f(x) 1 2 |x|1，作出 yf(x)，y 1 2 |x|1的图象，由图象
13、可知共有 2 个交点， 故函数的零点个数为 2. 【答案】 ：2 26.已知函数 f(x) 2 x1x x ， 若方程 f(x)ax1 恰有一个解， 则实数 a 的取值范围是_ 解析：如图，当直线 yax1 过点 B(2,2)时，a1 2，满足方程有两个解；当直线 yax1 与 f(x)2 x1 (x2)的图象相切时，a1 5 2 ，满足方程有两个解；当直线 yax1 过点 A(1,2)时，a1，满足方程恰 有一个解故实数 a 的取值范围为 0，1 2 1 5 2 ，1 . 【答案】 ： 0，1 2 1 5 2 ，1 27.对于函数 f(x)和 g(x)，设 x|f(x)0，x|g(x)0，若
14、存在 ，使得|1，则称 f(x)与 g(x)互 为“零点相邻函数”若函数 f(x)ex 1x2 与 g(x)x2axa3 互为“零点相邻函数”，则实数 a 的取值 范围是( ) A2,4 B 2，7 3 C. 7 3，3 D2,3 解析：函数 f(x)ex 1x2 的零点为 x1，设 g(x)x2axa3 的零点为 b，若函数 f(x)ex1x2 与 g(x)x2axa3 互为“零点相邻函数”， 则|1b|1， 0b2.由于 g(x)x2axa3 的图象过点(1,4)， 要使其零点在区间0,2上，则 g a 2 0，即 a 2 2a a 2a30，解得 a2 或 a6(舍去)，易知 g(0)0
15、，即 a3，此时 2a3，满足题意 【答案】D 28.设 x0为函数 f(x)sin x 的零点，且满足|x0|f x01 2 33，则这样的零点有( ) A61 个 B63 个 C65 个 D67 个 解析：依题意，由 f(x0)sin x00 得，x0k，kZ，即 x0k，kZ.当 k 是奇数时，f x01 2 sin k1 2 sin k 2 1，|x0|f x01 2 |k|133，|k|34，满足这样条件的奇数 k 共有 34 个； 当 k 是偶数时， f x01 2 sin k1 2 sin k 2 1，|x0|f x01 2 |k|133，|k|32，满足这样条件的偶数 k 共有
16、 31 个综上所述，满足题意的零点共有 343165(个)，选 C. 【答案】C 29.设函数 f(x) x，0 x 1 x11，1x0 时，f(x)ln xx1，则函数 g(x)f(x)ex(e 为自然对数的底 数)的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：当 x0 时，f(x)ln xx1，f(x)1 x1 1x x ，所以 x(0,1)时，f(x)0，此时 f(x)单调递增；x(1， )时，f(x)0 时，f(x)maxf(1)ln 1110.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 yf(x)与 yex的大致图象，如图，观察到函数 yf(x)与 yex的图象有两个交点
17、， 所以函数 g(x)f(x)ex(e 为自然对数的底数)有 2 个零点故选 C. 【答案】C 31.已知函数 f(x)ln xax2x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(0,1) C. ，1e e2 D. 0，1e e2 解析： 依题意， 关于 x 的方程 ax1ln x x 有两个不等的正根 记 g(x)ln x x ， 则 g(x)1ln x x2 ， 当 0x0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当 xe 时，g(x)0，g(x)在区间(e，)上单调递减，且 g(e)1 e，当 0x1 时，g(x)0 时，只有 y x2 a(x0)和 yxln x 的 图象
18、相切时， 满足题意， 作出图象如图所示， 由图象可知， a1， 当 a0 时， 显然满足题意， a1 或 a0， a2b2. 根据约束条件作出可行域(图略)，可知1 4 b2 a11. 【答案】 1 4，1 40.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数， 若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点， 则实数的值是( ) A.1 4 B1 8 C7 8 D3 8 解析：令 yf(2x21)f(x)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x2 1x 只有一个根，即 2x2x10 只有一个根，则 18(1)0，解得 7 8.故选 C. 【答案】 ：C 41
19、.已知函数 f(x)e|x|x|.若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_ 解析：易知函数 f(x)e|x|x|为偶函数，故只需求函数 f(x)在(0，)上的图象与直线 yk 有唯一交点时 k 的取值范围当 x(0，)时，f(x)exx，此时 f(x)ex10，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增， 从而当 x0 时，f(x)exxf(0)1，所以要使函数 f(x)在(0，)上的图象与直线 yk 有唯一交点，只需 k1，故所求实数 k 的取值范围是(1，) 【答案】(1，) 42.已知函数 f(x)1 3x 3ax2bxc 有两个极值点 x 1，x2，若
20、x1f(x1)x2，则关于 x 方程f(x) 22af(x)b 0 的实数根的个数不可能为( ) A2 B3 C4 D5 解析：由题意，得 f(x)x22axb.因为 x1，x2是函数 f(x)的两个极值点，所以 x1，x2是方程x22ax b0 的两个实数根，所以由f(x)22af(x)b0，可得 f(x)x1或 f(x)x2.由题意，知函数 f(x)在(，x1)， (x2， )上单调递减， 在(x1， x2)上单调递增， 又 x1f(x1)x2， 依题意作出简图， 如图所示， 结合图形可知， 方程f(x)22af(x)b0 的实根个数不可能为 5，故选 D. 【答案】D 43.设函数 f(
21、x)exx2，g(x)ln xx23.若实数 a，b 满足 f(a)0，g(b)0，则( ) Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a) C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0 【答案】A 44.已知 R，函数 f(x)= 2 4, 43, xx xxx ，当 =2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x) 恰有 2 个零点，则 的取值范围是_ 【答案】1 3或4. 45.已知0a ，函数 2 2 2,0, ( ) 22 ,0. xaxax f x xaxa x 若关于x的方程( )f xax恰有 2 个互异的实数解，则 a的取值范围是 . 【答案】 46.函数 2lnf xx的图像与函数 2 45g xxx的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 4,8
