1、 优化建模优化建模下料问题下料问题 优化建模优化建模 下料问题下料问题生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称为原料下料（为原料下料（cutting stock）问题。按照进一步的）问题。按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大，是典型的优化问题。本节通过两个实例讨最大，是典型的优化问题。本节通过两个实例讨论用数学规划模型解决这类问题的方法。论用数学规划模型解决这类问题的方法。优化建模优化建模5.3.1钢管下料问题钢
2、管下料问题例例5.3 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是管都是19米长。米长。1)现有一客户需要现有一客户需要50根根4米长、米长、20根根6米长和米长和15根根8米米长的钢管。应如何下料最节省？长的钢管。应如何下料最节省？2)零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过该零售商规定采用的
3、不同切割模式不能超过3种。种。此外，该客户除需要此外，该客户除需要1）中的三种钢管外，还需要）中的三种钢管外，还需要10根根5米长的钢管。应如何下料最节省？米长的钢管。应如何下料最节省？优化建模优化建模问题问题1 1）的求解）的求解问题分析问题分析 首先，应当确定哪些切割模式是可行的。首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将安排切割的一种组合。例如，我们可以将1919米长的钢米长的钢管切割成管切割成3 3根根4 4米长的钢管，余料为米长的钢管，余料为7 7米显然，可行的米
4、显然，可行的切割模式是很多的。切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割模式一共有模式一共有7 7种，如表种，如表5-35-3所示。所示。优化建模优化建模表表5-3 钢管下料的合理切割模式钢管下料的合理切割模式 优化建模优化建模问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。
5、而理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。下面将对这两个目标分别讨论。优化建模优化建模模型建立模型建立 决策变量决策变量 用用xi 表示按照第表示按照第i种模式（种模式（i=1,2,7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。决策目标决策目标 以切割后剩余的总余料量最小为目标，以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表则由表1可得可得 76543
6、2113333xxxxxxxZMin (32)以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 76543212xxxxxxxZMin(33)下面分别在这两种目标下求解。下面分别在这两种目标下求解。优化建模优化建模约束条件约束条件 为满足客户的需求，按照表为满足客户的需求，按照表1应有应有 5023454321xxxxx20326542xxxx152753xxx 优化建模优化建模模型求解模型求解 1.将（将（32），（），（34）（36）构成的整数线性规划模型）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入（加上整数约束）输入LINDO如下：如下：Title 钢管下料-
7、最小化余量Min 3x1+x2+3x3+3x4 +x5+x6 +3x7 s.t.4x1+3x2+2x3+x4+x5 =50 x2+2x4+x5+3x6 =20 x3 +x5 +2x7=15endgin 7 优化建模优化建模求解可以得到最优解如下：求解可以得到最优解如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)27.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 3.000000 X2 12.000000 1.000000 X3 0.000000 3.000000 X4 0.000000 3.000000 X5 15.000000 1.0
8、00000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 3.000000 优化建模优化建模即按照模式即按照模式2 2切割切割1212根原料钢管，按照模式根原料钢管，按照模式5 5切切割割1515根原料钢管，共根原料钢管，共2727根，总余料量为根，总余料量为2727米。米。显然，在总余料量最小的目标下，最优解将是显然，在总余料量最小的目标下，最优解将是使用余料尽可能小的切割模式（模式使用余料尽可能小的切割模式（模式2 2和和5 5的余的余料为料为1 1米），这会导致切割原料钢管的总根数较米），这会导致切割原料钢管的总根数较多。多。优化建模优化建模2.2.将（将（3333）
9、（3636）构成的整数线性规划模型）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入（加上整数约束）输入LINDOLINDO：Title 钢管下料钢管下料-最小化钢管根数最小化钢管根数Min x1+x2+x3+x4 +x5+x6 +x7 s.t.4x1+3x2+2x3+x4+x5 =50 x2+2x4+x5+3x6 =20 x3 +x5 +2x7=15endgin 7 优化建模优化建模求解，可以得到最优解如下：求解，可以得到最优解如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)25.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.00000
10、0 X2 15.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 5.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 5.000000 1.000000 优化建模优化建模即按照模式即按照模式2切割切割15根原料钢管，按模式根原料钢管，按模式5切割切割5根，按模根，按模式式7切割切割5根，共根，共27根，可算出总余料量为根，可算出总余料量为35米。与上面米。与上面得到的结果相比，总余料量增加了得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料米，但是所用的原料钢管的总根数减少了钢管的总根数减少
11、了2根。在余料没有什么用途的情况下，根。在余料没有什么用途的情况下，通常选择总根数最少为目标。通常选择总根数最少为目标。优化建模优化建模问题问题2）的求解）的求解问题分析问题分析 按照解问题按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。遍性的方法。同同1）类似，一
12、个合理的切割模式的余料不应该大于或等）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计米），切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，划中只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于所以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我米。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。们仅选择总根数最少为目标进行求解。优化建模优化建模模型建立模型建立决策变量决策变量 由于不同切割模式不能超过由于不同切割模式不能超过3种，可以用种，可以用xi 表示表示按照第按照第i种
13、模式（种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。然它们应当是非负整数。设设所使用的第所使用的第i种切割模式下种切割模式下每根原料钢管生产每根原料钢管生产4米长、米长、5米长、米长、6米长和米长和8米长的钢米长的钢管数量分别为管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i（非负整数非负整数）。）。决策目标决策目标 以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为321xxxMin（37）优化建模优化建模约束条件约束条件 为满足客户的需求，应有为满足客户的需求，应有50313212111xrxrxr(38)103
14、23222121xrxrxr20333232131xrxrxr15343242141xrxrxr(39)(40)(41)优化建模优化建模每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过成品量不能超过19米，也不能少于米，也不能少于16米（余量不能大于米（余量不能大于3米），于是米），于是1986541641312111rrrr(42)1986541642322212rrrr(43)1986541643332313rrrr(44)优化建模优化建模模型求解模型求解（37）（44）构成这个问题的优化模型。由于在（）构成这个问题的优化模型。
15、由于在（38）（41）式中出现了决策变量的乘积，所以这是一个整数非）式中出现了决策变量的乘积，所以这是一个整数非线性规划模型，虽然用线性规划模型，虽然用LINGO软件可以直接求解，但我软件可以直接求解，但我们发现在较低版本的们发现在较低版本的LINGO软件中需要运行很长时间也软件中需要运行很长时间也难以得到最优解。为了减少运行时间，可以增加一些显然难以得到最优解。为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于例如，由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加以下约束：妨增加
16、以下约束：321xxx（45）优化建模优化建模又例如，我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的又例如，我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界。首先，无论如何，原料钢管的总根数不上界和下界。首先，无论如何，原料钢管的总根数不可能少于可能少于 2619158206105504（根）（根）其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产只生产4米钢管，一根原料钢管切割成米钢管，一根原料钢管切割成4根根4米钢管，为满米钢管，为满足足50根根4米钢管的需求，需要米钢管的需求，需要13根原料钢管；第二种切割根原料钢管；第二种切割模式下只
17、生产模式下只生产5米、米、6米钢管，一根原料钢管切割成米钢管，一根原料钢管切割成1根根5米钢管和米钢管和2根根6米钢管，为满足米钢管，为满足10根根5米和米和20根根6米钢管的米钢管的需求，需要需求，需要10根原料钢管；根原料钢管；优化建模优化建模第三种切割模式下只生产第三种切割模式下只生产8米钢管，一根原料钢管切割成米钢管，一根原料钢管切割成2根根8米钢管，为满足米钢管，为满足15根根8米钢管的需求，需要米钢管的需求，需要8根原料钢根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需管。于是满足要求的这种生产计划共需13+10+8=31根原根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界。所以可增加以料钢管，这
18、就得到了最优解的一个上界。所以可增加以下约束：下约束：3126321xxx(46)将（37）（46）构成的模型输入LINGO如下：优化建模优化建模将（37）（46）构成的模型输入LINGO如下：model:Title 钢管下料钢管下料-最小化钢管根数的最小化钢管根数的LINGO模型模型;min=x1+x2+x3;x1*r11+x2*r12+x3*r13=50;x1*r21+x2*r22+x3*r23=10;x1*r31+x2*r32+x3*r33=20;x1*r41+x2*r42+x3*r43=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41=19;4*r12+5*r22+6*r32+8*
19、r42=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43=16;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43=16;x1+x2+x3=26;x1+x2+x3=x2;x2=x3;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r41);gin(r42);gin(r43);end 优化建模优化建模经过经过LINGO求解，得到输出如下：求解，得到输出如下：Local opt
20、imal solution found.Objective value:28.00000 Extended solver steps:72 Total solver iterations:3404 Model Title:钢管下料钢管下料-最小化钢管根数的最小化钢管根数的LINGO模型模型 优化建模优化建模 Variable Value Reduced CostX1 10.00000 1.000000X2 10.00000 1.000000X3 8.000000 1.000000R11 2.000000 0.000000R12 3.000000 0.000000R13 0.000000 0.0
21、00000R21 1.000000 0.000000R22 0.000000 0.000000R23 0.000000 0.000000R31 1.000000 0.000000R32 1.000000 0.000000R33 0.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R42 0.000000 0.000000R43 2.000000 0.000000 优化建模优化建模即按照模式即按照模式1、2、3分别切割分别切割10、10、8根原料钢管，使用根原料钢管，使用原料钢管总根数为原料钢管总根数为28根。第一种切割模式下一根原料钢管根。第一种切割模式下一根原料钢管切
22、割成切割成3根根4米钢管和米钢管和1根根6米钢管；第二种切割模式下一根米钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成原料钢管切割成2根根4米钢管、米钢管、1根根5米钢管和米钢管和1根根6米钢管；米钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根根8米钢管。米钢管。如果充分利用如果充分利用LINGO建模语言的能力，使用集合和属性建模语言的能力，使用集合和属性的概念，可以编写以下的概念，可以编写以下LINGO程序，这种方法更具有一程序，这种方法更具有一般的通用性，并有利于输入更大规模的下料问题的优化模般的通用性，并有利于输入更大规模的下料问题的优化模型：型：优化建模优化建
23、模model:Title 钢管下料钢管下料-最小化钢管根数的最小化钢管根数的LINGO模型模型;SETS:NEEDS/1.4/:LENGTH,NUM;!定义基本集合定义基本集合NEEDS及其属性及其属性LENGTH,NUM;CUTS/1.3/:X;!定义基本集合定义基本集合CUTS及其属性及其属性X;PATTERNS(NEEDS,CUTS):R;!定义派生集合定义派生集合PATTERNS（这是一个稠密集合）及其属性（这是一个稠密集合）及其属性R;ENDSETSDATA:LENGTH=4 5 6 8;NUM=50 10 20 15;CAPACITY=19;ENDDATAmin=SUM(CUTS(
24、I):X(I);优化建模优化建模!目标函数目标函数;FOR(NEEDS(I):SUM(CUTS(J):X(J)*R(I,J)NUM(I);!满足需求约束满足需求约束;FOR(CUTS(J):SUM(NEEDS(I):LENGTH(I)*R(I,J)CAPACITY -MIN(NEEDS(I):LENGTH(I);!合理切割模式约束合理切割模式约束;SUM(CUTS(I):X(I)26;SUM(CUTS(I):X(I)X(I+1);!人为增加约束人为增加约束;FOR(CUTS(J):GIN(X(J);FOR(PATTERNS(I,J):GIN(R(I,J);end求解这个模型，得到的结果与前面的
25、结果完全相同。求解这个模型，得到的结果与前面的结果完全相同。优化建模优化建模5.3.2易拉罐下料问题易拉罐下料问题例例5.4 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的（参见的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的（参见图图5-3）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高罐身高10厘米，上盖和下底的直径均为厘米，上盖和下底的直径均为5厘米。该公厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板的镀锡板为正方形，边长为正方形，边长24
26、厘米；规格厘米；规格2的镀锡板为长方形，的镀锡板为长方形，长、宽分别为长、宽分别为32和和28厘米。由于生产设备和生产工艺厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格的限制，对于规格1的镀镀锡板原料，只可以按照图的镀镀锡板原料，只可以按照图2中的模式中的模式1、2或或3进行冲压；对于规格进行冲压；对于规格2的镀锡板原料的镀锡板原料只能按照模式只能按照模式4进行冲压。使用模式进行冲压。使用模式1、2、3、4进行进行每次冲压所需要的时间分别为每次冲压所需要的时间分别为1.5、2、1、3（秒）。（秒）。优化建模优化建模模式1模式2模式3模式4上盖下底罐身图5-3 易拉罐下料模式 优化建模优化建模该工
27、厂每周工作该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板的镀锡板原料分别为原料分别为5万张和万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，元，原料余料损失为原料余料损失为0.001元元/厘米厘米2（如果周末有罐身、上盖或（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。工厂应如何安排每周的生产？工厂应如何安排每周的生产？已知上盖和下底的直径已知上盖和下底的直径d=5厘米，可得其面积为厘米，可得其面积为 4/2ds 19.6厘米厘米2 优化建模优化建模
28、表表5-4 4种冲压模式的特征种冲压模式的特征问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大，约束条件除每周工作时间和原料数量外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装。优化建模优化建模模型建立模型建立决策变量决策变量 用用xi 表示按照第表示按照第i种模式的冲压次数（种模式的冲压次数（i=1,2,3,4），），y1表示表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用原料损失，用y2表示不配套的罐身个数，表示不配套的罐身个数，y3表示不配套的底、盖个数。表示不配套的底、盖个数。虽然实际上虽然实际上xi
29、和和y1，y2，y3应该是整数。但是由于生产量相当大，可以应该是整数。但是由于生产量相当大，可以把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。决策目标决策目标 假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是售利润是0.1y1。原料余料损失包括两部分：。原料余料损失包括两部分：4种冲压模式下的余种冲压模式下的余料损失，和不配套的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面料损失，和不配套的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面的计算及表的计算及表2的结果，总损失为的结果，总损失为0.001(222.6x1+183.
30、3x2+261.8x3+169.5x4+157.1y2+19.6y3)。优化建模优化建模于是，决策目标为于是，决策目标为)6.191.1575.1698.2613.1836.222(001.01.03243211yyxxxxyMax(47)约束条件约束条件 时间约束：每周工作时间不超过时间约束：每周工作时间不超过40小时小时=144000（秒），由表（秒），由表2最后一列得最后一列得144000325.14321xxxx(48)原料约束：原料约束：每周可供使用的规格每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为的镀锡板原料分别为50000张和张和20000张，即张，即50000321xxx(49)
31、200004x(50)优化建模优化建模 配套约束：配套约束：由表由表2一周生产的罐身个数为一周生产的罐身个数为x1+2x2+4x4,一周一周生产的底、盖个数为生产的底、盖个数为10 x1+4x2+16x3+5x4，因为应尽可能，因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售。所以将它们配套组装成易拉罐销售。所以y1满足满足2/)516410(,42min43214211xxxxxxxy (51)这时不配套的罐身个数这时不配套的罐身个数y2，和不配套的底、盖个数，和不配套的底、盖个数y3应为应为1421242yxxxy (52)1432132516410yxxxxy (53)优化建模优化建模（47）（5
32、3）就是我们得到的模型，其中（）就是我们得到的模型，其中（51）是一个非线性关系，）是一个非线性关系，不易直接处理，不易直接处理，但是它可以等价为以下两个线性不等式：但是它可以等价为以下两个线性不等式：421142xxxy (54)2/)516410(43211xxxxy (55)模型求解模型求解将模型（将模型（47）（50）和（）和（52）（55）直接输入）直接输入LINDO（输入（输入LINGO也可以），求解时也可以），求解时LINDO发出警告信息（程序和警告信发出警告信息（程序和警告信息参见图息参见图5-4）。）。图中错误编号图中错误编号“66”的含义（参见第的含义（参见第4章的错误章的
33、错误代码表）是：模型中数据不平衡，所以发出警告信息（注意，只代码表）是：模型中数据不平衡，所以发出警告信息（注意，只是警告信息，所以仍然可以继续求解）。求解结果是：是警告信息，所以仍然可以继续求解）。求解结果是：优化建模优化建模 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)4298.337 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 160250.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000050 X2 40125.000000 0.000000 X3 3750.000000 0.000000 X4 20000.000000 0.000000
34、Y2 0.000000 0.223331 Y3 0.000000 0.036484 优化建模优化建模图图5-4 模型中数据不平衡的警告信息模型中数据不平衡的警告信息 优化建模优化建模这个结果可靠吗？由于这个结果可靠吗？由于LINDO警告模型中数据之间的数警告模型中数据之间的数量级差别太大，所以我们可以进行预处理，缩小数据之量级差别太大，所以我们可以进行预处理，缩小数据之间的差别。实际上，约束（间的差别。实际上，约束（48）（50）中右端项的数值）中右端项的数值过大（与左端的系数相比较），过大（与左端的系数相比较），LINDO在计算中容易产在计算中容易产生比较大的误差，所以出现此警告信息。生比较
35、大的误差，所以出现此警告信息。为了解决这一问题，可以将所有决策变量扩大为了解决这一问题，可以将所有决策变量扩大10000倍倍（相当于（相当于xi以万次为单位，以万次为单位，yi以万件为单位）。此时，目以万件为单位）。此时，目标（标（47）可以保持不变（记住得到的结果单位为万元就）可以保持不变（记住得到的结果单位为万元就可以了），而约束（可以了），而约束（48）（50）改为）改为4.14325.14321xxxx(56)5321xxx(57)24x(58)优化建模优化建模将模型（将模型（47）和（）和（52）（58）输入）输入LINDO:!易拉罐下料：均衡数据易拉罐下料：均衡数据Max 0.10
36、0y1-0.2226x1-0.1833x2-0.2618x3-0.1695 x4-0.1571y2-0.0196y3 s.t.1.5x1+2.0 x2+1.0 x3+3.0 x4=14.4 x1+x2+x3 =5 x4 =010 x1+4x2+16x3+5x4-2y1=0 x1+2x2+4x4-y1-y2=010 x1+4x2+16x3+5x4-2y1-y3=0end 优化建模优化建模求解得到：求解得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)0.4298337 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 16.025000 0.000000 X1 0.000000 0.000050 X2 4.012500 0.000000 X3 0.375000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.223331 Y3 0.000000 0.036484即模式即模式1不使用，模式不使用，模式2使用使用40125次，模式次，模式3使用使用3750次，模式次，模式4使使用用20000次，可生产易拉罐次，可生产易拉罐160250个，罐身和底、盖均无剩余，净个，罐身和底、盖均无剩余，净利润为利润为4298元。元。41谢谢！谢谢！
