1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 07 一、填空题（本大题满分 56分） 1、 计算： 223 4 2lim (2 1)n nnn? ?= 2、 记函数 ()y f x? 的反函数为 1( ).y f x? 如果函数 ()y f x? 的图像过点 )2,1( ,那么函数1( ) 1y f x?的图像过点 ._ 3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16个小球，其中 8 个白球、 8 个黑球，则从口袋中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为 . （结果精确到 001.0 ） 4、 8)2( x? 展开式中含 4x 项的系数为 . 5、设 ()fx为定义在 R
2、 上的奇函数，当 0x? 时， ( ) 2 2xf x x b? ? ?（ 为常数）， 则 ( 1)f ? 6、 (文 )已知 z为 复数，且 ( 2 ) 1i z i?，则 z= 7、 从数列 )(21 *Nnn ?中可以找出无限项构成一个新的等比数列 nb ，使得该新数列的各项和为 71 ，则此数列 nb 的通项公式为 8、阅读如图所示的程序框图，输出的 S值为 ._ 9、 已知 ABC? 的面积为 3 , 3 ,23A C A B C ? ? ?，则 ABC?的周长等于 ._ 10、 给出下列命题中 非零向量 ab、 满足 a b a b? ? ? ，则 与a a b? 的夹角为 030
3、 ； a ? b 0，是 ab、 的夹角为锐角的充要条件； 将函数 y = 1?x 的图象按向量 a =( 1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y =x ； 在 ABC? 中， 若 )( ? ?ACAB 0)( ? ? ACAB ，则 ABC? 为等腰三角形； 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） - 2 - 11、（文） 已知长方体的三条棱长分别为 1， 1， 2 ，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为 _ 12、（文） 已知向量 a = ),2,1( ?x b = ),4( y ,若 a ? b ，则 yx 39? 的最小值为 ; 13、（
4、文）设 a 为非零实数，偶函数 2( ) 1 ( )f x x a x m x R? ? ? ? ?在区间 (2,3) 上存在唯一零点，则实数 a 的取值范围是 . 14、（文） 已知数列 ?na 满足 1 1a? ，且111( ) ( 233nnna a n? ? ?，且 )n? *N ，则数列 ?na 中项 的最大值为 ._ 二、选择题 （本大题满分 20分 ） 15、 “ 2? ”是“函数 y=sin(x )为偶函数的”（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16、 若 2 0AB BC AB? ? ?，则 ABC? 必定是 （ ）
5、A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 17、已知 m， n是两条不同直线， ?, 是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ） A. ? /, 则若 ? mm B. ? ? nmnm 则若 ,/ C. nmnm /,/ 则若 ? ? D. ? ? 则若 , mm 18、 （文）已知函数 224() 4xxfx xx? ? ?00xx?,若 2(2 ) ( ),f a f a? 则实数 a 的取值范围是 A ( , 1) (2, )? ? ? ? B ( 1,2)? C ( 2,1)? D ( , 2) (1, )? ? ? ? 三、解答题（本大题满分 74分） 19、 （
6、本题满分 12分） 已知( 2 c os 2 3 si n , 1 ) , ( c os , )m x x n x y? ? ? ?，满足0mn? （ 1）将y表示为x的函数()fx，并求 的最小正周期； （ 2） （文） 当 3,0 ?x 时， axf ?)( 恒成立，求实数 a 的取值范围。 20、 （本题满分 12 分） 如图， ABC 中， 090?ACB ， 030?ABC ， 3?BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心 O 在边 BC 上，半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ，与 BC交于点 N ），将 ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 - 3 - （ 1
7、）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； （ 2）求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积 21、 （本题满分 14 分） （文） 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40元，若用 x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件 0.05x元，又该厂职工工资固定支出 12500元。 （ 1）把每件产品的成本费 P（ x）（元）表示成产品件数 x 的函数，并求每件产品的最低成本费； （ 2）如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价 Q（ x）与产品件数 x 有如下关系： ( ) 170 0.05Q x x
8、?，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润 =总销售额 -总的成本） 22 (本小题满分 18分 ) （文） 已知二次函数 ? ? ? ?2 1f x ax a x a? ? ? ?。 （ 1）函数 ?fx在 ? ?,1? 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）关于 x 的不等式 ? ? 2fxx ? 在 ? ?1,2x? 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）函数 ? ? ? ? ? ? 211axg x f x x? 在 ? ?2,3 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 23（本题满分 18分） （文） 设 3xxf ?)( ，等差数列 ?na 中 73?a ， 1232
9、1 ? aaa ，记nS = ? ?3 1?naf ， 令 nnn Sab ? ，数列 1nb的前 n项和为 nT . （ 1） 求 ?na 的通项公式和 nS ； （ 2） 求证： 31?nT； （ 3） 是否存在正整数 nm, ， 且 nm?1 ， 使得 nmTTT ,1 成等比数列？若存在，求出 nm, 的B M N C A O 第 20 题 - 4 - 值，若不存在，说明理由 . 答案 一、填空题（每小题 4 分，满分 56分） 1、 43 2、 )2,2( 3、 381.0 4、 1 5、 4? 6、 （文） i3? 7、nnb 81?8、 21? 9、 33? 10、 11、 （文
10、） ?6 12、 （文） 6 13、 （文） )25,310( ? 14、 （文） 1 二、选择题（每小题 5 分，满分 20分） 15、 A 16、 B 17、 C 18、 C 三、解答题 19、解 （ 1） 由0mn?得22 c os 2 3 si n c os 0x x x y? ? ? 3分 即22 c os 2 3 si n c os c os 2 3 si n 2 1 2 si n( 2 ) 16y x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?所以( ) si n( ) 16f x x ? ? ?，其最小正周期为 ? ? 6分 （文） （ 2） 65626,30 ? ?
11、xx? ,因此 )62sin( ?x 的最小值为 21 ，? 9分 由 )(xfa? 恒成立，得 2)( min ? xfa ， 所以实数 a 的取值范围是 )2,(? . ? 12分 20、 解（ 1）连接 OM ，则 ABOM? 2,1,30,3 0 ? ABACABCBC? ， ? 3分 设 rOM? ，则 rOB2? ，又 rOB ? 3 ，所以 33,32 ? rrr ， ? 6分 所以， .34r4 2 ? ?球表S? 8分 （ 2） .27 3534AC31 32 ? ? rBCVVV球圆锥? 12分 - 5 - 21、 （文） 解：（ 1） 12500( ) 4 0 0 .0
12、5P x xx? ? ? ? 3分 由基本不等式得 ( ) 2 1 2 5 0 0 0 . 0 5 4 0 9 0Px ? ? ? ? 当且仅当 12500 0.05xx ? ，即 500x? 时，等号成立 ? 6分 12500( ) 4 0 0 .0 5P x xx? ? ?，成本的最小值为 90 元 ? 7分 （ 2）设总利润为 y 元，则 125001301.0)()( 2 ? xxxxPxxQy ? 10 分 29750)650(1.0 2 ? x 当 650x? 时 , max 29750y ? ? 13分 答：生产 650 件产品时，总利润最高，最高总利润为 29750 元? ?
13、14分 22、（文）解： （ 1）当 0?a 时， xxf ?)( ，不合题意；? 1分 当 0?a 时， ?fx在 ? ?,1? 上不可能单调递增； ? 2分 当 0?a 时，图像对称轴为 aax 2 1? ， 由条件得 12 1 ? aa ，得 .1?a ? 4分 （ 2）设 1)1()()( ? axxaxxfxh ， ? 5分 当 2,1?x 时， 25,21? xx ， ? 7分 因为 不等式 ? ? 2fxx ? 在 ? ?1,2x? 上恒成立，所以 )(xh 在 2,1?x 时的最小值大于或等于 2， - 6 - 所以，? ? ? ? 2125 0a212 0 aaaa a 或
14、， ? 9分 解得 1?a 。 ? 10分 （ 3） axaxxg ? 1)( 2 在 ? ?2,3 上是增函数，设 32 21 ? xx ，则 )()( 21 xgxg ? ， axaxaxax ? 222121 11 ， 21 212121 )( xx xxxxxxa ? ，? 12分 因为 32 21 ? xx ，所以)( 1 2121 xxxxa ?， ? 14 分 而 )161,541()( 1 2121 ? xxxx， ? 16分 所以 .161?a ? 18 分 23、（文） 解 ：（ 1） 设数列 ?na 的公差为 d ，由 7213 ? daa , 1233 1321 ? d
15、aaaa .解得 11?a ， d =3 ， ? 2分 23 ? nan ? 4分 3xxf ?)( ， Sn= ? ?3 1?naf = 131 ? nan . ? 6分 （ 2） )13)(23( ? nnSab nnn )13 123 1(31)13)(23( 11 ? nnnnb n? 8分 31)13 11(31 ? nTn? 10 分 （ 3） 由 (2)知， 13 ? nnnT 13,411 ? mmTT m， 13 ? nnnT， nmTTT ,1 成等比数列 . - 7 - 1341)13( 2 ? nnmm ? 12分 即 nnmm 4312 ?6当 1?m 时， 7 nn
16、 43 ? ， n =1，不合题意；当 2?m 时 ， 413 nn 43 ? ， n =16，符合题意； 当 3?m 时， 919 nn 43 ? ， n 无正整数解；当 4?m 时， 1625 nn 43 ? ， n 无正整数解； 当 5?m 时， 2531 nn 43 ? ， n 无正整数解；当 6?m 时， 3637 nn 43 ? ， n 无正整数解； ? 15分 当 7?m 时， 010)3(16 22 ? mmm ，则 1162 ?mm，而 34343 ? nnn ， 所以，此时不存在 正整数 m,n,且 1mn,使得 nmTTT ,1 成等比数列 . ? 17 分 综上，存在 正整数 m=2,n=16,且 1mn,使得 nmTTT ,1 成等比数列 . ? 18 分 来 另解 ： （ 3） 由 (2)知， 13 ? nnnT 13,411 ? mmTT m， 13 ? nnnT nmTTT ,1 成等比数列 . 2 1()3 1 4 3 1mn?， ? 12分 取倒数再化简得 nnmm 4312 ?6当 2?m 时， 413 nn 43 ? ， n =16，符合题意； ? 14分 2221 1 6 1 6 1 1 1 93 , 0 , 3 9 339mm m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
