1、 - 1 - 2018高考高三数学 1 月月考试题 03 满分 150分，考试时间 120 分钟 . 第 卷 （选择题 共 50分） 一 . 选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 . 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的 . 1已知全集 UR? ，集合 ? ?3A x x?， ? ?20B x x? ? ? ，则 UA CB 等于 （ ） A ( ,3? B ( ,3)? C 2,3) D (3,2? 2. 双曲线 2 2 14x y?的渐近线方程为（ ） A 2yx? B 4yx? C 12yx? D 14yx? 3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 80 k
2、m/h 的汽车视为 “ 超速 ” ，并将受到处罚 如图是某路段的一个检测点对 200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ） A 20辆 B 40辆 C 60 辆 D 80辆 4. “ abee? ” 是 22log logab? ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.函数 ( ) sin ( )f x x x x? ? ? R（ ） A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数 C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数 6. 若不等式组 ,0,1yxyx?表示的平面区域为 M ，不
3、等式 2yx? 表示的平面区域为 N ， 现随机向区域 M 内 投掷 一粒豆子，则豆子落在区域 N 内的概率为（ ） A 16 B 13 C 12 D. 23 7 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假- 2 - 开始 i = 0 输入正整数 n n为奇数 ? n = 3n+1 n = n/2 i = i + 1 n = 1? 输出 i 结束 是否是否2俯视图侧视图正视图A B定甲每局比赛获胜的概率均为 23，则甲以 31 的比分获胜的概率为 A. 827 B. 6481 C. 49 D. 89 8. 在右侧程序框图中，输入 5n? ，按程序运行后输出的
4、结果是（ ） A 3 B 4 C 5 D.6 9若函数 3( ) 3f x x x?在 2( ,6 )aa? 上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A ( 5,1)? B 5,1)? C ? ?2,1? D (2,1)? 10. ABC? 中， 2, 45BC A?， B 为锐角，点 O是 ABC? 外接圆的圆心，则 OABC? 的取值范围是（ ） A. ( 2,2 2? B. ( 2 2,2? C. 2 2,2 2? D. ( 2,2)? 第 卷 （非选择题 共 100 分） 二 填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，满分 20分。 11若 2()ai? 为纯虚数（ i 为虚数单位）
5、，则实数 a = . 12已知 3sin( ) ,25 x?则 cos2x . 13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图 是 半圆 。现有一只蚂蚁从点 A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为 _ - 3 - 14在含有 3件次品的 10件产品中，取出 *( 10, )n n n N?件产品， 记 n? 表示取出的次品数，算得如下一组期望值 nE? ： 当 n=1时， 0 1 1 03 7 3 71 111 0 1 0 301 10C C C CE CC? ? ? ? ? ?; 当 n=2时， 0 2 1 1 2 03 7 3 7 3 72 2
6、 2 21 0 1 0 1 0 60 1 2 10C C C C C CE C C C? ? ? ? ? ? ? ?; 当 n=3时， 0 3 1 2 2 1 3 03 7 3 7 3 7 3 73 3 3 3 31 0 1 0 1 0 1 0 90 1 2 3 10C C C C C C C CE C C C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; ? 观察以上结果，可以推测： 若 在含有 M 件次品的 N 件产品中，取出 *( , )n n N n N?件产品，记 n 表示取出的次品数， 则 nE = 15某同学在研究函数 22( ) 1 6 1 0f x x x x? ? ? ? ?
7、的性质时，受到两点间距离公式的启发，将 )(xf 变形为 2222 )10()3()10()0()( ? xxxf ，则 )(xf 表示| PBPA ? （如图），下列关于函数 )(xf 的描述正确的是 （填上所有正确结论的序号） )(xf 的图象是中心对称图形； )(xf 的图象是轴对称图形； 函数 )(xf 的值域为 13, )? ； 方程 ( ) 1 10f f x ? 有两个解 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16.（ 本小题满分 13分） 已知函数 33( ) s in c o s22f x x x?（ 0? ）的周期为 4
8、。 （ ）求 ()fx 的解析式； （ ）将 ()fx的图象沿 x 轴向右平移 23 个单位得到函数 ()gx的图象， P 、 Q 分别为函数 ()gx图象的最高点和最低点（如图），求 OQP? 的大小。 17（本小题满分 13分） xyOB (3 ,-1 )PA (0 ,1 )xyPQO- 4 - ODACBPQ如图， PA,QC都与正方形 ABCD所在平面垂直， AB=PA=2QC=2， ACBD=O （ ）求证： OP 平面 QBD; （ ）求二面角 P-BQ-D平面角的余弦值； （ ）过点 C与平面 PBQ平行的平面交 PD于点 E，求 PEED 的值 . 18（本小题满分 13分）
9、某城市 2002 年有人口 200 万，该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口 10万，医疗费用投入每年新增 x 亿元。已知 2012年该城市医疗费用人均投入 1000元。 （ ）求 x 的值； （ ）预计该城市从 2013 年起，每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度，要求将来 10年医疗费用 总投入 达到 690亿元，若医疗费用人均投入每年新增 y 元，求 y 的值。 （参考数据： 111.1 2.85? ） 19. （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) lnf x x a x? 在 1x? 处的切线 l 与直线 20xy?垂直，函数21( ) ( ) 2g x
10、f x x bx? ? ? （ ）求实数 a 的值； （ ）若函数 ()gx存在单调递减区间，求实数 b的取值范围； （ ） 设 1 2 1 2, ( )x x x x? 是函数 ()gx的两个极值点，若 72b? ，求 12( ) ( )g x g x? 的最大值 20. （本小题满分 14 分） - 5 - xyCOBD已知椭圆 2 21 :12xCy?. （ ）我们知道圆具有性质： 若 E 为圆 O： 2 2 2 ( 0)x y r r? ? ?的弦 AB 的中点， 则 直线AB的斜率 ABk 与直线 OE的斜率 OEk 的乘积 AB OEkk? 为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆 1C
11、 的类似性质，并加以证明； （ ） 如图（ 1）， 点 B 为 1C 在第一象限中的任意一点，过 B 作 1C 的切线 l ， l 分别与 x轴和 y轴的正半轴交于 C， D两点，求三角形 OCD面积的最小值； （ ） 如图（ 2）， 过椭圆 222 :182xyC ?上任意一点 P 作 1C 的两条切线 PM和 PN，切点分别为 M， N.当点 P在椭圆 2C 上运动时，是否存在 定圆恒与直线 MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在， 请 说明理由 . 图（ 1） 图（ 2） 21.本题设有（ 1）（ 2）（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分 .如果多做
12、，则按所做的前两题计分 . （ 1）（本小题满分 7分）选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ?A ?3211 ， 1223B ?. （ ）求矩阵 A的逆矩阵 1?A ； （ ）求直线 01?yx 在矩阵 1AB? 对应的线性变换作用下所得曲线的方程 . （ 2）（本小题满分 7分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程是 2 2cos ,2sinx y ? ?（ ? 为参数） . （ ）将 C1 的方程化为普通方程； yxM NOP- 6 - yxA 1OB D CAyxQMBAO P（ ）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 设曲
13、线 C2 的极坐标方程是()3 R?， 求曲线 C1 与 C2 交点的 极坐标 . （ 3）（本小题满分 7分）选修 4-5：不等式选讲 已知正数 x ， y ， z 满足 6222 ? zyx （ ）求 zyx ?2 的最大值； （ ）若不等式 zyxaa ? 221 对满足条件的 x ， y ， z 恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一选择题； BCABD BACCA 10.分析 1： BC=2， 045A? ，所以 22sinaRRA? ? ?，如图建系， ( 1,0), (1,0)BC? (0,1)O ，求得圆 O： 22( 1) 2xy?，设 ( , )Ax y ，则 OA
14、BC? 分析 2： | | | | c o s , 4 c o s ,O A B C O A B C O A B C O A B C? ? ? ? ? ? ? ? 3 ：2211( ) ( ) ( ) ( )22O A B C O D D A B C D A B C A C A B A C A B c b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又02sin sin sin 45bcBC?， 所以2 2 2 211( ) ( 2 2 s i n ) ( 2 2 s i n ) 22c b C B? ? ?= 2 2 2 21 ( ) 4 ( s in s in ) .2 c b C
15、B? ? ? ? 二填空题： 11. 1? 12. 725? 13. 26? (或 2 2 3? ) 14. mnN 15 15.分析：如图设 12( ,0), ( ,0)P x Q x ，当 P， Q 关于 3( ,0)2 对称时，即 12322xx? ? - 7 - 12( ) ( )f x f x? ,所以 f(x)关于 32x? 对称 . 设 ()f x t? ，则 ( ) 1 10ft? ，观察出 1 0t? ，则 2 3t? ，由 知无解 . 三解答题： 16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，
16、考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力 满分 13 分 解： （ 1） 33( ) s in c o s22f x x x? 133 ( sin c o s )22xx? -1分 3 (s in c o s c o s s in )33xx?3 sin( )3x? -3 分 2= 4 , = =42o? ?因 为 ， 所 以 -5分 ( ) 3 sin ( )23f x x?所 以 -6分 （ 2）将 ()fx的图像沿 x 轴向右平移 23 个单位得到函数 ( ) 3 sin 2g x x? -7分 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点， 所以( 1 , 3 ) , ( 3 , 3 )PQ? -9分 所以2, 4,OP PQ?-10 分 2 2 2 31 2 , c o s 22O Q P Q O POQ O Q Q P? ? ? ? ?-12 分 - 8 - 所以6? -13 分 法 2： 6 0 , 6
