1、 2021 年高考全国名校 9 月数学（理）模拟好题集锦：不等式 一、单选题 1（2020 上海高三专题练习） 已知a、b、 c满足c ba且0ac ， 则下列选项中不一定能成立的是 （ ） Aabac B0c ba C 22 cbca D0ac ac 【答案】C 【解析】cbaQ且0ac ，0a，0c 且b的符号不确定. 对于 A选项，bc，0a ，由不等式的基本性质可得abac，A 选项中的不等式一定能成立； 对于 B选项，ab，则0ba，又0c ，0c ba，B 选项中的不等式一定能成立； 对于 C 选项，取0b ，则 22 ba，0c ， 22 cbca；取3c ，1b ，2a ，则
2、22 cbca， C选项中的不等式不一定成立； 对于 D选项，0a ，0c ，则0ac ，0ac，0ac ac，D 选项中的不等式一定能成立. 故选：C 2 （2020 全国高三其他（理） ）若, a bR，0ab ，21ab，则14abab的最大值为（ ） A 1 4 B 15 16 C1 D17 16 【答案】D 【解析】解：0ab ，21ab， 0a ，0b ， 14abab 1 41 41 4 abab 2 1117 1 4216 ， 当且仅当 21 1 64 ab ab 时，取“=”， 故选：D 3 （2020 江西东湖南昌十中高三其他（理） ）不等式 2 210axx 的解集非空的
3、一个必要而不充分条件 是（ ） A1a B1a C01a D0a 【答案】B 【解析】 因为 2 210axx 的解集非空,显然0a 成立，由 0 ,01 440 a a a ,综上， 2 210axx 的 解集非空的充要条件为1a . |1 |1a aa a ，所以选 B 4 （2020 黑龙江道里哈尔滨三中高三其他（理） ）若实数, a b满足 12 2lglglgab ab ，则ab的最小 值为（ ） A 2 B2 2 C3lg2 Dlg2 【答案】B 【解析】由题意可知0,0ab， 因为 12 2lglglgab ab ，所以 12 ab ab 所以 121 2 2ab aba b ，
4、所以2 2ab ，当且仅当 12 12 ab ab ab ，即 5 4 22ba 时，取等号. 故选：B. 5 （2020 全国高三其他（理） ）已知a，b均为正实数，且 22 4aba b ，则 11 ab 的最小值为（ ） A3 B2 3 C9 D12 【答案】B 【解析】法一 22 4aba b 22222 1111444 ()()()16 ab a b abababababab ， 令xab，设 2 4 16f xx x ，则 3 22 4324 320 x fxxx xx ， 令 0fx ，解得 1 2 x ；令 0fx ，解得 1 0 2 x 所以当 1 2 x 时， f x取得最
5、小值， 为 12， 即当 31 2 a ， 31 2 b 时，1 1 ab 取最小值， 为2 3， 法二 22 4aba b 222 111144 ()()() ab ababababab 22 4 16a b ab 2222 3 2222 16+3 16=12a ba b abababab 当且仅当 22 22 2 16= 4 a b ab aba b 即当 31 2 a ， 31 2 b 时， 11 ab 取最小值，为2 3， 故选：B 6 （2020 全国高三课时练习（理） ）关于 x 的不等式 22 280(0)xaxaa的解集为 12 ( ,)x x，且： 21 15xx，则 a=（
6、 ） A 5 2 B 7 2 C15 4 D15 2 【答案】A 【解析】因为关于 x 的不等式 22 280(0)xaxaa的解集为 12 ( ,)x x， 所以 2 1212 2 ,8xxa x xa ，又 21 15xx， 所以 2222 212121 ()()43615xxxxx xa， 解得 5 2 a ，因为0a ，所以 5 2 a . 故选：A. 7 （2020 贵州六盘水高三其他（理） ）已知0 x ，0y ，且4x yxy，则xy的最小值为 A8 B9 C12 D16 【答案】B 【解析由题意可得： 41 1 yx ，则： 4144 5529 xyxy xyxy yxyxyx
7、 ， 当且仅当 3,6xy 时等号成立， 综上可得：则x y 的最小值为 9. 本题选择 B 选项. 8 （2020 全国高三其他（理） ）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于A， B两点，则AFBF的最小值为（ ） A10 B6 C2 2 D3 【答案】C 【解析】点F的坐标为1,0，设点A，B的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，直线AB的方程为 1xmymR，联立方程 2 4 , 1, yx xmy 消去x后整理为 2 440ymy，所以 12 4yym， 12 4y y ， 2 1212 242xxm yym， 22 12 12 16 1 161
8、6 y y x x ， 1 =1AFx ， 2 =+1BFx，则 2 =AFBF 2 1212121212 112211222xxxxxxxxxx 由 1212 22xxx x（当且仅当 12 1xx时取等号） ，所以 2 2+2+2 228AFBF，可得 AFBF的最小值为2 2 故选：C 9 （2020 吉林高三其他（理） ）若 24 loglog1xy，则 2 xy的最小值为（ ） A2 B2 3 C4 D2 2 【答案】C 【解析】因为 22 24444 logloglogloglog1xyxyx y， 所以 2 4(0,0)x yxy， 则 22 24xyx y ，当且仅当 2 2x
9、y时，等号成立， 故 2 xy的最小值为 4. 故选：C 10 （2020 六盘山高级中学高三期末（理） ）若 42 log (34 )logabab，则ab的最小值是（ ） A62 3 B7 2 3 C6 4 3 D7 4 3 【答案】D 【解析】由题, 42 log34log34abab， 所以 34abab ,即34ab ab， 所以 34 1 ba ， 因为340ab，0ab ，所以0a ,0b ， 所以 3434 4372 1274 3 ab ab baba ， 当且仅当 34ab ba 时等号成立， 所以ab的最小值为74 3. 故选：D 11 （2020 河南高三期末（理） ）设
10、, ,a b c为任意正数则 111 ,abc bca 这三个数（ ） A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 【答案】C 【解析】假设三个数均小于 2，即 111 2,2,2abc bca ，故 111 6abc abc ， 而 111111 2226abcabc abcabc ， 当1abc时等号成立，这与 111 6abc abc 矛盾， 故假设不成立，故至少有一个不小于 2，C正确； 取2abc，计算排除 BD；取1abc，计算排除 A. 故选：C. 12 （2020 湖南雨花雅礼中学高三其他（理） ）已知四边形ABCD是边长为 1的正方形，P 为对
11、角线AC上 一点，则PAPBPD的最小值是（ ） A0 B 1 4 C 1 2 D2 【答案】B 【解析】作出图形如下图所示， 2 + 222 2 PAPO PAPBPDPAPOPAPO ，而此时 2 + 2 PAPO ，所以 2 + 1 2 24 PAPO PAPBPD ，当且仅当PAPO时取等号，所以 PAPBPD的最小值是 1 4 ， 故选：B. 13 （2020 安徽高三三模（理） ）已知ABC三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+b2ccosB， 则 2 bc ab 的最小值为（ ） A2 2 B3 C2 3 D4 【答案】B 【解析】由余弦定理得 222 2 co
12、s2 2 acb abcBc ac ， 2 1 ca bb ， 2 1213 babbc bb a abaa ，当且仅当 ba ab 即ab时等号成立， 所以 2 bc ab 的最小值为 3 故选：B 14 （2020 广州大学附属中学高三月考 （理） ） 已知实数0 x ,0y ， 则“2 24 xy ”是“1xy ”的 （ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 222 2 xyx y 且224 xy ， 2 24222 x yx y xy ， 等号成立的条件是x y ， 又2xyxy ，0,0 xy 221xyxy ， 等号成立的
13、条件是x y , 2241 xy xy， 反过来，当 1 2, 3 xy时，此时1xy ，但2 24 xy ，不成立， “2 24 xy ”是“1xy ”的充分不必要条件. 故选:C 15 （2020 四川资阳高三其他（理） ）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知 sin9sin12sinaABA， 1 sin 3 C ，则ABC的面积的最大值为（ ） A1 B 1 2 C 4 3 D 2 3 【答案】D 【解析】因为(sin9sin)12sinaABA， 所以912a aba，又0a ，所以9122 9abab， 则4ab ，所以ABC的面积的最大值为 112 4 233 . 故
14、选：D 16 （2020 上海高三专题练习） 若1ab，lglgPab， 1 (lglg ) 2 Qab，lg() 2 ab R ， 则 （ ） AR PQ BPQR CQPR DPRQ 【答案】B 【解析】由于函数lgyx在(0,)上是增函数 1ab，则lglg0ab 由基本不等式可得 11 lglg(lglg )lg()lglg 222 ab PababababR 因此，PQR 故选：B 17 （2020 黑龙江工农鹤岗一中高三期末（理） ）在ABC中，E为AC上一点， 3ACAE ，P为BE上 任一点，若(0,0)APmABnAC mn，则 31 mn 的最小值是 A9 B10 C11
15、D12 【答案】D 【解析】由题意可知： 3APmABnACmABnAE ， , ,A B E三点共线，则：31mn，据此有： 313199 366212 nmnm mn mnmnmnmn ， 当且仅当 11 , 26 mn时等号成立. 综上可得： 31 mn 的最小值是 12. 本题选择 D选项. 18（2020 西夏宁夏大学附属中学高三其他 （理） ） 已知实数a，b ，c满足 lg2 2a ， 2 logba，sincb， 则a，b，c的大小关系是（ ） Aab c Bbca Cacb Dbac 【答案】A 【解析】1210,0lg21 ， 2 22 loglog 220,1 lg ba
16、lg， 20 221 lg ab ， 0,x时，sinxx，sinbb ,即bc, abc， 故选：A. 19 （2020 重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理） ）已知向量(3,1)OA ，( 1,3)OB ， (0,0)OCmOAnOB mn，若 ,21mn，则OC的取值范围是（ ） A 5,2 5 B 5,2 10) C( 5, 10) D 5,2 10 【答案】A 【解析】(3,3 )OCmn mn ,所以 2222 |(3)(3 )10()10, ( , )OCmnmnmnOP P m n 为可行域 12 ,0 mn m n 内一点,可 行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC
17、AD)及其内部(1,0),(0,1),(0,2),(2,0)ABCD,所以 2 ,2 2 O AB OPdOPOD ,从而 2 10, 102) 5,2 10). 2 OC 选 B. 20 （2020 河北高三期末（理） ）已知函数 ( )f x的定义域为R，( )fx 为 ( )f x的导函数，且 ( )( )2 x fxf xxe，若 (0)1f，则函数 ( ) ( ) fx f x 的取值范围为（ ） A 1,0 B 2,0 C0,1 D0,2 【答案】B 【解析】：由 2 x fxf xxe， 得 2 xx e fxe f xx， 2 x e f xx ， 设 2x e f xxc（c
18、为常数） ， 01f， 1c ， 2 1 x x f x e ， 2 2 2 21 (1) xx xx xexe x fx ee ， 2 22 (1)2 1 11 fxxx f xxx ， 当 x=0 时， 1 fx f x ； 当0 x 时， 2 1 1 fx f x x x ， 故当0 x 时， 1 2x x ，当1x 时等号成立，此时 2 110 1 x x ； 当0 x 时， 1 2x x ，当1x 时等号成立，此时 2 211 1 x x 综上可得 2 210 1 x x ， 即函数 fx f x 的取值范围为2,0 故选 B 二、填空题 21（2020 浙江海曙效实中学高三其他）
19、已知 , x yR，,1,a b， 若 2 xy ab ， 4ab ， 则 21 xy 的最大值为_. 【答案】4 【解析】因为,1,a b，若2 xy ab ， 所以log 2,log 2 ab xy， 所以 22 11 log,logab xy ， 所以 2 2 22222 21 2loglogloglog2logaba ba ba b xy ； 又4ab，所以4 2aba b ，所以4a b，当且仅当24ba时等号成立. 所以 222 21 2loglog2log4aba b xy ，当且仅当24ba时等号成立. 故答案为：4. 22 （2020 江苏常熟高三三模）已知正实数a，b满足
20、1 1a b ，且 2 1 27btt a 恒成立，则实数t的取 值范围为_. 【答案】 1 ,4 2 【解析】因为 2 1 27btt a 恒成立， 所以 2 min 1 27ttb a ， 而正实数a，b满足 1 1a b ， 所以 111 24baab abab ， 当且仅当1ab ，即 1 ,2 2 ab时，等号成立， 所以 2 274tt，解得 1 4 2 t . 故答案为： 1 ,4 2 23 （2020 雅安市教育科学研究所高三一模（理） ）某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将 水果运出销售.现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4
21、 次，乙型车每次最多 能运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元.若需要一天内把 180 吨水果 运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为_元. 【答案】2560 【解析】设安排甲型车x辆，乙型车y辆，由题意有 4 63 10180, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 即 4530, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 ， 目标函数320504zxy， 作出不等式组 4530, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 所表示的平面区域为四点2.5,4，8,4，8,0， 7.5,0
22、围成的梯形及其内部，如下图所示： 包含的整点有8,0，7,1，8,1，5,2，6,2，7,2，8,2，4,3，5,3， 6,3，7,3，8,3，3,4，4,4，5,4，6,4，7,4，8,4. 作直线3205040 xy并平移，分析可得当直线过点8,0时z最小，即 min 8 3202560z （元）. 故答案为：2560. 24 （2020 江苏高三其他）已知0 x ，0y ，则 16y x xxy 的最小值为_. 【答案】4 2 【解析】由0 x ，0y ， 2 16162488 24 2 yyyyy xxxxx xxyxyxyxyxy ， 当且仅当 2 2x ，4y 时取等号， 故答案为
23、：4 2 25 （2020 江苏苏州高三二模）设周期函数 f x是定义在R上的奇函数，若 f x的最小正周期为 3，且 满足 12f ， 3 2fm m ，则m的取值范围是_. 【答案】, 10,3 【解析】由题意 12f ，函数是奇函数， 故有12f 又周期函数 f x是定义在R上的奇函数，若 f x的最小正周期为 3， 故 212ff 3 2fm m 3 2m m 当0m 时，解得03m 当0m时，解得1m 所以m的取值范围是, 10,3 . 26 （2020 天津河西高三二模）已知x，y为正实数，且 2441xyxy，则xy的最小值为 _. 【答案】8 【解析】解： x，y为正实数，且2
24、441xyxy ，可知4x ， 241 4 x y x ， 2414949 462468 444 x xyxxx xxx . 当且仅当3x 时取等号. xy的最小值为8. 故答案为：8. 27 （2020 安徽界首高三期末（理） ）已知正数a、b满足 11 1 ab ，则 4 11 ab ab 的最小值为_. 【答案】9 【解析】 11 1 ab ， 111 1 a baa ， 1 a b a ， 1 b a b ，0a 且0b ，1a且1b . 4144444 4152159 111111 bab bbbb abbbbb ，当且仅当 4 1 1 b b ，即当3b 时，等号成立. 因此， 4
25、 11 ab ab 的最小值为9. 故答案为：9. 28 （2020 河南高三月考（理） ）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中 点， 若1CD ， 且 1 s i ns i ns i n 2 abAc bCB ， 则当ab取最大值时ABC的周长为_ 【答案】 4 102 15 5 【解析】如图，设CDA，则CDB 在CDA和CDB中，分别由余弦定理可得 2 2 1 4 cos c b c ， 2 2 1 4 cos c a c ， 又cos()cos 所以 2 22 20 2 c ab， 所以 222 24cab， 由 1 sinsinsin 2 abAcbCB 及
26、正弦定理得 1 2 ab acbcb ， 整理得 222 2 ab abc， 由余弦定理的推论可得 222 1 cos 24 abc C ab ，所以 15 sin 4 C 把代入整理得 22 4 2 ab ab， 又 22 2abab，当且仅当ab时等号成立， 所以 5 42 22 abab ab， 所以 8 5 ab ，即 2 10 5 ab时等号成立 此时 2 8812 24 555 c ，即 2 15 5 c ， 所以当ab取最大值时ABC的周长为 4 102 15 5 故答案为： 4 102 15 5 29 （2020 江西高三月考（理） ）已知正数a、b满足 2 22ababe ，
27、 ln1 2 b ta ，则t的最大 值为_. 【答案】 e 【解析】 2 22ababe ， 2 22ababe ，则 2 21abe， 2 2 ln2ln1 ln21 ln1 2ln2 ln1 4 2 ab ab b ab taeeee ， 当且仅当 2 2 21abe 时，等号成立， 因此，t的最大值为 e. 故答案为：e. 30 （2020 大连第一中学分校高三月考（理） ）设a、b，c为锐角ABC内角 , ,A B C的对边，且满足 coscos2 3sin 3 ABC aba ，若4b 时，则ABC面积的最大值为_. 【答案】4 3 【解析】由 coscos2 3sin 3 ABC aba ， 根据正弦定理可得， 2 3 sincossincossinsin 3 BAABBC， 即 2 3 sin()sinsin 3 ABBC ， 2 3 sinsinsin 3 CBC ， 3 sin 2 B 在ABC内，可知 3 B 或 2 3 ，因为锐角ABC，可知 3 B 利用余弦定理可得， 22222 2cos2bacacBacacacac ac ，可知16ac ，则ABC的 面积 113 sin164 3 222 SacB ，当且仅当ac时，取等号， 所以ABC面积的最大值为4 3. 故答案为：4 3
