1、原创导数压轴题官方解析 22 （本小题满分 15 分）已知函数 2 ( )ln a f xx x ，其中aR且0a ()若函数( )f x有两个极值点 1212 ,()x x xx，证明： 2 12 12 12 ()() e ()2e0 f xf x xx xx ； ()若不等式( )2 x f xa a 对任意 1 , e x 恒成立，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 () 22 2ln2 ln ( ) axxxa fx xxx ，记( )2 lng xxxa，由题意 12 ,x x是( )g x的两个零点 ( )2ln2g xx，即( )g x在0,内单调递增 注意到
2、1 0 e g ，所以( )g x在 1 0, e 内单调递减，在 1 , e 内单调递增，所以 1 1 0 e x， 2 1 e x 先证明 12 2 e xx： 构造函数 2 ( )( ) e h xf xfx ，其中 2 0, e x ，则 2 2 222 11 ( )( )2ln42ln40 eee ee h xfxfxxx 所以( )h x在 2 0, e 内单调递减，结合 1 0 e h 知( )0h x 在 1 0, e 内恒成立 取 1 xx，得 11 2 () e f xfx ，又 12 ()()f xf x，于是 21 2 () e f xfx 又( )f x在 1 , e
3、 内单调递增，且 21 21 , ee xx ，所以 21 2 e xx，即 12 2 e xx 再证明 12 2ex xa： 构造函数 1 2 e ( )ln1 1 e x I xx x ， 2 22 111 22 1eee ( )0 11 ee xxx I x x xx x 注意到 1 0 e I ，所以 1 2 1e ln1, 1 e e 1 2 1e ln1,0 1 e e x xx x x xx x ，故 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 e ln1 1 2 e 1 2 e ln1 1 2 e x a x x x x a x x x 化简得 1 1 2 2 3 0 2e2e 3
4、 0 2e2e aa x x aa x x ，两式相减，有 12 12 2e2e aa xx xx ，即 12 2ex xa 所以 22 2221 2212 1212222 1212 121212 121212 () lnln 44()() e ()2e =e ()2e =e ()2e a xxaaaa xx x xxxf xf xxx xxxxxx xxxxxx 2 2 12 12 22 1212 () e ()2e 4 axxa xx x xx x ，不妨记 22 12 12 22 1212 1 ( )e ()2e 4 xx aaaxx x xx x ，则其为开口向上的抛物线 又( )a的
5、对称轴为 1212 1212 12 22 e2e 2 e x xx x xx xx xa xx ，所以 22 121212 ( )(2e)e ()2ee ()2e = 0ax xxxxx，得证 ()原式即为 2 ln20 ax xa xa 对任意 1 , e x 恒成立 取 1 e x ，得 1 (e2)10 e a a ，显然0a ，取1x ，得 1 0a a ，结合左式知0,1a，下证其充分性 令 2 1 ( )2ln x aax xa ，则 2 2 2 22 2 11 (1)2ln, 2 111 ( )(1)2ln,1 e2 1 2 11 2 1 2ln,1 1 2e2 1 2 xx x
6、 x x axxx xx xx xxx xx 记 2 ( ) 1 2 x w x x ，其中 1 0 2 x， 2 22 2 (1 2 )22 (1) ( )0 (1 2 )(1 2 ) xxxxx w x xx ，故( )w x在 1 0, 2 内单调递增 注意到 211w，则 2 2 2 1 (1)2ln,21 ( ) 1 2 1 2ln,21 1 2e xx x x a x xxx x 先证明 2 1 ( )2ln0p xxx x 对任意21x 恒成立： 2 22 12ln2 ln1 ( )1 xxxx p x xxx ，令 2 ( )2 ln1q xxxx，( )22ln2q xxx，
7、 2 ( )2qx x 由于( )qx在 21,内单调递增，结合(1)0q可知( )q x在 21,1内单调递减，在1,内单调递增 又 min ( )(1)0q xq，所以( )0q x 在 21,恒成立，即( )q x在 21,内单调递增 注意到(1)0q，故( )p x在 21,1内单调递减，在1,内单调递增 于是 min ( )(1)0p xp，即( )0p x 对任意21x 恒成立 再证明 2 ( )2 1 2ln0m xxx对任意 1 21 e x恒成立： 原式即证 2 2 1 2lnxx，即证 4 48lnxx，即证 4 ( )ln840n xxx 33 4ln4ln8 ( )8 xxx n x xx ， 令 3 ( )4ln8v xxx， 则( )v x单调递增， 且 18 40 e v e ， 3 1 214ln8218 2120 e v 所以( )v x在 1 ,21 e 内存在唯一零点 0 x，则( )n x在 0 1 , e x 内单调递减，在 0, 21x内单调递增，故 max 1 ( )max,21 e n xnn 又 18 30 ee n ， 21210pm，则有 210n，即( )0m x 对任意 1 21 e x恒成立 综上其充分性成立，故0,1a即为所求取值范围
