1、华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如y = ax2 + bx + c （ a, b, c是常数，a丰0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 乂0，而b ,c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。2、二次函数y = ax2 + bx + c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y = ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向
2、顶点坐标对称轴性质a 0向上（0, 0）y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x = 0时，y有最小值0。a 0时，y随x的增大而减小；x 0向上（0, c）y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x = 0时，y有最小值c。a 0时，y随x的增大而减小；x 0向上(h, 0)X=hx h时，y随x的增大而增大； x h时，y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值0。a h时，y随x的增大而减小； x 0向上(h, k)X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x = h时，y有最小值k。a h时，y随x的增大而减
3、小；x 0)【或左(h0)【或向下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h 0时，抛物线开口向上，对称轴为x =b2a顶点坐标为（一2，込竺、2a4a7当x -2时，y随x的增大而减小；当x-2时，y随x的增大而增大；当x = -2时，y有最小值 2a2a2a4ac - b24a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x =b2a顶点坐标为（-2,二竺、2a4ab当x 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种 形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y = ax2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a丰0。
4、当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a 0的前提下，当b 0时，-工 0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b = 0时，丄=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0，即抛物线对称轴在y轴的右侧。2a 在a 0时，-2 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b = 0时，丄=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，-2 0，在y轴的右侧则ab 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ；当c 0时，图象与x轴交于两点A(x，0)，B(x，0)
5、(x丰x )，其中的x，x是一元二次方程1 2 1 2 1 2ax 2 + bx + c = 0 (a丰0)的两根。这两点间的距离AB = |x - x |=气甲竺.2 1|a| 当 = 0时，图象与x轴只有一个交点； 当 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：/ y=2(x-4)2y=2 x2+2-,y=2 x2-4y=2 x2y=3(x+4)2A 0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根 = 0抛物线与x
6、轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根A 0抛物线与x轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.二次函数图像参考：十一、函数的应用刹车距离二次函数应用 何时获得最大利润最大面积是多少第二十七章：圆一、知识回顾圆的周长：C=2nr或。=小、圆的面积：S=nr2圆环面积计算方法：S=nR2-nr2或S=n（R2（2）（R是大圆半径，r是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的
7、概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点0为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做 圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二、点与圆的位置关系1、点在圆内=d rn点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 n d r
8、n 无交点；2、直线与圆相切 n d二r n 有一个交点;3、直线与圆相交 n d R + r；n R r d R + r ； n d = R r ； n d Rr ；外切（图2）= 有一个交点 =d二R + r ；相交（图3）=有两个交点 内切（图4）=有一个交点 内含（图5）= 无交点五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中
9、共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论即：更多资料请关注公众号【班班通教学平台】涵盖初一到初三的全科复习资料 AB 是直径AB丄CD CE = DE弧BC二弧BD弧AC二弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在0 O 中，AB CD.弧 AC =弧 BD六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。OAD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论 即：ZAOB 二 ZDOE ， AB = DE ；
10、OC二OF 弧BA二弧BD七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： ZAOB和ZACB是弧AB所对的圆心角和圆周角. ZAOB 二 2ZACB2、圆周角定理的推论：CA推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在0 O中， ZC、ZD都是所对的圆周角ZC二ZD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦 是直径。即：在0 O中， AB是直径或 ZC二90。ZC二90。AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
11、是直角三角形。 即：在 ABC 中， OC = OA = OB ABC是直角三角形或ZC二90。注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的半的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。线；M A N即:在0 O中，四边形 ABCD 是内接四边形 ZC +Z BAD 二 180。 ZB +Z D 二 180。ZDAE 二 ZC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN丄OA且MN过半径OA外端 MN是0 O的切线（2）性质定
12、理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。A十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA、PB是的两条切线. PA 二 PBPO平分ZBPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在0 O中，弦AB、CD相交于点P , PA - PB 二 PC - PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的
13、一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。即：在0 O中， 直径AB丄CD ,. CE 2 = AE - BEBCDPDA（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在0 O中， PA是切线，PB是割线 PA2 = PC - PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的 交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在0 O中， PB、PE是割线. PC - PB 二 PD - PEEOCB十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：OO垂直平分AB。12即：0 q、0 O2
14、相交于A、B两点.O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：Rtaoo c中，ab2 = co2 二 Joo2co2 ；1 2 112 2（2）外公切线长： CO 是半径之差； 内公切线长： CO 是半径之和22十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在0 O中厶ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行:13OD : BD : OB 二 1:朽:2；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtAOAE中进行，OE: AE: OA = 1:1:迈：3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtAOAB中进行，AB :OB :OA = 1:J3:2.十五、扇形、圆柱和
15、圆锥的相关计算公式,n兀R1、扇形：（1）弧长公式：l =180c n兀 R 2扇形面积公式：S二顽n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积l2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图S 二 S + 2 S = 2兀 rh + 2兀 r 2表 侧 底B圆柱的体积：V =n r2h2）A 圆锥侧面展开图S 二 S + S 二兀 Rr + 兀 r2表 侧 底B圆锥的体积：V = 3一兀 r 2hAB第二十八章 样本与总体重点、难点：1. 重点：(1)了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的方式； 了解总体、个体、样本等概念，能够指出研究对象的总体、个体与样本；
16、学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，用样本估计总体; 通过整理和分析数据，准确地作出决策。2. 难点：1正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本看总体 能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。3. 知识梳理：知识点内容关注注意事项总体、个体、 样本、样本容量总体是考察对象的主体，个体是组成 总体的每一个对象，样本是总体中的一部 分个体，样本容量是样本包含的个体数量样本容量是一个 样本中个体的数量普查与抽样调查普查是对所有对象进行调查，抽样调 查是对部分对象进行调查普查与抽样调查的范围不同简单的 随机抽样使样本具有代表性，不
17、偏向总体中的 某些个体，对每个个体都公平的方法，就 是用抽签的方法决定个体进入样本简单的随机抽样 对总体中每个个体来 说，被抽到的机会是 均等的随机性在抽样前，不能预测哪些个体会被抽 中，这种不能事先预测结果的特性称为随 机性随机性是抽取样 本具有代表性的重要 保障抽样调查 的可靠性用随机抽样的方法获取样本，且样本 容量合适时，由样本得出的特性会更接近 总体的特性(1)样本在总体中 需有代表性；样本容量应该 足够大；样本要避免遗 漏某一个群体借助调查作决策通过媒体收集信息，将信息进行全 面、科学地分析分析角度不同，得到的结论也会不同容易误导决 策的统计图媒体中数据很多，有许多有用的信 息，但信息不一定可靠，要全面分析考虑信息的时效 性、可靠性和代表性
