1、赣州市赣州市 2024 年高三年级摸底考试数学试卷年高三年级摸底考试数学试卷2024 年年 3 月本试卷分第月本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时长分，考试时长 120 分钟第分钟第 I 卷（选择题共卷（选择题共 58 分）一分）一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2240,log2Ax xxBx yx，则RAB（）A.0,2 B.,2 C.0,4
2、 D.,42.已知i为虚数单位.3i2i,R1 iab a b，则iab（）A.1 B.2 C.2 D.43.在ABC中，7,2,120ABACC，则sinA（）A.714 B.2114 C.5 714 D.3 21144.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为棱AD的中点，过1B且平行于平面1ABE的平面截正方体所得截面面积为（）A.62 B.54 C.6 D.2 65.在平行四边形ABCD中，3,4,6,3ABADAB ADDCDM ，则MA MB（）A.16 B.14 C.12 D.106.若一组样本数据128,x xx的方差为182,(1)2,(1)(1,2,8)ii
3、iiiixyxi ，则样本数据128,y yy的方差为（）A.1 B.2 C.2.5 D.2.757.已知e3,ln3e 1eabc，则（）A.abc B.bacC.bca D.cba8.在边长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，点E是BC的中点，点P是侧面11ABB A内的动点（含四条边），且tan4tanAPDEPB，则P的轨迹长度为（）A.9 B.29 C.49 D.89二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，
4、部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知等比数列 na的前n项和为33,18,26nSaS，则（）A.0na B.0nS C.数列na为单调数列 D.数列nS为单调数列10.已知函数 11sinsin2sin323f xxxx，则（）A.2是 f x的一个周期 B.f x的图象关于原点对称C.f x的图象过点,0 D.f x为R上的单调函数11.曲线C是平面内与两个定点120,1,0,1FF的距离的积等于32的点P的轨迹，则（）A.曲线C关于坐标轴对称 B.12FPF周长的最小值为26C.P到y轴距离的最大值为22 D.P到原点距离的最小值为22第第卷
5、（非选择题共卷（非选择题共 92 分）三分）三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.求值：7sinsin1212_.13.7211xyxy展开式中的常数项为_.14.已知P是抛物线2:E xy上异于顶点的点，E在P处的切线l分别交x轴y轴于点,S T，过P作l的垂线分别交x轴y轴于点,M N，分别记PMS与PNT的面积为12,S S，则221SS的最小值为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图，在四棱锥PAB
6、CD中，底面ABCD为直角梯形，90,ABCBCDPA平面,4,3,ABCD PAABBCCDM为侧棱PC的中点.（1）求点D到平面PBC的距离：（2）求二面角MADB的正切值.16.（15 分）某人准备应聘甲乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中01m，技能测试是否通过相互独立.（1）若23m.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；（2）已知甲乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应
7、聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求 m 的取值范围.17.（15 分）己知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2 31,3，椭圆C的右焦点与点2,2Q所在直线的斜率为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若过Q的直线l与椭圆C交于,A B两点.点3,0P.直线,PA PB分别交椭圆C于点,M N，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.18.（17 分）已知函数 1elnxf xx.（1）求 f x的单调区间，（2）已如0m.若函数 1g xf xm x有唯一的零点0 x.证明，012x.1
8、9.（17 分）设数列12:,2NA a aaN.如果对小于2nn N的每个正整数k都有kaaa.则称n是数列A的一个“D时刻”.记 D A是数列A的所有“D时刻”组成的集合，D A的元素个数记为card,D A.（1）对数列:1,1,2,2,3,3A，写出 D A的所有元素；（2）数列126:,A a aa满足 126,1,2,3,4,5,6a aa，若card,4D A.求数列A的种数.（3）证明：若数列A满足112,3,4,nnaanN，则1card,ND Aaa.赣州市赣州市 2024 年高三年级摸底考试数学（理科）参考答案年高三年级摸底考试数学（理科）参考答案一一单选题（共单选题（共
9、 40 分）分）题号12345678答案ABBAACDD二二多选题（共多选题（共 18 分）分）题号91011答案BCABCABD三三填空题（共填空题（共 15 分）分）12.62 13.630 14.1四四解答题（共解答题（共 77 分）分）15.解：（1）由PA平面ABCD，可得13BCDP BCDVSPA三棱锥令点D到平面PBC的距离为d，则13PBCD PBCVSd三棱锥由D PBCP BCDVV三棱锥三棱锥，可得1133PBCBCDSdSPA则BCDPBCSPAdS由90,4,3ABCBCCD，可得：162BCDSBC CD由PA平面,90ABCDABC，可得BCPB，则18 22P
10、BCSPB BC则6 43 228 2d，即点D到平面PBC的距离为3 22（2）设O为AC的中点，过O作OHAD交AD于H，连结,OM HMM是PC的中点，OM,PAOM平面ABCD,OMADAD平面,MOHADMH，MHO为二面角MADB的一个平面角又111132222AODADCSAD OHSCD BC，且17AD，可得617OH 则17tan3OMMHOOH即二面角MADB的正切值为173说明：也可以利用向量法!16.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A由题设 21222521124633639P ACC（2）分别记“该应聘者应聘甲乙公司三项专业技能测
11、试中通过的项目数为,”由题设知：23,3B所以的所有可能取值为0,1,2,3111016318mPm，5112117611163636318mPmmm，5251121032163636318mPmmm，52105363189mmPm故的分布列为0123P118m7618m10318m59m从而176103523012318181892mmmmmE 由,01,EEm得232,201,mm解得112m17.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为c，且椭圆C的右焦点为,0c由题意得：22222141,3,2022ababcc 解得221,3,2cab所以C的方程为：22132xy（2）设l的方程为22x
12、m y，设11223344,A x yB xyM xyN xy，则直线PA的方程为1133xxyy由112233,1,32xxyyxy可得222211111233123120 xyyxy yy结合2211132xy，可得221111230 xyxy yy可得211312yyyx，解得1312yyx代入1122xxyy，解得113111313222xyxyxx同理可得244221,222yyxxx故2143214321221122MNyyyyxxkxxxx21121222yxyxxx211212222222ymymymymm yy121222m yym yy，故直线MN的斜率是定值，且定值为 2
13、18.解：（1）111eln,exxf xxfxx 121e0 xfxx当0 x 时，11exfxx为增函数又 10f 当0,1x时，0,fxf x单调递减；当1,x时，0,fxf x单调递增.f x的减区间为0,1，增区间为1,（2）11eln(0)xg xf xm xxmxm m 11e(0,0)xgxm xmx由（1）可知 gx在0,单调递增，且 10gm，又11ee101mmgmmmm存在唯一的1,11,tm使得 0g t当0,xt时 0,g tg x单调递减；当,xt时 0,g tg x单调递增；1min()elntg xg ttmtm若方程 1eln0 xg xxmxm有唯一的实数
14、0 x，则01xt 111e0,eln0ttg tmtg ttmtm消去m可得112eln10(1)ttttt 令 112eln1(1)th ttttt，则 11221111e1e0tth tttttt h t在1,t上为减函数且 1110,2ln202hh 当 0h t 时1,2t，即012x19.解：（1）由题设知当3n 时，1323,aa aa，故3n 是数列A的一个“D时刻”同理当5n 时，都有51,2,3,4iaai，即5n 也是数列A的一个“D时刻”综上，3,5D A（2）由card,4D A，易知15a 或16a 当15a 时，4,3,2,1必须从左往右排列，6 可以是2,3,4
15、,5,6ia i 中任一个，共有 5 种情况当16a 时，若 D A中的四个元素是由集合A中的元素4,3,2,1或5,3,2,1或5,4,2,1或5,4,3,1引起的1.若由4,3,2,1引起，即 4，3，2，1 从左往右排列，则 5 必须排在 4 的后面，共 4 种；2.若由5,3,2,1引起，即 5，3，2，1 从左往右排列，则 4 必须排在 3 的后面，共 3 种3.若由5,4,2,1引起，即5,4,2,1从左往右排列，则 3 必须排在 2 的后面，共 2 种；4.若由5,4,3,1引起，即5,4,3,1从左往右排列，则 2 必须排在 1 的后面，共 1 种综上，符合card,4D A
16、的数列A有 15 种另解：因为数列126:,1,2,3,4,5,6A a aa，由题意可知 D A中的四个元素为2,3,4,5,6中的四个共有 5 种情况：当 3,4,5,6D A 时，数列5,6,4,3,2,1A 共有 1 种情况；当 2,4,5,6D A 时，数列 6,4,5,3,2,1,5,4,6,3,2,1A 共有 2 种情况；当 2,3,5,6D A 时，数列 6,5,3,4,2,1,6,4,3,5,2,1,5,4,3,6,2,1A 共有 3 种情况；当 2,3,4,6D A 时，数列 6,5,4,2,3,1,6,5,3,2,4,1,6,4,3,2,5,1,5,4,3,2,6,1A
17、共有 4 种情况；当 2,3,4,5D A 时，数列 6,5,4,3,1,2,6,5,4,2,1,3,6,5,3,2,1,4,6,4,3,2,1,5A，5,4,3,2,1,6共有 5 种情况；综上，符合card,4D A 的数列A有 15 种（3）若card,0D A，由1Naa，所以10Naa，即1card,ND Aaa成立若card,1D Am m，不妨设 123123,mmD Ai i iiiiii且21,2,jiNjm从而1112122111111;1;1mmmmiiiiiiiiiiiaaaaaaaaaaaa由累加法知：1miaam又11mNiaaaam，即1Nm aa综上：1card,ND Aaa.证毕
