1、#QQABSYCEggAIAAAAAAgCAwEYCEOQkBACAAoOxFAAoAAAyQNABCA=#QQABSYCEggAIAAAAAAgCAwEYCEOQkBACAAoOxFAAoAAAyQNABCA=#QQABSYCEggAIAAAAAAgCAwEYCEOQkBACAAoOxFAAoAAAyQNABCA=#QQABSYCEggAIAAAAAAgCAwEYCEOQkBACAAoOxFAAoAAAyQNABCA=#数学（四）参考答案数学（四）参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。14 DAAC 58 DDBB 8 题提示：设400(,)P x ax，由直
2、线l垂直于曲线C过点P的切线，则其斜率为3014ax，则直线l的方程为400301()4yaxxxax，即4032001144yxaxaxax，则l的纵截距为402014axax，设函数21()(0)4f xaxxax，若0a，则23321131()3884f xxaxaxa，因为其纵截距的取值范围为3,)4，则解得1a。若0a，23321131()3884f xxaxaxa ，不合题意。二、选择题：本题共 4 小题，每小题 6 分，共 18 分。9 ABD 10 ABC 11 BD 11 题提示：因为SAB为等腰三角形，且ASB的取值范围是2(0,)3，所以SAB的取值范围是(,)6 2.如
3、图取BC的中点D，则SDO是二面角SBCO的平面角，则3sinSOSDSD，又(3,2 3)SD，所以sin的范围是1(,1)2，所以的范围是(,)6 2.如图所示建立直角坐标系，则有(0,3,0)A，(0,3,0)C，(0,0,3)S，(3cos,3sin,0)B则有面CBS的法向量为1(sin1,cos,3cos)n，(0,3,3)SA，则点 A 到面 SBC 的距离1216cos12633(3sin5)22sin3cosSA ndn，所以d的取值范围是(0,3).当SASB时，则2 6AB，222 3BCACAB，则三角形SBC为等边三角形，展开面SAB，使得它与面SBC位于同一平面内，
4、150ASC，则AMMC的最小值时M点在AC与SB的交点，则222cos1506AMMCACSASCSA SC.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12 sin()2x（答案不唯一）13 34 14 2,+e 14 题提示：121212xxxxeexxa有12221212()()0()xxa eexxa xx，又120,axx，则有122212()()0 xxa eexx，即122212xxaexaex，则有函数2()xf xaex为增函数，则()2xfxaex，则需2xxae成立，令函数2()xxg xe，则2(1)()xxg xe，所以()g x在(,1)上是增函数
5、，(1,)是减函数，则 max2()(1)gxge，则有max2()agxe即可。四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分 D15（13 分）解：（1）因为()25afxxx，由题意得(2)0f，即4502a，解得2a；5 分（2）由（1）得(21)(2)()xxfxx，1,44x，由()0fx得1142x或24x，()0fx得122x，即()f x的单调递增区间为1 1,4 2或2,4，单调递减区间为1,22，9 分 所以()f x的极大值为19()2ln224f，极小值为(2)62ln2f 13 分 16（15 分）解：（1）因为第 5 轮比赛后甲、乙共有积分 10 分，由题意可知甲积
6、分 8 分，故前 3 轮必须恰有 1 轮为乙积分 2 分，另 2 轮甲积分 2 分，第 4 轮和第 5 轮都必须是甲积分 2 分，甲一次积分为 2 分的概率为1111122222 故概率为1323113()()2232C，答：甲恰在第 5 轮比赛后获胜的概率332；6 分（2）依题意X只能为3,5,7，当3X 时，甲、乙各自获胜的概率为18，即111(3)884P X；当5X 时，由（1）得甲获胜的概率为332，由于每轮甲、乙积分 2 分的概率相等，故33(5)23216P X，所以即139(7)141616P X ，所以X的分布列为：X 3 5 7 P 14 316 916 所以13945(
7、)357416168E X 15 分 17（15 分）解：（1）如图，以点 A 为原点，以AB，AD，AP所在直线为,x y z轴，建系如图：(0,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(0,0,3)ADCP；故(2,0,0),(0,3,3)DCDP，由,(0,1)DEDC DFDP 知(2,0,0),(0,3,3)DEDF；故(0,33,3)AF，(2,3,3)EF ；（4 分）由AFEF知3(33)333(63)0AF EF ，解得12.（7 分）【注】先下结论12后证明给 3 分（2）若/PC平面AEF，结合平面PCD平面AEFEF，PC 平面PCD知/PCEF；由（1）知12，即F
8、为DP的中点；故E为DC的中点，即12；（10 分）故(0,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(0,0,3)ADCP；3 30,2 2F，(1,3,0)E；故(1,0,0)DE；3 3(1,3,0),0,2 2AEAF ；设平面AEF的法向量(,)nx y z，则3033022n AExyn AFyz ，取3,1,1n，（13 分）所以点D到平面AEF的距离|3 11|11nEdDn（15 分）18（17 分）解：（1）（1）设()P xy，由题意22|2|42(1)xxy 化简得22288|2|18xyxx 当2x 时，有2222xy，当2x 时，有2221634xyx，即22(8)
9、298xy，此时2(8)10098x，不符合题意，舍去 所以，点P的轨迹方程为2222xy7 分（2）当直线l的斜率存在时，设直线:l ykxm，且0m，将直线l非常代入2222xy得2221+2)422=0kxkmxm（，设1122(,),(,)A x yB xy，则2121222422,1+21+2kmmxxx xkk，而222212121222()1+2mky yk x xkm xxmk，10 分 点O到直线l的距离21mdk，2212121()4ABkxxx x，即222212 21+21+2kkmABk，OAB的面积12SdAB，22221+21+2mkmSk，2222222(1+2
10、)(1+2)mkmSk，又221212212222y ymkk ktx xm，22221 2ktmt，422224244(41)(1 2)441tktktStkk，若t值存在，则必有2441441ttt，可解得12t ，这时212S，即22S，当直线l的斜率不存在时，则此时设0000(,),(,)A xyB xy，则202012yx，则当220021xy时22S 成立，存在12t 时，OAB的面积为定值22。17 分 19（17 分）解：（1）由21134324ln(1)(1)nnnxa xa xa xa xa x，第 1 次求导得：1211123(1)23(1)nnnxaa xa xna x
11、，（3 分）第 2 次求导得：21223(1)2!3 2(1)(1)nnnxaa xn na x ，第 3 次求导得：313342(1)3!4 3 2(1)(1)(2)nnnxaa xn nna x ！，第 4 次求导得：44453(1)4!5 4 3 2(1)(2)(3)nnxaa xn nnna x ！，依次类推，第n次求导得111(1)(1)(1)(1)!(1)(1)(1)2nnnnnnnxn ann nax ！；（6 分）令0 x：11(1)(1)(1)!nnnnn a！，故1nan（8 分）（2）由（1）知1231!nnTa a aan，故1(1)!nnnnbanT；（11 分）因为(1)!(1)!nnnnnn n，所以(1)!nnnn，所以(1)!11(1)!(1)!(1)!nnnnbnnnnn，所以1211111111111!2!2!3!(1)!1!(1)!(1)!nbbbnnnn （17 分）【注】（1）问直接用 Taylor 展开式得到结果给 5 分
