1、 章末分层突破章末分层突破 自我校对 地心说 日心说 Gm1m2 r2 2 r3 GM GM r GM r3 GM r2 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 万有引力与重力的关 系 1.万有引力和重力的关系 实际上， 地面上物体所受的万有引力 F 可以分解为物体所受的重力 mg 和随 地球自转而做圆周运动的向心力 F.其中 FGMm R2 ，Fmr2，质量为 m 的 物体在地面上的万有引力 F 大小不变，且 FF. (1)当物体在赤道上时，F、mg、F三力同向此时满足 FmgF，物 体的重力最小，方向指向地心 (2)当物体在两极点时，F0，FmgGMm R2 . (3)当
2、物体在地球的其他位置时，三力方向不同，Fmg，重力略小于万有引 力，重力的方向不指向地心 (4)当忽略地球自转时，重力等于万有引力，即 mgGMm R2 . (5)对于绕地球运行的近地卫星，所受的万有引力可认为等于卫星的重力 2赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区别 图 3- 1 放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地 面支持力的合力提供的； 而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星 的引力提供(如图 3- 1) 两个向心力的数值相差很大(如质量为 1 kg 的物体在赤道 上随地球自转所需的向心力只有 0.034 N，而它所受地球引力约为 9.8 N，
3、近地卫 星上每千克的物体所需的向心力是 9.8 N)，对应的两个向心加速度的计算方法也 不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度 a12R(2 T )2R，式中 T 为地球 自转周期，R 为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度 a2GM/r2，式中 M 为地球质量，r 为卫星与地心的距离 某星球“一天”的时间是 T16 h，用弹簧测力计在星球的“赤道” 上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小 10%， 设想该星球自转的角速度加 快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？ 【解析】 “一天”的含义是指该星球自转的周期 设该物体在星球的“赤道”上时重力为 G1，在两极处的重力
4、为 G2. 在“赤道”处：GMm R2 G1m4 2 T21 R 在“两极”处：GMm R2 G2 G2G1G2 10% 由式得 GMm R2 10%m4 2 T21 R 赤道上的物体自动飘起来也就是万有引力全部提供自转向心力， 设星球自转 的周期为 T2时，即 GMm R2 m4 2 T22 R 由两式可得 T2 10 10 T11.9 h. 【答案】 1.9 h 天体运动的规律“一”、 “二”、“三” 分析处理天体运动问题， 要抓住“一个模型”、 应用“两个思路”、 区分“三 个不同” 1一个模型 无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)， 只要天体的运动轨迹
5、为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动 2两个思路 (1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力因此，向心力 等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即 GMm r2 mv 2 r m2rm4 2 T2 rman (2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力 约等于物体的重力，即 GMm R2 mg 变形得 GMgR2，此式通常称为“黄金代换式” 3三个不同 (1)不同公式中 r 的含义不同 在万有引力定律公式 FGm1m2 r2 中，r 的含义是两质点间的距离；在向心力 公式(Fmv 2 r m2r)中，r 的含义是质点运动的轨道半径 当一个
6、天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的 r 相等 (2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同 三种速度的比较，如下表所示 比较项 概念 大小 影响因素 运行速度 卫星绕中心天体做匀速圆 周运动的速度 v GM r 轨道半径 r 越大，v 越小 发射速度 在地面上发射卫星的速度 大于或等于 7.9 km/s 卫星的发射高度越高， 发 射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小7.9 km/s 不同卫星发射要求不同 卫星发射速度 11.2 km/s 16.7 km/s (3)卫星的向心加速度 a、地球表面的重力加速度 g、在地球表面的物体随地 球自转做匀速圆周运动的向心加速度 a的含义不同
7、 绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度 a， 由 GMm r2 ma， 得 aGM r2 ， 其中 r 为卫星的轨道半径 若不考虑地球自转的影响，地球表面的重力加速度为 gGM R2 ，其中 R 为 地球的半径 地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度 a2Rcos ，其中 、R 分别是地球的自转角速度和半径， 是物体所在位置的纬度值 (多选)已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T，地球同步卫星 质量为 m，引力常量为 G，有关同步卫星，下列表述正确的是( ) A卫星距地面的高度为 3 GMT2 42 B卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C卫星运行时受到的向心力大小为 GMm
8、 R2 D卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 【解析】 对同步卫星有万有引力提供向心力 G Mm Rh2m(Rh) 42 T2 ，所以 h 3 GMT2 4 2 R，A 错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B 正确；同步卫星 运动的向心力等于万有引力，应为 F GMm Rh2，C 错误；同步卫星的向心加速度 为 a同 GM Rh2，地球表面的重力加速度 a 表GM R2 ，知 a表a同，D 正确 【答案】 BD 双星问 题 1.双星 众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们 连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星 2双星问题特点 如图 3- 2 所示
9、为质量分别是 m1和 m2的两颗相距较近的恒星它们 间的距离为 L.此双星问题的特点是： 图 3- 2 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点； (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供； (3)两星的运动周期、角速度相同； (4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即 r1r2L. 3双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 Gm1m2 L2 m12r1 m22r2，由此得出： (1)m1r1m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比 (2)由于 2 T ，r1r2L，所以两恒星的质量之和 m1m24 2L3 GT2 . 宇宙中两颗相
10、距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某 一点为圆心做匀速圆周运动而不会因万有引力的作用吸引到一起 (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比 (2)设两者的质量分别为 m1和 m2， 两者相距 L， 试写出它们角速度的表达式 【解析】 (1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度 一定相 同 它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它 们的圆心总是在一条直线上 设两者的圆心为 O 点，轨道半径分别为 R1和 R2，如图所示对两天体，由 万有引力定律可分别列出 Gm1m2 L2 m12R1 Gm1m2 L2 m22R2 所以R1 R2 m2 m
11、1，所以 v1 v2 R1 R2 R1 R2 m2 m1，即它们的轨道半径、 线速度之比都等于质量的反比 (2)由两式相加得 Gm 1m2 L2 2(R1R2) 因为 R1R2L，所以 Gm1m2 L3 . 【答案】 (1)见解析 (2) Gm1m2 L3 1关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【解析】 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与
12、牛顿定律无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律， 但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力 定律，选项 D 错误 【答案】 B 2利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持 无线电通讯目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍假设地球 的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最 小值约为( ) 【导学号：35390053】 A1 h B4 h C8 h D16 h 【解析】 万有引力提供向心力，对同步卫星有： GMm r2 mr4 2 T2 ，整理得 GM4 2r3 T2
13、当 r6.6R地时，T24 h 若地球的自转周期变小，轨道半径最小为 2R地 三颗同步卫星 A、B、C 如图所示分布 则有4 26.6R 地3 T2 4 22R 地3 T2 解得 T T 64 h，选项 B 正确 【答案】 B 3若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的 速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 7.已知该行星质量约 为地球的 7 倍，地球的半径为 R，由此可知，该行星的半径约为( ) A.1 2R B.7 2R C2R D. 7 2 R 【解析】 物体平抛时水平方向满足 xv0t，所以t1 t2 x1 x2 2 7；竖直方向由 h1 2 gt
14、2 得 g2h t2 ，因此g1 g2 t22 t21 7 4.在星球表面物体所受的重力等于万有引力，由 gGM R2 得R1 R2 M1g2 M2g12，又因为 R2R，所以 R12R，故选 C. 【答案】 C 4(多选)如图 3- 3 所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动， 用 R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时 间内扫过的面积下列关系式正确的有( ) 图 3- 3 ATATB BEkAEkB CSASB D.R 3 A T2A R3B T2B 【解析】 已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动， RARB.根据R 3 T2k 知， TAT
15、B，选项 A、D 正确；由GMm R2 mv 2 R知，运动速率 v GM R ，由 RARB， 得 vAvB，则 EkAEkB，选项 B 错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星绕地 球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于不同卫星，SA 不一定等于 SB，选项 C 错误 【答案】 AD 5我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船 与“天宫二号”对接 假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆 周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 图 3- 4 A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室 实现对接 B使
16、飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船 实现对接 C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间 实验室，两者速度接近时实现对接 D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间 实验室，两者速度接近时实现对接 【解析】 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心 力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项 A 错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力 小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项 B 错误；当飞 船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验 室，可实现对接，选项 C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时， 飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项 D 错误 【答案】 C 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
