1、 第二节第二节 万有引力定律的应用万有引力定律的应用 学 习 目 标 知 识 脉 络 1.会用万有引力定律计算天 体的质量(重点) 2 了解海王星和冥王星的发 现方法 3会推导第一宇宙速度，知 道三种宇宙速度的含义 4知道人造卫星的原理，能 够确定人造卫星线速度、角 速度、周期与半径的关 系(重点、难点) 计 算 天 体 的 质 量 先填空 1利用月球计算地球质量 (1)思路：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提 供 (2)推导：月球绕地球做匀速圆周运动所需向心力 Fm2rm(2 T )2r. 地球对月球的万有引力充当向心力，则GMm r2 m(2 T )2r，则 M4 2
2、r3 GT2 . 2一般方法 已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中 心天体)之间的距离，也可以算出行星(或中心天体)的质量 再判断 1利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的 质量() 2利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量() 3知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量() 合作探讨 1969 年 7 月 21 日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印 (如图 3- 2- 1)，迈出了人类征服宇宙的一大步 图 3- 2- 1 探讨 1： 宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为 m 的物体重力为 F.
3、怎样利用这 个条件估测月球的质量？ 【提示】 设月球质量为 M.半径为 R，则 FGMm R2 ，故 MFR 2 Gm. 探讨 2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为 T，怎样利用这个 条件估测月球质量？ 【提示】 设月球质量为 M，半径为 R，由万有引力提供向心力，GMm R2 m4 2 T2 R M4 2R3 GT2 . 核心点击 1求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或 卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体 的质量 2计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法： (1)若已知
4、地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g， 根据物体的重 力近似等于地球对物体的引力，得 mgGM 地m R2 ，解得地球质量为 M地R 2g G . (2)质量为 m 的卫星绕地球做匀速圆周运动 GMm r2 m2 T 2rM4 2r3 GT2 ，即已知卫星的r和T可以 求M； mv 2 r Mrv 2 G ，即已知卫星的r和v可以求M； m2rMr 32 G ，即已知卫星的r和可以求M. 3计算天体的密度 若天体的半径为 R，则天体的密度 M 4 3R 3 将 M4 2r3 GT2 代入上式得： 3r3 GT2R3 特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R，则
5、3 GT2. 1据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质 量的6.4倍， 一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( ) A0.5 B2 C3.2 D4 【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力 即 G地GM 地m R2地 同样在行星表面有 G行GM 行m R2行 以上二式相比可得 G地 G行 M地 R2地 R2行 M行 1 6.4 R2行 R2地 R行 R地 6.4600 1960 2 故该行星的半径与地球的半径之比约为 2 故选 B. 【答案】 B 2火星绕太阳的运动可看作匀速圆周
6、运动，火星与太阳间的引力提供火星 运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为 r，运行周期为 T，引力常量为 G， 试写出太阳质量的表达式 【解析】 设太阳质量为 M，火星的质量为 m 火星与太阳间的引力提供向心力，则有 GMm r2 mv 2 r ， v2r T . 两式联立得 M4 2r3 GT2 . 【答案】 42r3 GT2 3若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为 T，引 力常量为 G，那么该行星的平均密度为( ) 【导学号：35390043】 A.GT 2 3 B. 3 GT2 C. GT2 4 D. 4 GT2 【解析】 设飞船的质量为 m， 它做圆周运动的半径为行
7、星半径 R， 则 GMm R2 m(2 T )2R， 所以行星的质量为M4 2R3 GT2 ， 行星的平均密度 M 4 3R 3 42R3 GT2 4 3R 3 3 GT2， B 项正确 【答案】 B 1计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体注意方 法的拓展应用明确计算出的是中心天体的质量 2 要注意 R、 r 的区分 R 指中心天体的半径， r 指行星或卫星的轨道半径 以 地球为例，若绕近地轨道运行，则有 Rr. 发 现 未 知 天 体 先填空 1海王星的发现 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维烈根据天王星的观 测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的
8、轨道.1846 年 9 月 23 日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星 海王星被发现了 2其他天体的发现 近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星等几个较大的天体 再判断 1海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性() 2科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析() 3冥王星被称为“笔尖下发现的行星”() 后思考 航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态， 牛顿定律还适用吗？ 【提示】 适用牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运 动问题牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的
9、 合作探讨 如图 3- 2- 2 所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动 图 3- 2- 2 探讨 1：行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？ 【提示】 由 GMm r2 mv 2 r 得 v GM r ，可见行星线速度的大小是由恒星的 质量和行星的轨道半径共同决定的 探讨 2：行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速 度与自身质量有关吗？ 【提示】 无关因为在等式 GMm r2 manmv 2 r m2rm4 2 T2 r 各项中都含 有 m，可以消掉 核心点击 1解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动， 所需要的向心力都由中心天
10、体 对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：GMm R2 ma，式中 a 是向心加速度 2四个重要结论 项目 推导式 关系式 结论 v 与 r 的关系 GMm r2 mv 2 r v GM r r 越大，v 越小 与 r 的关系 GMm r2 mr2 GM r3 r 越大， 越小 T 与 r 的关系 GMm r2 mr 2 T 2 T2 r3 GM r 越大，T 越大 a 与 r 的关系 GMm r2 ma aGM r2 r 越大，a 越小 4下列说法正确的是( ) A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C海王星是人
11、们经过长期的太空观测而发现的 D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天 王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出 轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨 道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万 有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星由此可知，A、B、C 错误，D 正确 【答案】 D 5设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为 R， 土星绕太阳运动的周期为 T，万有引力常量 G 已知，根据这些数据，不能
12、求出的 量有( ) A土星线速度的大小 B土星加速度的大小 C土星的质量 D太阳的质量 【解析】 根据已知数据可求：土星的线速度大小 v2R T 、土星的加速度 a4 2 T2 R、太阳的质量 M4 2R3 GT2 ，无法求土星的质量，所以选 C. 【答案】 C 6(多选)2003 年 8 月 29 日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星 冲日”的天象奇观这是 6 万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只 有 5 576 万公里，为人类研究火星提供了最佳时机如图 3- 2- 3 所示为美国宇航 局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有( ) 图 3- 2- 3 A2003 年 8 月
13、 29 日，火星的线速度大于地球的线速度 B2003 年 8 月 29 日，火星的线速度小于地球的线速度 C2004 年 8 月 29 日，火星又回到了该位置 D2004 年 8 月 29 日，火星还没有回到该位置 【解析】 火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动 GMm R2 mv 2 R 可得：v GM R ，所以轨道半径较大的火星线速度小，B 正确；火星轨道半径大，线速度 小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到， D 正确 【答案】 BD 天体运动的解题技巧 (1)建立模型 不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它 们是在绕某一中心天
14、体做圆周运动， 就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型 来处理问题 (2)列方程求解 根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力， 列出合适的向心力表达式 进行求解 F向F万mamgGMm r2 mv 2 r mr2m4 2 T2 r. 人 造 卫 星 与 宇 宙 速 度 先填空 1牛顿的设想 山顶上一门大炮若以足够大的速度水平射出一颗炮弹， 它将围绕地球旋转而 不再落回地面 2人造卫星的向心力 地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力 GMm r2 mv 2 r m2rm4 2 T2 r. 3运行规律 v 与轨道半径 r：v GM r . 与轨道半径 r： GM r3 . T 与轨
15、道半径 r：T2 r3 GM. a 与轨道半径 r：aGM r2 . 离地球越远的卫星，线速度、角速度、加速度越小，周期越长，即越远越慢 4宇宙速度 (1)第一宇宙速度，又叫环绕速度，是指人造地球卫星在地面附近绕地球做 匀速圆周运动的速度，其大小为 7.9 km/s. (2)第二宇宙速度，又叫脱离速度，是指物体克服地球引力的束缚，成为绕 太阳运动的行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为 11.2 km/s. (3)第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是指在地面上发射物体，使之最后脱离 太阳引力的束缚飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为 16.7 km/s. 再判断 17.9
16、 km/s 是人造地球卫星最大的环绕速度() 2在地面上发射人造卫星的最小速度是 7.9 km/s.() 3离地球越远的卫星，发射速度越大，而环绕速度也越大() 后思考 能否有发射轨道高度不同但具有相同周期的地球卫星？(如图 3- 2- 4 所示) 图 3- 2- 4 【提示】 不能 根据万有引力提供地球卫星做匀速圆周运动的向心力 GMm r2 m4 2 T2 r 可知，周期 T2 r3 GM，所以当卫星轨道高度不同时，其周期一定不 同，故不能发射在不同轨道高度但具有相同周期的地球卫星 合作探讨 若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考： 探讨 1：卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？ 【提示
17、】 卫星轨道越高，速度越小 探讨 2：如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？ 【提示】 卫星的轨道半径越大，周期越大，角速度越小 核心点击 1第一宇宙速度的推导方法 方法(一) 设地球质量为 M，卫星质量为 m，卫星到地心的距离为 r，卫星做匀速圆周 运动的线速度为 v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得： GMm r2 mv 2 r ，v GM r . 应用近地条件 rR(R 为地球半径)，R6 400 km，M61024kg， 得 v GM R 7.9 km/s. 方法(二) 在地面附近， 重力等于万有引力， 此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(已 知地球半径 R、地面重力加速度 g) 由
18、 mgmv 2 R得 v gR 6 40010 39.8 km/s7.9 km/s. 2卫星的轨道特点(如图 3- 2- 5) 图 3- 2- 5 (1)若为椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律 (2)若为圆轨道，地心是圆周的圆心，由万有引力提供向心力 (3)轨道平面：一定过地心，可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直， 可以跟赤道平面成任意角度 3人造卫星的运动规律 根据万有引力提供向心力可得 GMm r2 ma mv 2 r mr2 mr4 2 T2 aGM r2 r越大，a越小 v GM r r越大，v越小 GM r3 r越大，越小 T 42r3 GM r越大，T越大
19、越高越慢 4地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星 (2)六个“一定” 同步卫星的运行方向与地球自转方向一致 同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T24 h. 同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度 同步卫星的轨道平面均在赤道平面上， 即所有的同步卫星都在赤道的正上 方 同步卫星的高度固定不变 由GMm r2 mr(2 T )2知 r 3 GMT2 42 .由于 T 一定，故 r 一定，而 rRh，h 为 同步卫星离地面的高度，h 3 GMT2 42 R.又因 GMgR2，代入数据 T24 h86 400 s，g 取 9.8 m/s，R6.38106 m，得 h3.6
20、104 km. 同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为 v，由于 G Mm Rh2 m v2 Rh，所以 v GM Rh gR2 Rh 9.86.381062 6.381063.6107 m/s3.110 3 m/s. 7探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆 周运动，则变轨后与变轨前相比( ) A轨道半径变小 B向心加速度变小 C线速度变小 D角速度变小 【解析】 探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：GMm r2 m4 2 T2 r，整理得 T2 r3 GM，可知周期 T 较小的轨道，其半径 r 也小，A 正确； 由 GMm r2 manmv 2 r
21、m2r，整理得：anGM r2，v GM r ， GM r3 ，可知 半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故 B、C、D 错误 【答案】 A 8如图 3- 2- 6 所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动下列说法正确的是( ) 【导学号：35390044】 图 3- 2- 6 A甲的向心加速度比乙的小 B甲的运行周期比乙的小 C甲的角速度比乙的大 D甲的线速度比乙的大 【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供， 根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题根据 GMm r2 ma 得 aGM r2 .故甲卫 星的向心
22、加速度小，选项 A 正确；根据 GMm r2 m 2 T 2r，得 T2 r3 GM，故甲 的运行周期大，选项 B 错误；根据 GMm r2 m2r，得 GM r3 ，故甲运行的角 速度小，选项 C 错误；根据 GMm r2 mv 2 r ，得 v GM r ，故甲运行的线速度小， 选项 D 错误 【答案】 A 9 研究表明， 地球自转在逐渐变慢， 3 亿年前地球自转的周期约为 22 小时 假 设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星 与现在的相比( ) A距地面的高度变大 B向心加速度变大 C线速度变大 D角速度变大 【解析】 A地球的自转周期变大，则地球同步卫
23、星的公转周期变大 由 GMm Rh2m 42 T2 (Rh)，得 h 3 GMT2 42 R，T 变大，h 变大，A 正确 B由GMm r2 ma，得 aGM r2 ，r 增大，a 减小，B 错误 C由GMm r2 mv 2 r ，得 v GM r ，r 增大，v 减小，C 错误 D由 2 T 可知，角速度减小，D 错误 【答案】 A 天体运动问题解答技巧 1比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的 v、T、an 等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、T)、“越远越小”(an) 2涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若 已知量或待求量中涉及重力加速度g， 则应考虑黄金代换式gR2GM mgGMm R2 的应用 3若已知量或待求量中涉及 v 或 或 T，则应考虑从 GMm r2 mv 2 r m2r m4 2 T2 r 中选择相应公式应用
