1、北京市北京市 20172017 年春季普通高中会考年春季普通高中会考 数学试卷数学试卷 一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A=1，1，B=1，1，3，那么 AB=等于（） A1 B1 C1，1 D1，1，3 2已知向量，那么等于（） A B C D 3已知向量，且，那么 x 的值是（） A3 B3 C D 4某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400，400，400，300，300，200为 做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200
2、 的样本进行调查，那 么应抽取一年级学生的人数为（） A120 B40 C30 D20 5已知点 A（2，m），B（3，3），直线 AB 的斜率为 1，那么 m 的值为（） A1 B2 C3 D4 6直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（） A（2，0） B（2，1） C（0，2） D（1，2） 7已知向量满足，且与夹角为 30，那么 等于（） A1 B C3 D 8在ABC 中，a=2，c=1，B=60，那么 b 等于（） A B C1 D 9如果直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：2x+（a+1）y+2=0 平行，那么 a 等于（） A2 B1 C1 D2 10当
3、 x0，2时，函数 y=sinx 的图象与直线的公共点的个数为（） A0 B1 C2 D3 11已知 f（x）=log3x，f（a）f（2），那么 a 的取值范围是（） Aa|a2 Ba|1a2 C D 12不等式组，表示的平面区域是（） A B C D 13等于（） A B C D 14给出下面四个命题： 三个不同的点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 两条平行直线确定一个平面 其中正确的命题是（） A B C D 15在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、 物候等方面的变化规律，那么甲同学被
4、选中的概率为（） A1 B C D 16如果 a+b=1，那么 ab 的最大值是（） A B C D1 17等于（） A B C D 18已知函数关于 f（x）的性质，给出下面四个判断： f（x）的定义域是 R； f（x）的值域是 R； f（x）是减函数； f（x）的图象是中心对称图形 其中正确的判断是（） A B C D 19如果圆 C：（xa）2+（y3）2=5 的一条切线的方程为 y=2x，那么 a 的值为（） A4 或 1 B1 或 4 C1 或4 D1 或4 20中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们 党确定的 “两个一百年”奋斗目标的第一个
5、百年奋斗目标 全会提出了全面建成小康社会新的目标要求 ： 经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值 和城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户 籍人口城镇化率加快提高 设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了依据“到二 0 二 0 年城 乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式： （1+p%）10=2； （1+p%）10=2； lg（1+p%）=2； 1+10p%=2 其中正确的是（） A B C D 21甲乙两名篮球运动员在 4 场
6、比赛中的得分情况如图所示v1，v2分别表示甲、乙二人的平均得分， s1，s2分别表示甲、乙二人得分的方差，那么 v1和 v2，s1和 s2的大小关系是（） Av1v2，s1s2 Bv1v2，s1s2 Cv1v2，s1s2 Dv1v2，s1s2 22已知直线 m，n，l，平面 ，给出下面四个命题：（） ； ； ； 其中正确是（） A B C D 23如果关于 x 的不等式 x2ax+b 的解集是x|1x3，那么 ba等于（） A81 B81 C64 D64 24一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（） A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D四棱柱 25“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八
7、十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬 所著的九章詳註比纇算法大全，通过计算得到的答案是（） A2 B3 C4 D5 二、解答题（二、解答题（共共 5 小题，小题，满分满分 25 分）分） 26（5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，ACCB，点 M 和 N 分别是 B1C1和 BC 的中点 （1）求证：MB平面 AC1N； （2）求证：ACMB 27（5 分）已知函数，其中 0，xR （1）f（0）=； （2）如果函数 f（x）的最小正周期为 ，当时，求 f（x）的最大值 28（5 分）已知数列an， （1）判断数列an是否为等差数列； （2）求数列an的前
8、n 项和 Sn 29（5 分）已知点 P（2，2）在圆 O：x2+y2=r2（r0）上，直线 l 与圆 O 交于 A，B 两点 （1）r=； （2）如果PAB 为等腰三角形，底边，求直线 l 的方程 30（5 分）在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为 7 克的糖块放入 一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第 5 分钟末测得未溶解糖 块的质量为 3.5 克联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数 S=aekt（a， k 是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 S（单位：克）代表 t 分钟末未溶解糖块的质量 （1）a=；
9、 （2）求 k 的值； （3）设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M，请画出 M 随 t 变化的函数关系的草图，并简 要描述实验中糖块的溶解过程 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 A=1，1，B=1，1，3，那么 AB=等于（） A1 B1 C1，1 D1，1，3 【考点】交集及其运算 【分析】根据交集的定义写出 AB 即可 【解答】解：集合 A=1，1，B=1，1，3， 那么 AB=1，1 故选：C 【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题
10、目 2已知向量，那么等于（） A B C D 【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义 【分析】利用向量运算法则求解 【解答】解： = 故选：C 【点评】本题考查向量的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意向量运算法则的合理运用 3已知向量，且，那么 x 的值是（） A3 B3 C D 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量，且， =3x=0， 解得 x=3 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用 4某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400
11、，400，400，300，300，200为 做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那 么应抽取一年级学生的人数为（） A120 B40 C30 D20 【考点】分层抽样方法 【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论 【解答】解：一年级学生 400 人， 抽取一个容量为 200 的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为， 解得 n=40，即一年级学生人数应为 40 人， 故选：B 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础 5已知点 A（2，m），B（3，3），直线 AB 的斜率为 1，那么 m 的值为（） A1 B2 C3 D4 【
12、考点】直线的斜率 【分析】利用直线的斜率公式可得=1，解方程求得 m 的值 【解答】解：由于 A（2，m），B（3，3），直线 AB 的斜率为 1， =1，m=2， 故选：B 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，是一道基础题 6直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（） A（2，0） B（2，1） C（0，2） D（1，2） 【考点】两条直线的交点坐标 【分析】将二直线的方程联立解出即可 【解答】解：联立，解得 x=0，y=2， 直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（0，2） 故选：C 【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关
13、键 7已知向量满足，且与夹角为 30，那么 等于（） A1 B C3 D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可 【解答】解：向量满足，且与夹角为 30， 那么=| | |cos=2=3 故选：C 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力 8在ABC 中，a=2，c=1，B=60，那么 b 等于（） A B C1 D 【考点】余弦定理 【分析】由题意和余弦定理列出式子求出 b 的值 【解答】解：因为在ABC 中，a=2，c=1，B=60， 所以由余弦定理得，b2=a2+c22accosB =4+1 =3， 解得 b=， 故选 B 【点评】本
14、题考查了余弦定理的简单应用，属于基础题 9如果直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：2x+（a+1）y+2=0 平行，那么 a 等于（） A2 B1 C1 D2 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】直接由两直线平行的条件列式求解 a 的值 【解答】解：直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：2x+（a+1）y+2=0 平行， a+1=1，解得 a=2 故选：A 【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线 平行的条件，是基础题 10当 x0，2时，函数 y=sinx 的图象与直线的公共点的个数为（） A0 B1 C2 D3 【考点】根
15、的存在性及根的个数判断 【分析】根据曲线与方程之间的关系，直接作图即可得到结论 【解答】解：由 y=sinx 与 y=，如图： 两条曲线的图象的交点个数为 2 个方程有 2 个解 故选：C 【点评】本题主要考查函数交点个数的判断，利用函数和方程之间的关系，直接进行求解即可，比较 基础 11已知 f（x）=log3x，f（a）f（2），那么 a 的取值范围是（） Aa|a2 Ba|1a2 C D 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【分析】由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，即可得出结论 【解答】解：由题意，f（x）=log3x，函数单调递增， f（a）f（2），a2， 故选 A 【点评】
16、本题考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础 12不等式组，表示的平面区域是（） A B C D 【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】利用直线确定边界，特殊点判断区域，求解即可 【解答】解：在判吗直角坐标系中，画出直线 x=1，x+y3=0，xy3=0， 判断（2，0）满足不等式组， 所以不等式组不是的可行域为： 故选：D 【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定，一般是找特殊点代入进行检验，属于 基础试题 13等于（） A B C D 【考点】二倍角的正弦 【分析】利用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】解： =si
17、n= 故选：B 【点评】 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式， 特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用， 考查了转化思想，属于基础题 14给出下面四个命题： 三个不同的点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 两条平行直线确定一个平面 其中正确的命题是（） A B C D 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】，三个不共线的点确定一个平面，故错； ，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错； ，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错； ，两条平行直线确定一个平面，正确 【解答】解：对于，三个不共线的点确定一个平面，故错；
18、 对于，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错； 对于，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错； 对于，两条平行直线确定一个平面，正确 故选：D 【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题 15在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、 物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（） A1 B C D 【考点】古典概型及其概率计算公式 【分析】先求出基本事件总数 n=3，再求出甲同学被选中包含听基本事件个数 m=2，由此 能求出甲同学被选中的概率 【解答】解：在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任
19、选两人介绍一年中时 令、气候、物候等方面的变化规律， 基本事件总数 n=3， 甲同学被选中包含听基本事件个数 m=2， 甲同学被选中的概率 p= 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理 运用 16如果 a+b=1，那么 ab 的最大值是（） A B C D1 【考点】基本不等式 【分析】由于求 ab 的最大值，只考虑 a，b0 时即可利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：由于求 ab 的最大值，只考虑 a，b0 时即可 a+b=1，解得 ab ，当且仅当 a=b=时取等号 那么 ab 的最大值是 故选：B 【点评】本题考查了不等式
20、的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 17等于（） A B C D 【考点】运用诱导公式化简求值 【分析】直接利用诱导公式化简求值即可 【解答】解：由 cos=cos（672+）=cos= 故选：B 【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题 18已知函数关于 f（x）的性质，给出下面四个判断： f（x）的定义域是 R； f（x）的值域是 R； f（x）是减函数； f（x）的图象是中心对称图形 其中正确的判断是（） A B C D 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】函数的图象可由函数 y= 向右平移一个单位得到，类比 y= 的性质可判定 【解答】解：函数的图象可由
21、函数 y= 向右平移一个单位得到，所以值域为y|y0；单 调减区间为（，0），（0，+）；对称中心为（1，0） 故正确，故选：D 【点评】本题考查了函数的定义域、值域、对称性，属于基础题 19如果圆 C：（xa）2+（y3）2=5 的一条切线的方程为 y=2x，那么 a 的值为（） A4 或 1 B1 或 4 C1 或4 D1 或4 【考点】圆的切线方程 【分析】由题意，圆心到直线的距离 d=，即可求出 a 的值 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d=， a=1 或 4， 故选 B 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题 20中国共产党第十八届中央委员会第五
22、次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们 党确定的 “两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标 全会提出了全面建成小康社会新的目标要求 ： 经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值 和城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户 籍人口城镇化率加快提高 设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了依据“到二 0 二 0 年城 乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式： （1+p%）10=2； （1+p%）10=2； lg（1+p%）=
23、2； 1+10p%=2 其中正确的是（） A B C D 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%则由到二 0 二 0 年城乡 居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，可得：（1+p%）10=2；进而得到答案 【解答】解：设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p% 则由到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，可得： （1+p%）10=2； 正确的关系式为； 故选：B 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数模型的选择与应用，难度基础 21甲乙两名篮球运动员在 4 场比赛中的得
24、分情况如图所示v1，v2分别表示甲、乙二人的平均得 分，s1，s2分别表示甲、乙二人得分的方差，那么 v1和 v2，s1和 s2的大小关系是（） Av1v2，s1s2 Bv1v2，s1s2 Cv1v2，s1s2 Dv1v2，s1s2 【考点】茎叶图 【分析】由茎叶图先求出平均数，再计算方差 【解答】解：由茎叶图性质得： V1=14， V2=13， S1= （914）2+（1314）2+（1414）2+（2014）2=， S2= （813）2+（913）2+（1313）2+（2213）2= V1V2，S1S2 故选：C 【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较，是基础题，解题时要认真审
25、题，注意茎叶 图的性质的合理运用 22已知直线 m，n，l，平面 ，给出下面四个命题：（） ； ； ； 其中正确是（） A B C D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的 位置关系 【分析】在中，m 或 m；在中，m 与 n 相交、平行或异面；在中，由线面平行的判定定 理知 n；在中，n 或 n 【解答】解：由直线 m，n，l，平面 ，知： 在中， m 或 m，故错误； 在中， m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，由线面平行的判定定理知 n，故正确； 在中， n 或 n，故错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，
26、解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间 的位置关系的合理运用 23如果关于 x 的不等式 x2ax+b 的解集是x|1x3，那么 ba等于（） A81 B81 C64 D64 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系求出 a、b 的值，再计算 ba的值 【解答】解：不等式 x2ax+b 可化为 x2axb0， 其解集是x|1x3， 那么，由根与系数的关系得， 解得 a=4，b=3； 所以 ba=（3）4=81 故选：B 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题，是基础题目 24一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（） A三
27、棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D四棱柱 【考点】简单空间图形的三视图 【分析】由三视图可得，直观图为正方体中的一个正四面体，即可得出结论 【解答】解：由三视图可得，直观图为正方体中，面上对角线构成的一个正四面体， 故选 A 【点评】本题考查三视图与直观图的转化，考查数形结合的数学思想，比较基础 25“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬 所著的九章詳註比纇算法大全，通过计算得到的答案是（） A2 B3 C4 D5 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】设尖头 a 盏灯，根据题意由上往下数第 n 层有 2n1a 盏灯，由此利用等比数列性质能求出结 果
28、 【解答】解：由题意设尖头 a 盏灯， 根据题意由上往下数第 n 层有 2n1a 盏灯， 所以一共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381 盏灯， 解得 a=3 故选：B 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列 的性质的合理运用 二、解答题（二、解答题（共共 5 小题，小题，满分满分 25 分）分） 26如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，ACCB，点 M 和 N 分别是 B1C1和 BC 的中点 （1）求证：MB平面 AC1N； （2）求证：ACMB 【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 【分析】（
29、1）证明 MC1NB 为平行四边形，所以 C1NMB，即可证明 MB平面 AC1N； （2）证明 AC平面 BCC1B1，即可证明 ACMB 【解答】证明：（1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，因为点 M，N 分别是 B1C1，BC 的中点， 所以 C1MBN，C1M=BN 所以 MC1NB 为平行四边形 所以 C1NMB 因为 C1N平面 AC1N，NB平面 AC1N， 所以 MB平面 AC1N； （2）因为 CC1底面 ABC， 所以 ACCC1 因为 ACBC，BCCC1=C， 所以 AC平面 BCC1B1 因为 MB平面 BCC1B1， 所以 ACMB 【点评】本题考查线面平行的
30、判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 27已知函数，其中 0，xR （1）f（0）=； （2）如果函数 f（x）的最小正周期为 ，当时，求 f（x）的最大值 【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法 【分析】（1）直接计算可得结论； （2）求出函数的解析式，再利用三角函数的性质求 f（x）的最大值 【解答】解：（1）（2 分） 故答案为： （2）因为 f（x）的最小正周期为 ，0， 所以解得 =2 所以 因为， 所以 可得 所以当时，f（x）的最大值是 1（5 分） 【点评】本题考查特殊角三角函数值，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能
31、力， 属于中档题 28已知数列an， （1）判断数列an是否为等差数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【考点】数列的求和 【分析】（1）利用等差数列的定义，反例判断即可 （2）通过数列的项数分别求解数列的和即可 【解答】解：（1）a2 a 1=1，a8 a 7=78=1，数列不是等差数列（1 分） （2）解：当 n7 时， = 当 n7 时， =（5 分） 【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力 29已知点 P（2，2）在圆 O：x2+y2=r2（r0）上，直线 l 与圆 O 交于 A，B 两点 （1）r=2； （2）如果PAB 为等腰三角形，底边，求直线 l 的方程
32、 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】（1）利用点 P（2，2）在圆 O：x2+y2=r2（r0）上，即可求出 r； （2）利用弦长公式，即可求直线 l 的方程 【解答】解：（1）点 P（2，2）在圆 O：x2+y2=r2（r0）上， r=2（1 分） （2）因为PAB 为等腰三角形，且点 P 在圆 O 上， 所以 POAB 因为 PO 的斜率， 所以可设直线 l 的方程为 y=x+m 由得 2x2+2mx+m28=0=4m28（m28）=644m20， 解得4m4 设 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 可得 所以 解得 m=2 所以直线 l 的方程为 xy+2=0，xy2
33、=0（5 分） 【点评】 本题考查圆的方程， 考查直线与圆的位置关系， 考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 30在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验 ： 将一块质量为 7 克的糖块放入一定量的 水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量 为 3.5 克联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数 S=aekt（a，k 是常数） 来描述以上糖块的溶解过程，其中 S（单位：克）代表 t 分钟末未溶解糖块的质量 （1）a=7； （2）求 k 的值； （3）设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M，请画出 M
34、 随 t 变化的函数关系的草图，并简 要描述实验中糖块的溶解过程 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】（1）由题意，t=0，S=a=7； （2）因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克，可求 k 的值； （3）根据函数解析式可得函数的图象，即可得出结论 【解答】解：（1）由题意，t=0，S=a=7（7 分） （2）因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克， 所以 3.5=7e5k 解得（2 分） （3）M 随 t 变化的函数关系的草图如图所示溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解 （5 分） 故答案为：7 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查指数型函数，属于中档题
