1、洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院 本章主要内容李雅普诺夫李雅普诺夫关于稳定性的定义关于稳定性的定义李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫李雅普诺夫第一法第一法LyapunovLyapunov第二法第二法MatlabMatlab在线性系统稳定性分析中的应用在线性系统稳定性分析中的应用洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳定性与李雅普诺夫方法 稳定性是一个控制系统工作的首要、必要条件。稳定性是一个控制系统工作的首要、必要条件。经典控制理论判稳方法：经典控制理论判稳方法：劳斯判据、根轨迹法、奈氏判据、对数频率
2、判据劳斯判据、根轨迹法、奈氏判据、对数频率判据.适用范围：线性定常系统适用范围：线性定常系统 对于简单的非线性系统，采用负倒描述函数法对于简单的非线性系统，采用负倒描述函数法洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳定性与李雅普诺夫方法 早在早在18921892年年,俄国学者李雅普诺夫（俄国学者李雅普诺夫（AleksandrAleksandr Mikhailovich Mikhailovich LyapunovLyapunov ，1857 1918)1857 1918)发表题为发表题为“运动稳定性一般问题运动稳定性一般问题”的著名文献的著名文献,建立了关建立了关 于运动稳
3、定性研究的一般理论。于运动稳定性研究的一般理论。百余年来百余年来,李雅普诺夫理论得到极大李雅普诺夫理论得到极大发发 展展,在数学、力学、控制理论、机械在数学、力学、控制理论、机械工工 程程等领域得到广泛应用。等领域得到广泛应用。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳定性与李雅普诺夫方法 18921892年俄国学者李雅普诺夫（年俄国学者李雅普诺夫（LyapunovLyapunov）提出的稳定性理论，给出了两）提出的稳定性理论，给出了两 种判别方法：种判别方法：LyapunovLyapunov第一法第一法 和和 LyapunovLyapunov第二法第二法 不仅适用于单变
4、量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它是不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它是 确定系统稳定性的更一般理论确定系统稳定性的更一般理论;LyapunovLyapunov第一法：通过求解系统微分方程，根据解的性质来判断系统的稳定第一法：通过求解系统微分方程，根据解的性质来判断系统的稳定 性性(和经典控制论是一致的）和经典控制论是一致的）;LyapunovLyapunov第二法：不用求解方程，通过第二法：不用求解方程，通过LyapunovLyapunov函数来判断系统的稳定性。函数来判断系统的稳定性。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳
5、定性与李雅普诺夫方法补充知识补充知识1 1、范数、范数对对n n维空间中任意两点维空间中任意两点x1x1和和x2,x2,它们之间距离的它们之间距离的范数范数 。12xx在工程中常用的是在工程中常用的是2-2-范数范数,即欧几里德范数即欧几里德范数,其定义式为其定义式为范数在数学上定义为度量范数在数学上定义为度量n n维空间中的点之间的维空间中的点之间的距离。距离。2121,2,1()niiixxxx由于所需要度量的空间和度量的意义的不同由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。相应有各种具体范数的定义。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳定性
6、与李雅普诺夫方法2221222231231222212|(|)nnxxxRxxxxRxxxxxRxxxxxR 向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）欧几里德范数定义为欧几里德范数定义为：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院稳定性与李雅普诺夫方法xex2211()()eenenxxxxxxexxexx0向量向量与与的距离为：的距离为：限定在某一范围时限定在某一范围时 ，记作，记作以以n n维空间中的点维空间中的点xexe为中心为中心,在在范数度量范数度量意义意义下下的的长度长度 为半径内的各点为半径内的各点所组成所组成空间体称为空间
7、体称为球球域域,记记为为 ,即：即：x2 x1 xe 2范数下球域x1 exx(,)eS x(,)eS x包含满足包含满足 的的n n维空间中的各点维空间中的各点x x。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院 在在经典控制论中，线性系统的稳定性只取决于经典控制论中，线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，系统的结构和参数，而与初始条件和外界扰动无关。而与初始条件和外界扰动无关。非线性系统的稳定性与初始条件及外界扰动的非线性系统的稳定性与初始条件及外界扰动的大小大小有关。有关。Lyapunov第二法是一种普遍适用于线性系统第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统、非线
8、性系统及及时变时变 系统系统稳定性分析的方法。稳定性分析的方法。Lyapunov稳定性定义则适用于任何系统。稳定性定义则适用于任何系统。5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义00(,),()xf x tx tx5.1.1 5.1.1 系统的平衡状态系统的平衡状态 齐次系统的状态方程：齐次系统的状态方程：在给定的初始条件在给定的初始条件 下下有唯一解：有唯一解：2.平衡状态平衡状态：(,)0efx t则称则称 为为系统的平衡状态。系统的平衡状态。
9、1 描述了系统在描述了系统在n维状态空间中从初始条件出发的一维状态空间中从初始条件出发的一条条 状态运动的轨迹状态运动的轨迹 状态轨线；状态轨线；如果存在状态矢量如果存在状态矢量 ，对于所有的对于所有的t t满足满足exexex(,)0ef x t 00(,)xt xt 00(,)xt洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义1001xAxx 注注1：对一个任意系统不一定都存在着平衡状态，即使：对一个任意系统不一定都存在着平衡状态，即使有了有了平衡状态，也平衡状态，也不不 一定一定是唯一的。是唯一的。A非奇异，
10、则原点是系统唯一的平衡状态非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态.A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡点。为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡点。例例1 线性定常系统线性定常系统1000 xx线性定常系统线性定常系统洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义123000,011eeexxx 1132122xxxxxx 注注2：对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。：对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。有以下三个平衡状态：有以下三个平衡状态：例例2 非线性系统：非线性系统：注注3：由于任意一个已知的平衡状态，都可
11、以通过：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换坐标变换将其移将其移到到 坐标坐标原点处。原点处。注注4：稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。：稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义 用用 表示表示状态矢量状态矢量x x与与平衡状态平衡状态xexe之间的距离之间的距离，用，用点点集集 表示表示 以以xexe中心中心 ，为半径的超球体，为半径的超球体，那么那么 则则表示：表示：若若状态方程状态方程 的的解解 位于球域位于球域 内，内，则则有有：exxexx5.
12、1.2 5.1.2 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义()S000(;,et xtxtt）()xS()xS00(,)t x t00(,),()xf x t xx t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义2.1.2.1.李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性若若定义：定义：状态方程状态方程 ，对于，对于00(,)exxt 则称平衡状态则称平衡状态 为李雅普诺夫意义下稳定的。为李雅普诺夫意义下稳定的。(,)xf x t0(,)0t 0都对应都对应，使得使得 当当从任意初始状态从任意初始状态x x
13、o o出发的解都满足：出发的解都满足：000(;,-,et xtxtt）ex时时 ，与与 t t0 0 无关无关，则称这种平衡状态为，则称这种平衡状态为一致稳定一致稳定。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义2.2 2.2 渐近稳定渐近稳定()ex txt定义：如果平衡状态定义：如果平衡状态xexe是是LyapunovLyapunov意义下稳定，意义下稳定，且且当当 时时，有，有 00lim(;,0ett x tx）则称平衡状态则称平衡状态 Xe是渐近稳定的。是渐近稳定的。即即：渐近稳定是一个局部概念，只能
14、确定某平衡状态渐近稳定是一个局部概念，只能确定某平衡状态的稳定性，并的稳定性，并 不不意味着整个系统能正常运行。意味着整个系统能正常运行。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义大大范围渐近稳定的必要条件范围渐近稳定的必要条件是：是：在在整个状态空间只有一个平衡状态。整个状态空间只有一个平衡状态。2.3.2.3.大范围大范围(全局全局)渐近稳定渐近稳定线性系统线性系统，平衡状态的渐近稳定就是大范围渐，平衡状态的渐近稳定就是大范围渐近近 稳定；稳定；非线性系统非线性系统，一般只是小范围渐近稳定。，一般只是小范围
15、渐近稳定。若若平衡状态平衡状态xe为渐近稳定，且从状态空间中所有初始状态出发的轨线为渐近稳定，且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都都具有具有渐近稳定性渐近稳定性，则，则称平衡状态称平衡状态xe大范围渐近稳定大范围渐近稳定。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义2.4.2.4.不稳定不稳定0如果如果对于某个实数对于某个实数 和任一个实数和任一个实数 ，不管这个实数不管这个实数 多多小，由小，由 内发出的状态轨线内发出的状态轨线，至少至少有一个状态轨线越过有一个状态轨线越过 ，则称平衡状态，则称平衡状态xe不
16、稳定。不稳定。000 x()S洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.15.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义球域球域 限制初始状态限制初始状态x0 x0的取值，球域的取值，球域 规定了系统响应规定了系统响应x(t)x(t)的边界。的边界。如果如果x(t)x(t)有界，有界，xexe在李雅普诺夫意义下稳定；在李雅普诺夫意义下稳定；如果如果x(t)x(t)有界且有界且 ，收敛于原点，则，收敛于原点，则xexe渐近稳定；渐近稳定；如果如果x(t)x(t)无界，无界，xexe不稳定。不稳定。()S()S0 xex()b()S()S0 xex()a稳定稳定
17、渐近稳定渐近稳定不稳定不稳定lim()0tx t()S()S洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.25.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 LyapunovLyapunov第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态 方程的解来判断系统的稳定性。方程的解来判断系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根就可以作出稳定性判断。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根就可以作出稳定性判断。对于非线性不是很严重的系统，则可以通过线性化处对于非线性不是很严重的系统，则可以通过线性化处 理，得到近似理，得到近似 线性方程，然后
18、再来判断。线性方程，然后再来判断。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法xAxBuyCx对于线性定常系统对于线性定常系统定理定理1 1：A系统系统的平衡状态的平衡状态 在在李雅普诺夫意义下渐李雅普诺夫意义下渐近稳定近稳定的充要条件是的充要条件是:的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。状态稳定性状态稳定性内部稳定性内部稳定性5.2.1 5.2.1 线性系统的稳定判据线性系统的稳定判据0ex 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法定义：若系统
19、对有界输入引起的输出是有界，则称系统为输出稳定。定义：若系统对有界输入引起的输出是有界，则称系统为输出稳定。1()()W sC sIAB线性定常系统线性定常系统 输出输出 稳定的充要条件为：稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于传递函数的所有极点均位于s左半平面左半平面xAxBuyCx对于线性定常系统对于线性定常系统定理定理2 2：传递函数为：传递函数为：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法10101110 xxuyx 12|(1)(1)01,1IA 例例1 1 分析系统分析系统 渐近稳定和输出稳定。渐近稳定和输出稳
20、定。解解:1 1故系统不是渐近稳定。故系统不是渐近稳定。2 2111()()(1)(1)1sW sc sIAbsss闭环极点闭环极点s s=-1=-1，位于，位于s s 平面左半部分平面左半部分，所以，所以系统为输出稳定。系统为输出稳定。结论：结论：输出稳定输出稳定渐近稳定。渐近稳定。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(,)xf x t5.2.2 5.2.2 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性设系统的状态方程设系统的状态方程 其中：其中：xexe为平衡状态；为平衡状态；是和是和x x同维的矢量同维的矢量函数且函数且对
21、对x x具有连续偏导具有连续偏导.把非线性函数在把非线性函数在xexe的邻域内展开成泰勒级数：的邻域内展开成泰勒级数：()()efxxxR xx(,)f x t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法exxx(,)xf x t()()efxxxR xx把非线性函数把非线性函数 在在xexe的邻域内展开成泰勒级数：的邻域内展开成泰勒级数：111122221212nnnnnnnnfffxxxffffxxxxfffxxx其中：其中：雅可比矩阵雅可比矩阵R(x)R(x)是泰勒展开式是泰勒展开式中的高阶导数项中的高阶导数项若：若：，可
22、得到线性化方程：，可得到线性化方程：xA x 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（1)1)如果如果A A的特征根都具有负实部的特征根都具有负实部,则非线性系统的则非线性系统的平衡状态平衡状态xexe是渐近稳是渐近稳定；定；（2 2）如果如果A A至少存在一个正实部的特征根，则至少存在一个正实部的特征根，则非线性系统的非线性系统的平衡状态平衡状态xexe是是 不稳定不稳定；xA x 近似线性化方程：近似线性化方程：（3 3）如果）如果A A至少存在一个零实部的特征根，则至少存在一个零实部的特征根，则非线性系统的非线性系统
23、的平衡状态平衡状态xexe是是 临界临界稳定，其稳定性取决于稳定，其稳定性取决于高阶导数高阶导数项项R(x)R(x)。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法TT12(0,0),(1,1)eexx11122212xxx xxxx x 例例2 2 已知非线性系统如下，分析在平衡点的稳定性已知非线性系统如下，分析在平衡点的稳定性解：系统有两个平衡状态：解：系统有两个平衡状态：在在xexe1 1处将处将其其线性化线性化：11122121221212110101 0 1,1ffxxxxAxxffxxsIA 洛阳理工学院洛阳理工学院第
24、第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法在在xexe2 2处将其线性化：处将其线性化：11122121221212101110 0,ffxxxxAxxffxxsIAjj 系统在系统在xexe2 2处无法判断处无法判断洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.2 5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 已知非线性系统如下，分析在平衡点的稳定性已知非线性系统如下，分析在平衡点的稳定性1112222124xxx xxxx x洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二
25、法 李氏第二法称为直接法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上李氏第二法称为直接法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上 。若系统的平衡状态是渐近稳定，则系统激励后其存储的能量将随着若系统的平衡状态是渐近稳定，则系统激励后其存储的能量将随着 时间的推移而衰减时间的推移而衰减;当趋于平衡状态时，其能量达到最小值当趋于平衡状态时，其能量达到最小值;反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统将不断从外界吸收能反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统将不断从外界吸收能 量，其存储的能量将越来越大。量，其存储的能量将越来越大。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普
26、诺夫第二法李雅普诺夫第二法 5.3.1 5.3.1 预备知识预备知识1 1标量函数的符号性质标量函数的符号性质V(x)V(x)是是n n维矢量维矢量x x所定义的标量函数，在所定义的标量函数，在x=0 x=0时，恒有时，恒有V(x)=0.V(x)=0.对于其它任何对于其它任何非零非零x x，有：，有：()0V x 1)1)，V(xV(x)正定；正定；2)2)V(x V(x)正半定：正半定：()0,Vx3)3)V(x V(x)负定；负定；4)4)V(x V(x)负半定；负半定；()0,Vx()0,V x 5)5)V(x V(x)不定。不定。()0,()0,V xV x洛阳理工学院洛阳理工学院第第
27、 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法2212()V xxx212()()V xxx2212()V xxx212()(32)V xxx2122()V xx xx正定的正定的半正定半正定负定负定半负定半负定不定不定洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法12,nx xx1211,nmnijijijV x xxP x x1 1）二次型函数：由）二次型函数：由n n个变量个变量组成的二次齐次多项式，称（组成的二次齐次多项式，称（n n元）二次型函数元）二次型函数 2 2）二次型）二次型函
28、数的矩阵表示函数的矩阵表示111211212222T1212()nnnnnnnnPPPxPPPxV xx PxxxxPPPx 通常通常P P为对称方阵为对称方阵 2.2.二次型标量函数二次型标量函数洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法xTxi 对于二次型函数，如果对于二次型函数，如果P P为实对称矩阵，则必存在为实对称矩阵，则必存在着正交矩阵着正交矩阵T T，通过通过变换变换 ，可化为：，可化为：二次型函数的标准型，其中二次型函数的标准型，其中 是是P P阵的互异特征根。阵的互异特征根。正定正定的充要条件是所有的特征根均
29、大于零。的充要条件是所有的特征根均大于零。TTTT-112T()0000 00nVxx Pxx T PTxxTPT xxx()V x洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.3 5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法二次型函数的符号性质二次型函数的符号性质T()V xx Px1)1)若若V(x)V(x)正定，则矩阵正定，则矩阵P P正定，记为正定，记为P0P0；设二次型函数设二次型函数 ,P,P为为n n维实对称方阵维实对称方阵0P 0P 2)2)若若V(x)V(x)负定，则矩阵负定，则矩阵P P负定，记为负定，记为P0P0%)0%若矩阵若矩阵P P的所有特征值大于的
30、所有特征值大于0,0,则则P P正定正定,dispdisp(The system is(The system is LypunovLypunov stable.)%stable.)%即系统李氏稳定即系统李氏稳定ElseElseDispDisp(The system is not(The system is not LypunovLypunov stable.)%stable.)%否则为不稳定否则为不稳定end end 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院与与连续系统一样连续系统一样,MatlabMatlab提供了求解离散李雅普诺夫矩阵代数方程的提供了求解离散李雅普诺夫
31、矩阵代数方程的函数函数dlyapdlyap()()。其中矩阵其中矩阵A A和和Q Q分别为需求解的离散时间李雅普诺夫矩阵代数方程分别为需求解的离散时间李雅普诺夫矩阵代数方程5.5 5.5 MatlabMatlab在线性系统稳定性分析在线性系统稳定性分析中的应用中的应用与连续李雅普诺夫矩阵代数方程函数与连续李雅普诺夫矩阵代数方程函数lyaplyap()()的调用格式类似的调用格式类似,函数函数dlyapdlyap()()的主要调用格式为的主要调用格式为:P=P=dlyapdlyap(A,Q(A,Q)洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.5 5.5 MatlabMatl
32、ab在线性系统稳定性分析在线性系统稳定性分析中的应用中的应用G=0 1;-0.5-1;Q=eye(size(G,1);P=dlyap(G,Q);result_state=posit_def(P);switch result_state(1:5)case posit disp(The system is Lypunov stable.)otherwise disp(The system is not Lypunov stable.)end1122(1)()01(1)()0.51x kx kx kx k洛阳理工学院洛阳理工学院第第 5 章章洛阳理工学院洛阳理工学院本本 章章 小小 结结李雅普诺夫稳定定义李雅普诺夫稳定定义李氏第一法李氏第一法李氏第二法在线李氏第二法在线性定常系统中应用性定常系统中应用李氏第二法李氏第二法
