1、【新结构】(菏泽二模)山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A. B. C. D. 2.已知向量，且，则x的值是()A. B. C. D. 63.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有()A. 9种B. 36种C. 38种D. 45种4.如图，在正方体中，则下列结论中正确的是()A. 平面B. 平面平面C. 平面D. 平面内存在与EF平行的直线5.已知是等差数列，在数列中，若是等
2、比数列，则的值为()A. 6072B. C. D. 6.下列结论正确的是()A. 已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大B. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人D. 已知随机变量，若，则7.已知，分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数，且，若在上有n个不同的根，则的值是()A. 0B. C. D. 不存在二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，
3、有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列选项正确的有()A. 若是方程的一个根，则，B. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C. 若复数z满足，则的最大值为D. 若复数，满足，则10.如图，已知二面角的平面角大小为，垂足分别为A，B，若，则下列结论正确的有()A. 直线CD与平面所成角的余弦值为B. 点D到平面的距离为C. 平面BCD与平面夹角的余弦值为D. 三棱锥外接球的表面积为11.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，下列结论正确的有()A. 函数与函数无公共点B. 若，则C. D. 所有满足的点组成区域的面积为三、填空题：本题共3小题，
4、每小题5分，共15分。12.已知，集合则集合C中所有元素之和为_.13.已知函数的图象与圆有两个交点，则r的取值范围为_.14.已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为_.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知在中，的面积为求角C的度数;若，D、E是AB上的动点，且始终等于，记当DE取到最小值时，求的值.16.本小题15分已知函数的图象与x轴交于点P，且在P处的切线方程为，记参考数据：求的解析式;求的单调区间和最大值.17.本小题15分
5、甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为记甲乙两人的答题总次数为求当时，求甲得分X的分布列及数学期望;若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为证明：18.本小题17分如图，已知F为抛物线的焦点，过F的弦AB交曲线于点与F不重合求证：点M为弦AB的中点;连OM并延长交抛物线于点C，求面积的最小值.19.本小题17分定义二元函数，同时满足：三个条件.求，的值;求
6、的解析式;若，比较与0的大小关系，并说明理由.附：参考公式答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用函数的图像判断函数的单调性.如果对函数的定义域、图象和性质掌握不好，本题很容易判断错误，如果对指数函数的图象不清楚，则可能错选 A，若不记得对数函数的定义域，则可能错选【解答】分别画出这四个函数的图象，如图所示C.因为对数函数的定义域不是R，所以排除选项C；A.因为指数函数，即，在定义域内单调递减，所以排除选项A；D.对于函数，当时，函数变为，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；B.而函数在定义域R上为增函数故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的
7、模，属于基础题根据可得，进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果.【解答】解：因为，即化简，整理得，则，解得3.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于基础题.利用排列、组合数即可求解.【解答】解：由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种4.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题.建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可.【解答】解：因为为正方体，设正方体边长为2，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，同理解得平面的法向量，故A不正
8、确；，故B不正确；，所以，又，所以平面，C正确；平面的一个法向量为，故D不正确；5.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差、等比数列的综合应用，属于基础题.求出公差，得，求出公比，得，即可求【解答】解：设的公差为d，的公比为q，则由题意可得，a41，即，解得，所以根据已知又有：b11，b44，则，得所以，进而故6.【答案】D【解析】【分析】本题考查平均数、方差、回归直线方程、正态分布和二项分布的期望，属于基础题.对选项逐个判断即可.【解答】解：对于A、新数据的总和为与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变原数据极差为：，新数据极差为：，而，即极差变小了，由于两组数据的平均数不变，而极
9、差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故 A错误；对于B、因为回归直线方程必过样本中心点，所以，解得，故B错误；对于C、期中考试数学成绩，的人数为，故C错误；对于D、因为X，所以，所以，解得，故D正确;7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于一般题.求出，令，由即可求解.【解答】解：椭圆的离心率，双曲线的离心率，则，不妨令，若双曲线的渐近线的斜率不超过，即，则，此时即则的最大值是38.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了的图象与性质，是中档题.由题意可得，利用方程的根与函数图像交点的关系，得，从而可得的值.【解答】解：由，得，又，所以，即，若，则，
10、当，所以在上有4个不同的根，且，即，所以9.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数模及其几何意义，复数乘除运算，复数范围内方程的根，属于中档题.通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断【解答】解：若是方程的一个根，则方程的两个根分别，所以，所以，A错误；由题意可知，所以，所以向量表示的复数为，故B正确；设，x，若复数z满足，则在复平面内点在圆上，圆C的圆心，半径，则的几何意义为原点到圆C上点的距离，又，则的最大值为，C正确；因为，所以，所以，D正
11、确.10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查二面角，直线与平面所成的角，点到面的距离，外接球问题，属于难题根据二面角，直线与平面所成的角，点到面的距离，外接球等知识对各个选项逐一分析即可.【解答】解：对于A，过点A作，使得，过点B作，使得，连接CF，ED，过点C作，垂足为点H，过点D作，垂足为点G，由题意可知，则，所以即为的二面角，则，同理可得，且四边形AEDB，ACFB为矩形，又，CA，平面CAE，则平面CAE，又平面CAE，所以，又，AB，平面AEDB，则平面AEDB，所以为直线CD与平面所成的角，又，则所以，所以，故A正确；对于B；，DB，平面FBD，则平面FBD，又平面FBD，所以
12、，又，AB，平面ABFC，则平面ABFC，又由A可知，所以，即点D到平面的距离为，故B正确；对于C；连接CB，过点D作，垂足为M，由B可知平面ABFC，又平面ABFC，所以，又，DG，平面DGM，则平面DGM，又平面DGM，所以，所以为的二面角，又，由三角形相似可得：，所以，故C错误；对于D；设三棱锥的外接球球心为O，因为，取AD的中点为K，取CB的中点为L，AB的中点为N，连接OK，OL，KN，LN，则平面ABD，平面CAB，又平面ABD，则，又，KN，平面KNO，则平面KNO，同理可得平面NOL，则O，L，N，K四点共面，且，则，所以，又，所以，即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，故D
13、正确；故选11.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题作出函数与函数的图像，即可判断A；根据x的取值范围，分别求出，的值，判断对k的取值分类讨论，即可判断C；对m，n的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断【解答】解：函数与函数的图像如图所示，由图可得函数与函数无公共点，A正确；若，则，则，即，B正确；当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，C错误；当时，此时组成区域的面积为1，当时，此时组成区域的面积为1，当时，此时组成区域的面积为1，当时，此时组成区域的面积为，综上点组成区域
14、的面积为，D正确.12.【答案】5【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.求出C，即可得集合C中所有元素之和.【解答】解：由题意，得，则集合C中所有元素之和为13.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数函数的图象的交点个数问题，圆的方程，属于中档题.利用导数判断出函数的单调性与极值，作出函数和圆的图象，结合图象可得r的取值范围.【解答】解：，则，当时，；当时，；可知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图：可知函数在处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点，当，即时，圆与函数的图象有两个交点，可得
15、r的取值范围为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了组合体的体积，棱柱、棱锥的体积公式，属于中档题.结合图形可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，分别求得两个四棱柱的体积，再求得正四棱锥的体积，得到挖去部分的体积，即可求得结果.【解答】解：如图：，可知四棱锥为正四棱锥，四边形为边长为2的正方形，棱锥的高为1，可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，四棱柱的底面EFGH是边长为的正方形，则，同理可得，则挖去部分的体积为，可得原正方体剩下部分的体积为15.【答案】解：设，则，所以，由C为的内角，所以，又，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，当时，DE取到最小值，此时
16、，即【解析】本题考查正弦定理，三角恒等变换，三角形面积公式，属于中档题.设，则，求解即可；根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可.16.【答案】解：由题意与x轴的交点，又，在点P处的切线的斜率，在点P处的切线方程为，即切线方程为；由知，所以，令得，x，的变化情况列表如下，x02-+-减函数极小值增函数极大值减函数所以的单调增区间为，单调减区间为和，又，的最大值为【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数单调性与最值，属于中档题.根据已知函数求导得到斜率求解切线方程即可；先求，利用导数求函数单调性，进而得到最值.17.【答案】解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，则
17、，解得；由题意可知当时， X可能的取值为0，1，2，则由可知，X的分布列为：随机变量X的数学期望为由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，则0，又时，随着m的增大而增大，【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列，以及数学期望，属于较难题.根据独立事件概率公式直接计算即可；先求出X的可能取值，并列分布列结合等比数列前n项和公式求解并证明即可.18.【答案】解：设直线AB：𝑚， AB的中点为，则A，B的坐标满足方程组，得：，所以，所以AB 中点的坐标为解方程组解得即 M与重合， M 为 AB 中点；由知直线，解得，由，所以，所以令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，面积取得最小值【解析】本题主要考查了直线与抛物线的关系，还考查了利用导数求最值，属于较难题.联立，得，再联立，得M为中点；关键是求出，然后令，即得到，求导即可求出最小值.19.【答案】解：由条件可得，由条件可得，由条件可得：，将上述个等式相加，得由条件可得：，将上述个等式相加，得由，所以，当且仅当时，上式取得等号.即时，均有，所以当时，当时，当时，所以【解析】本题考查函数的新定义问题，累加法求数列的通项公式的应用，属于较难题.根据二元函数满足的条件计算即可；根据累加法求解；根据裂项相消求解即可.
