1、2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019期末质量检测卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知复数,则()AB1C2D42已知向量,则向量与夹角的大小等于()ABCD3某学生通过计步仪器,记录了自己最近30天每天走的步数,数据从小到大排序如下:558860548799985199011011111029112071263412901130011309213127132681356213621137611380114101141721419114292144261446814562146211506115601159011
2、9972估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为()A14292B14359C14426D144684在中,若满足条件的有且仅有一个,则的取值范围是()ABCD5已知中,若,则()ABCD6已知圆台的上、下底面中心分别为,且,上、下底面半径分别为2,12,在圆台容器内放置一个可以任意转动的球,则该球表面积的最大值为()ABCD7已知、是不重合的两条直线,、是不重合的两个平面,则下列结论正确的是()A若,则B若,则C若,则D若,则8某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示,已知正方体边长为6,则该石凳的体积为()A180B36C72D2
3、16二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9下列叙述错误的是()A用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样B若事件发生的概率为,则C甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动,抽签决定谁去,则先抽的概率大些D对于任意两个事件和,都有10若正方形,O为所在平面内一点,且,则下列说法正确的是()A可以表示平面内任意一个向量B若,则O在直线BD上C若,则D若,则11在中,角所对的边分别为,且,将分别绕边,所在的直线旋转一周,形成的几何体的体积分别记为,侧面积分别记为则()ABCD三、填空题:本
4、题共3小题,每小题5分,共15分12如图,作用于同一点的三个力,处于平衡状态,已知,与的夹角为,则的大小为 .13在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等,记为,平均数为,若随机删去其中一轮的成绩,得到一组新数据,记为,平均数为,下面说法正确的是 .(写出所有正确选项)新数据的极差可能等于原数据的极差.新数据的中位数可能等于原数据的中位数.若,则新数据的方差一定大于原数据方差.若,则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.14如图,在正方体中,E为AD的中点,点F在CD上,若平面,则 .四、解答题:本题共5小题,第15小题13分,第16、17小题15分,第18、19小题17分,共77
5、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在中,内角的对边分别是,且.(1)求的值;(2)若的周长为18,求的面积.16某校组织反间谍法知识竞赛,将所有学生的成绩(单位:分)按照,分成七组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人,再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲,求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.17如图所示,设,是平面内相交成角的两条数轴,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.(1)设,
6、求的值;(2)若,求的大小.18如图,六棱锥的底面是边长为1的正六边形,平面,.(1)求证:直线平面;(2)求证:直线平面;(3)求直线与平面所的成角.19如图,在直角梯形ABCD中,边AD上一点E满足,现将沿BE折起到的位置,使平面平面BCDE,如图所示.(1)在棱上是否存在点F,使直线平面,若存在,求出,若不存在,请说明理由;(2)求二面角的平面角的正切值.参考答案:1B【分析】根据条件,利用共轭复数的定义及复数的运算法则,得到,再利用复数模的定义,即可求出结果.【详解】因为,所以,得到,故选:B.2C【分析】根据给定条件,利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量,则,而,则,所以向量
7、与夹角的大小等于.故选:C3C【分析】根据给定数据,利用第75百分位数的意义求解即得.【详解】由,得样本的第75百分位数为第23个数据,据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.故选:C4A【分析】由正弦定理判断的取值范围即可.【详解】由正弦定理,则,即,由题意仅有一值,故或,解得或.故选:A5D【分析】在中,由正弦定理,在中,由正弦定理,两式相除可得,设,可得,可求.【详解】由,可得D为BC中点,因为,故,在中,由正弦定理,在中,由正弦定理,两式相除可得,;设,而,可得,则.故选:D.6B【分析】由题意作出轴截面,利用直角三角形知识求得,即可求解球的表面积.【详解
8、】如图所示,根据题意可知.设圆台内能放置的最大球的球心为,且与底面和母线AB分别切于两点,因为,所以,所以,所以可知球的半径,此时球的直径为,即此时球与圆台上底面不相切,因此圆台内能放置的最大球的表面积.故选:B【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出
9、截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.7C【分析】根据空间中线面、面面的位置关系逐项判断即可.【详解】对于A选项,若,则与不一定垂直,A错;对于B选项,若,则与的位置关系不确定,B错;对于C选项,若,则,由线面平行的判定定理可得,C对;对于D选项,若,则、平行或异面,D错.故选:C.8A【分析】利用多面体的体积公式计算即可.【详解】根据题意可知该石凳的体积为.故选:A9CD【分析】利用简单随机抽样的定义、概率的性质、结合抽签法的性质与并事件的概率性质,逐一分析判断即可得解.【详解】对于A,用抽签法从件产品中选取件进行质量检验,满足简单随机抽样的定义,故A正确;对于B,根据概率的定义
10、可得,若事件发生的概率为,则,故B正确;对于C,甲、乙、丙三位选手抽到的概率是,故C错误;对于D,对于任意两个事件和,只有当事件和是互斥事件时,才有,故D错误.故选:CD.10ABD【分析】A由平面向量基本定理判断;B由向量共线的推论判断;C利用向量加法、数乘等线性运算用表示出;D由题设可得,若为中点,则,即可判断.【详解】A:由题意,又,以为基底的坐标系中,根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,对;B:由向量共线的推论知:,则O在直线BD上,对;C:由题设,则,所以,错;D:由,则,若为中点,则,即且,如下图示,所以,对.故选:ABD11AD【分析】先分别求出将绕边、旋转一周形
11、成的几何体的体积和侧面积,然后对四个选项逐一判断即可.【详解】将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,其底面半径是,母线长为,高为. 所以其体积,其侧面积;将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥,其底面半径是,母线长为,高为. 所以其体积,其侧面积;将绕边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥,其底面半径是,母线长分别为和,高之和为. 所以其体积,其侧面积.对于选项A:,故A正确;对于选项B,故B错误;对于选项C:,而,所以,故C错误.对于选项D,故D正确;故选:AD.12【分析】根据题意,结合平面向量的运算法则和向量的数量积的计算公式,准确计算,即可求解.【详解】因为,三
12、个力处于平衡状态,所以,则,所以.故答案为:.13【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念,以及百分位数的概念及计算方法,逐项判定,即可求解.【详解】对于,若随机删去任一轮的成绩,恰好不是最高成绩和最低成绩,此时新数据的极差可能等于原数据的极差,所以正确;对于,不妨假设,当时,若随机删去的成绩是,此时新数据的中位数等于原数据的中位数,所以正确;对于,若,即删去的数据恰为平均数,根据方差的计算公式,分子不变,分母变小,所以方差会变大,所以正确;对于,若,即删去的数据恰为平均数,在按从小到大的顺序排列的5个数据中,因为,此时原数据的分位数为第二数和第三个数的平均数;删去一个数据后的4个数据,从
13、小到大的顺序排列,可得,此时新数据的分位数为第二个数,显然新数据的分位数小于原数据的分位数,所以错误.故答案为:.14【分析】根据线面平行的性质定理,可得到,即可求的长.【详解】根据题意,因为平面,平面,且平面平面所以.又是的中点,所以是的中点.因为在中,故.故答案为:15(1)(2)【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长,再利用面积公式求解.【详解】(1)因为,所以因为,所以,则.(2)因为,所以.因为,所以,解得.因为的周长为18,所以,解得,则.故的面积为.16(1)(2)【分析】(1)利用频率之和为1,列式求解,利用平均数的计算公式求解即可
14、;(2)根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数,利用古典概型的概率公式计算.【详解】(1),解得,这次竞赛成绩平均数的估计值为.(2)不低于85分的三组频率之比为,用分层随机抽样的方法抽取12人,应从第六组和第七组分别抽取4人和2人,设第六组的4人为,第七组的2人为甲、乙,于是从这6人中任选2人的所有情况为:甲乙,甲,甲,甲,甲,乙,乙,乙,乙,共15种,其中甲、乙至少有1人被选中的有9种,所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.17(1)6(2)【分析】(1)根据平面向量数量积的定义进行求解即可;(2)根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】(1),;(2),.18(1
15、)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】(1)通过证明结合线面平行判定定理可证;(2)由勾股定理证得,再结合可证;(3)先说明即为直线与平面所的成角,再求得正切值可解.【详解】(1)证明:正六边形,平面,平面,直线平面.(2)在中,易得,在中,,,因为平面, 平面,故,,平面,故直线平面.(3)平面,即为直线与平面所的成角,在中,即为直线与平面所的成角为.19(1)存在,(2)2【分析】(1)设的中点为N,证得四边形DENF是平行四边形,得到,得出平面,进而得到结论;(2)连接CE,取BE中点O,作于M,证得,得到为二面角的平面角,在直角中,即可求解【详解】(1)解:当F是AC的中点时,直线平面.证明如下:设的中点为N,连接EN,FN,因为,且,所以且,所以四边形DENF是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面,所以存在点F,使平面,且.(2)解:在平面图形中,连接CE,则,所以,如图所示,取BE中点O,连接,则,因为平面,平面平面,且平面平面,所以平面,又因为平面,所以作于M,连接,因为,且平面,所以平面,又因为平面,所以,所以为二面角的平面角,在直角中,可得,故二面角的平面角的正切值为