1、1第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体：刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变物体上任意两点之间的距离保持不变受力不发生形变受力不发生形变23.13.1 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述3.1.1 3.1.1 刚体的运动刚体的运动 刚体的基本运动可以分为刚体的基本运动可以分为平动平动和和转动转动，刚体的各，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体的平动刚体的平动是指刚体在是指刚体在运动过程中其中任意两点的运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼
2、此平行）。刻始终保持彼此平行）。平动的刚体可看作质点模型。平动的刚体可看作质点模型。3刚体的转动比较复杂，我们只研究刚体的定轴转动。刚体的转动比较复杂，我们只研究刚体的定轴转动。刚体的定轴转动刚体的定轴转动是指是指刚体上各点都绕同一直线刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的在空间的位置保持不动的一种转动。一种转动。这条直线称为这条直线称为转轴转轴。43.1.2 3.1.2 刚体的角量描述刚体的角量描述 1.1.角坐标角坐标 o 描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。Px在转动平面内，过在转动平面内，过O O点作一点作一极轴，设极轴
3、的正方向是水极轴，设极轴的正方向是水平向右。平向右。过过P P作垂直于转轴的横截面作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面与（转动平面），转动平面与转轴的交点为转轴的交点为O O。角称为角称为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）。连接连接OPOP，OPOP与极轴之间的夹角为与极轴之间的夹角为。角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。单位：单位：弧度，弧度，rad5在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：=（t t），叫做），叫做转动方程转动方程。描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。t+tt+t时刻，质点到达时刻，质点到达P P/
4、，角坐标为，角坐标为 /。t t时刻时刻，质点在质点在P P点，角坐标为点，角坐标为，角坐标的增量为角坐标的增量为：称为刚体的称为刚体的角位移角位移xyP p2v1vR2.2.角位移角位移 角位移的大小表示了刚体在角位移的大小表示了刚体在tt时间内角位置变化的多少。时间内角位置变化的多少。单位：单位：弧度，弧度，rad6描写刚体转动快慢和方向的物理量。描写刚体转动快慢和方向的物理量。平均角速度平均角速度t单位：单位：弧度弧度/秒，秒，rad/s3.3.角速度角速度 (瞬时瞬时)角速度角速度tt0limdtd(瞬时瞬时)角速度是矢量，但对于刚体定角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两
5、个，在表轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时角速度的正负数值就显示示角速度时角速度的正负数值就显示角速度的方向，不必用矢量表示。角速度的方向，不必用矢量表示。(瞬时瞬时)角速度角速度方向：方向：满足右手定则，满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。沿刚体转动方向右旋大拇指指向。74.4.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度(瞬时瞬时)角加速度角加速度描写角速度变化快慢和方向的物理量。描写角速度变化快慢和方向的物理量。t t到到t+tt+t时刻，刚体角速度的增量为：时刻，刚体角速度的增量为：ttt0limdtd22dtd单位：单位：弧度弧度/秒秒2，rad/s2 方向：方向：角速
6、度变化的方向。角速度变化的方向。008 角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。总结总结:对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。角位移、角速度和角加速度来描述。5.5.定轴转动刚体上任一点的速度和加速度定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 路程与角位移的关系路程与角位移的关系rsxosrpp线速
7、度与角速度的关系线速度与角速度的关系rv 9加速度与角加速度的关系加速度与角加速度的关系 可将作圆周运动的质点的加速度沿圆可将作圆周运动的质点的加速度沿圆周轨道的切向和法向分解为两个分量。周轨道的切向和法向分解为两个分量。ora ana aa adtdvat切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：rvan2nntteaeaa圆周运动时加速度与角量的关系圆周运动时加速度与角量的关系dtdvatrvan2rdtdrrr2)(2r103.23.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律3.2.1 3.2.1 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 1.1.力对转轴的矩力对转轴的矩 力对固定点的矩力对固定
8、点的矩FrM对轴的矩就等于力对固定点对轴的矩就等于力对固定点O O的矩。的矩。力对固定轴的矩力对固定轴的矩（1）力垂直转轴）力垂直转轴OPdrrFM（2）力与转轴不垂直）力与转轴不垂直FF转轴转轴o rFz转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴的可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。分量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。即对轴的矩为零。即FrM大小大小:sinrFM11a)a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为零力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为零；b)b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；同一个力对不同
9、的转轴的矩不一样；c)c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交点对交点O O的矩等值。但不能说完全相同的矩等值。但不能说完全相同。d)d)在定轴转动中在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体，如果有几个外力同时作用在刚体上，它们的作用可以与某一个力矩相当，这个力矩上，它们的作用可以与某一个力矩相当，这个力矩叫做这几个力的叫做这几个力的合力矩合力矩。合力矩与合力的矩是不同。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。的概念，不要混淆。说明：说明：力矩的计算力矩的计算 计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定
10、在同一处在同一处(如例如例1 1），则应当采取分小段的办法，先计），则应当采取分小段的办法，先计算每一小段上的作用力（分力）产生的矩，再求和。算每一小段上的作用力（分力）产生的矩，再求和。12例例1 1：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩因离轴的具体不同而不同擦阻力矩因离轴的具体不同而不同mlodmdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm质元质量质元质量dxdm质元受阻力矩：质
11、元受阻力矩：dmgxdM阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩阻阻dMM221gllmmgl21lgxdx0132.2.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元 ，imiiiiamfF刚体外其他物体对它的合作用刚体外其他物体对它的合作用力力(外力外力)为为 ，刚体上其它质，刚体上其它质元对它的作用力为元对它的作用力为 ，iFifim对对 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iniininamfF:法向 法向力作用线通过转轴，力矩为零。法向力作用线通过转轴，力矩为零。itiititamfF:切向14itiititamfF:切向两边乘以两边乘以r ri i,有：有：iitiiit
12、iitramrfrF)(2iiiitiiitiitrmramrfrF对所有质元的同样的式子求和，有：对所有质元的同样的式子求和，有：左边第二项左边第二项 表示表示内力矩之和内力矩之和，等于，等于零零iitrf左边第一项左边第一项 表示表示合外力矩合外力矩，记作，记作iitrFM右边右边 只与刚体的质量和质量相对转轴的只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关分布有关表示，称为刚体对轴的表示，称为刚体对轴的转动惯量转动惯量，记作，记作)(2iirmJ则上式可简写成则上式可简写成JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律15JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 刚体所受的对于刚体所受的对于某一固定转动轴
13、某一固定转动轴的合外力矩等的合外力矩等于刚体于刚体对此转轴对此转轴的转动惯量与刚体在的转动惯量与刚体在此合外力矩此合外力矩作作用下所获得的角加速度的乘积。用下所获得的角加速度的乘积。注意几点注意几点:1.上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。2.MM、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。4.转动惯量转动惯量J J是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。3.具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。163.2.2 3.2.2 定轴转
14、动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量 iiiJ)rm(J2转动惯量转动惯量 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。转轴的垂直距离的平方的乘积之和。刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。以及转轴的位置有关。对于质量连续分布的刚体：对于质量连续分布的刚体：VVVrmrJdd22SSSrmrJdd22（面质量分布）（面质量分布）LLlrmrJdd22（线质量分布）（线质量分布）在（在（SISI）中，）中，J J的单位：的单位：kgmkgm2 2 量纲：
15、量纲：MLML2 217例：例：半径为半径为 R 质量为质量为 m 的圆环，绕垂直于圆环平面的的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量质心轴转动，求转动惯量J。Rmo解：解：dmmdmRJ02分割质量元分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，圆环上各质量元到轴的距离相等，mdmR022mR绕圆环质心轴的转动惯量为绕圆环质心轴的转动惯量为2mRJ 例：例：在无质轻杆的在无质轻杆的 b 处处 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的的质点，可绕质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量轴转动，求：质点系的转动惯量J。解：解：212iiirmJ22)3(2bmmb211mb
16、18oR例例:一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRrdr19例：例：如图所示，一质量为如图所示，一质量为m、长为、长为l的均质空心圆柱体的均质空心圆柱体（即圆筒），其内、外半径分别为（即圆筒），其内、外半径分别为R1和和R2。试求对几。试求对几何轴何轴oz的转动惯量的转动惯量J。1R2Rrdrozll)rdr(dVdm,drrl,)RrR(r221则该质元的质量为厚度为半径为其长为柱壳形状的质元取一薄圆处在半径为解
17、：lRRm)(2122圆筒的体密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(212221RRmJ221221,21,0mRJRRRmRJRRR若若20例例 求长度为求长度为L，质量为，质量为m的均匀细棒的均匀细棒AB的转动惯量。的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。xoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCmAdmxJ232mLLdxx02解解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：lm331L（2）对于通过棒的中心的轴对于通过
18、棒的中心的轴2/2/2LLcdmxJ2121mL3121L2/2/2LLdxx2)2(LmJJCA21平行轴定理平行轴定理上例中上例中J JC C表示相对通过表示相对通过质心质心的轴的的轴的转动惯量，转动惯量，J JA A表示相对通过棒端表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2L/2。222231411212mLmLmLLmJJCA定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴刚体绕平行于质心轴的转动惯量的转动惯量 J J，等于绕质心轴的，等于绕质心轴的转动惯量转动惯量 J JC C 加上刚体质量与两加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。轴间的距离平方的乘积。
19、JmCJdC2mdJJC刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。22)Lm(JJCA22例例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r。）。）rO摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ23例例 一个质量为一个质量为m m1 1、半径为的定滑轮、半径为的定滑轮(当当作均匀圆盘作均匀圆盘)上面绕有细绳，绳的一端固定上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上
20、，另一端挂一质量为在滑轮边上，另一端挂一质量为2 2的物体的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体2 2由静止由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。解：解：R aamTgm22222,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定轴定轴0Rhm2绳绳Tm2g对对m1：对对m2：3.2.3 3.2.3 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 24例例 一质量为一质量为m,长为长为L的均质细棒的均质细棒,转轴在转轴在O O点点,今使今使棒从静止开始由水平位置绕棒从静止开始由水
21、平位置绕O O点转动点转动,求求:（1 1）下摆到）下摆到角角时，细棒所受的重力矩时，细棒所受的重力矩;（2 2）水平位置的角速度）水平位置的角速度和角加速度和角加速度;（2 2）垂直位置时的角速度和角加速度。）垂直位置时的角速度和角加速度。OxdmgdmCmg解：解：（1）在棒上取质元）在棒上取质元dm，设其，设其距距O点的水平距离为点的水平距离为x，则，则dm受到受到的重力矩为的重力矩为xxgdmdMG棒受到总的重力矩棒受到总的重力矩xdmgxgdmMGcGmgxM据据质心定义质心定义mxdmxC即即cos2lmgMG得得25(2)(2)水平位置水平位置02LmgMG231mRJ LgJM
22、G23(3)(3)任意角度任意角度cos2LmgMGLgJMG2cos3Lgdddddtddtd2cos3又又垂直位置垂直位置dLgd2002cos3解得解得Lg3026例例 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为的半径为r，质量为，质量为m；大圆盘的半径；大圆盘的半径r=2r，质量，质量m=2m。组合轮。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转动，对转动，对o轴的轴的转动惯量转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各。两圆盘边缘上分别
23、绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为悬挂质量为m的物体的物体A和和B，这一系统从静止开始运动，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相绳与盘无相对滑动且长度不变。已知对滑动且长度不变。已知r=10cm。求：求：（1）组合轮的角加速度；组合轮的角加速度；（2）当物体上升当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。时，组合轮的角速度。ra 2srad310192.)r(g:解得rh:,)2(则为组合轮转过的角度设121208.9)2(2sradrh解：解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo29)2(2mrTrrT)2(ra amTmgmamgT273.33.3 定轴转动刚体的功与能定轴转动刚体的功与能1
24、.1.力矩的功力矩的功 oPFddsrz力矩的功为时转到使刚体由力,0F0MdA 刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。相应力矩和角位移的乘积。刚体在力刚体在力 作用绕轴转过一微小角位移作用绕轴转过一微小角位移 d，F力力 作功为：作功为：FrdFdA|)2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA 28注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。表达方式。2)2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。2
25、.2.刚体的动能刚体的动能 zmiiriv第第i个质元的动能：个质元的动能：222k2121iiiiirmmEv整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：22kk21iiirmEE22)(21iirm2k21JE 293.3.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 设在外力矩设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：元功：ddMA由转动定律由转动定律tJMdddddddJtJW有有21dJW21222121JJ刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。做的功等于刚体转动动能的
26、增量。30mocmgNA0vh.sin2.,:lmgONN重力矩为其力矩为零点过轴对杆的支承力作用于杆的力有重力及解dlmgdAsin2)cos1(2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1(代入上式得将220202121021lvJJmgh由转动动能定理得gvh320解得例题例题 一长为一长为l，质量为，质量为m的均匀细长杆的均匀细长杆O A，可绕通过其一端点，可绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点A过最低点时的过最低点时的速率为速率为v0，杆对通过端点，杆对通过端点O而垂直于杆长的轴的转动惯量而垂直于杆长的轴的转
27、动惯量 J=ml2/3，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时A点升点升高的最大高度。高的最大高度。314.4.刚体的重力势能刚体的重力势能 iighmEp hc-质心的高度质心的高度刚体仍是个质点系刚体仍是个质点系,根据质点系的功能原理：根据质点系的功能原理：cmgh mhmmgii mimchihc若若 dA外外+dA内非内非=o，则，则 Ek+Ep=常量常量.-机械能守恒定律机械能守恒定律A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）5.5.定轴转动刚体的功能定理定轴转动刚体的功能定理 323.43.4 定轴转动刚体
28、的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律3.4.1 3.4.1 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量iiiimRLviiiiRmLv沿转轴沿转轴Oz的投影为的投影为iL)2cos(iizLLsiniiiRmv质元质元 对点的角动量为对点的角动量为 imziLOxyiriRivimiiirm v2iirm33刚体对刚体对OZ轴轴的转动惯量的转动惯量iiiizrmLv2iirm刚体对刚体对Oz轴的角动量为轴的角动量为 iiiiiiiizzrmrmLL)(22得得zzJL 刚体定轴转动时，上式可简写为刚体定轴转动时，上式可简写为 JL 34定
29、轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM定轴转动刚体角动量定轴转动刚体角动量定理微分形式定理微分形式定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。对时间的变化率。000LLdLMdtLLtt定轴转动刚体角动量定轴转动刚体角动量定理积分形式定理积分形式作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。353.4.2 转动刚体对定轴的角动量定理守恒定律转动刚体对定轴的角动量定理守恒定律 恒量 JL0M当当时，
30、则时，则1221dLLtMtt刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理dtdLM 刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。刚体对该转轴的角动量保持不变。注意：注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。定轴转动的任意物体系统。36说明：说明：1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。的乘积不变。3.3.几个物体（或质点）组成的系几个物体（或质点）组成的系统，绕一公
31、共轴转动，如果各个统，绕一公共轴转动，如果各个物体（或质点）相对于转轴的距物体（或质点）相对于转轴的距离可以发生变化，则对该公共转离可以发生变化，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒此轴的总角动量守恒iiiJ恒量2.2.对定轴转动的单个刚体，定轴转动惯量对定轴转动的单个刚体，定轴转动惯量J J是常量，当合是常量，当合外力矩外力矩M M为零时，角速度为零时，角速度将保持不变，刚体匀角速转动。将保持不变，刚体匀角速转动。37例：例：在摩擦系数为在摩擦系数为桌面上有细桌面上有细杆，质量为杆，质量为 m、长度为、长度为 l，以初，以初始角速度始角速度
32、0 绕垂直于杆的质心绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。停止转动。olm,0解：解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。确定细杆受的摩擦力矩确定细杆受的摩擦力矩分割质量元分割质量元dm细杆的质量密度为：细杆的质量密度为：lm/dxdm质元受的摩擦力矩质元受的摩擦力矩dmgxdM细杆受的摩擦力矩细杆受的摩擦力矩2/2/lldMMmgl4138始末两态的角动量为：始末两态的角动量为：00IL 由角动量定理：由角动量定理：00LLMdttt
33、00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本题也可用运动学方法求解，由本题也可用运动学方法求解，由 M=JM=J,和和 =0 0+t t,求出求出 t t=0 0/。0 ,Lolm,0dmxdxx2/l2/l39o1o 2例：例：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kg m2,伸伸臂时臂长为臂时臂长为 1m，收臂时臂长为，收臂时臂长为 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸的哑铃。伸臂时转动角速度臂时转动角速度 1 =3 s-1,求收臂时的角求收臂时的角速度速度 2
34、。解：解：整个过程合外力矩为零，角动量守恒整个过程合外力矩为零，角动量守恒2211JJ21012mlJJ21526022022mlJJ22.052602mkg702mkg4.602112JJ4.607031-s5.3由转动惯量的减小，由转动惯量的减小，角速度增加。角速度增加。40例例 有一长为有一长为l，质量为，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为的固定光滑轴转动。另有一质量为m2、水平运动的、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端小滑
35、块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和和u，则碰撞后棒，则碰撞后棒绕轴转动的角速度绕轴转动的角速度 为多大？为多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角动量守恒矩作用则系统不受外力间摩擦阻力矩对于整个系统不考虑轴解ulmJvlm222131lmJO转动的转动惯量为细棒绕lmmuv12)(3代入上式求得41lm uvmo 杆的角速度杆的角速度 肯定如图，肯定如图，假设小球碰后瞬时的速假设小球碰后瞬时的速 度度 向上，如图所示。向上，如图所示。v
36、例：例：质量质量m长长l的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴定轴O转动，如果一质量为转动，如果一质量为m的小球以速度的小球以速度 竖直落到竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。求：碰后求：碰后小球的速度及杆的角速度。小球的速度及杆的角速度。u解：解：以小球以小球+细杆组成的系统为研究对象，细杆组成的系统为研究对象，M外外=0，系统的角动量守恒系统的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）内力矩相比可以忽略）42)1(212122lvmmllum 因
37、为弹性碰撞因为弹性碰撞,机械能能守恒机械能能守恒)2(2112121212222vmmlum 联立联立(1)(2)解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 讨论：讨论：当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上）当当 m=3m 时时,v=0（瞬时静止）（瞬时静止）当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）43例例 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态，令它自静止状态下垂下垂
38、,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度下端达到的高度h。chchh=3h0/2bamlhol解解:碰撞前单摆碰撞前单摆摆锤的速度为摆锤的速度为002ghv 44令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为，摆锤的速度为v v。在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:lvvv23,200二式联立解得：二式联立解得：2031,)(mlJJvvml式中222021)(21Jvvm按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为40hh而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到
39、的高度满足cmghJ2212320hhhc由此得由此得由角动量守恒，有：由角动量守恒，有：45解：解：两飞轮通过摩擦达到共同速度两飞轮通过摩擦达到共同速度,合合外力矩为零，系统角动量守恒。外力矩为零，系统角动量守恒。1J2J12)(212211JJJJ212211JJJJ共同角速度共同角速度啮合过程机械能损失：啮合过程机械能损失：EEE0例例：两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分，角速度分别为别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合。啮合过程机械能损失。过程机械能损失。221222211)(21)2121(JJJJ)(2)(2122121JJJJ
