1、12第第11章章 达朗贝尔原理（动静法）达朗贝尔原理（动静法）达朗贝尔原理提供了研究动力学问达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用题的一个新的普遍的方法，即用静力学静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问中研究平衡问题的方法来研究动力学问题题，因此又称为，因此又称为动静法动静法。3 11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化11.3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理第11章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理4FI 如图示，设一质点的质量为如图示，设一质点的质量为m,加速度为加速度为a，受，受主动力主动力F，约
2、束力，约束力FN，m a=F+FNF+FN m a=0FI=m a （111）F+FN+FI=0 （112）FI称为质点的称为质点的惯性力惯性力。m amFFN一、一、惯性力惯性力则有则有注意惯性力的大小和方向。注意惯性力的大小和方向。令有11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理5二、二、质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 上式表明作用在质点上的主动力、约束力和上式表明作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达达朗贝尔原理朗贝尔原理。质点并非真的处于平衡状态，这样做的目的是将质点并非真的处于平衡状态，这样做的目的是将
3、动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学问题，这一方法具有很多优越性。问题，这一方法具有很多优越性。F+FN+FI=0 (112）强调指出强调指出：11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理6FTFInO 例例111 如图所示一圆锥摆，质量如图所示一圆锥摆，质量m0.1kg的小球系于的小球系于长长l0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点的绳上，绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成并与铅直线成60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度度v与绳的张力与绳的张力FT的大小。的大小。mg11.
4、1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理7解：解：视小球为质点，受力分析如下：视小球为质点，受力分析如下：重力（主动力）：重力（主动力）：绳的张力（约束力）：绳的张力（约束力）：惯性力：惯性力：FIn man2vlsin=m 根据质点的达朗贝尔原理，有：根据质点的达朗贝尔原理，有：mg+FT+FIn0 （）mgFTFIn其中其中FTOmgFIn11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理8则式（则式（）在图示自然轴上的投影式为：）在图示自然轴上的投影式为：0:bF FTcos-mg=00:nF FTsin-FIn=0(1)(2)联解（联解（1）、（）、（2）式得：）式得：cosmgFT1.9
5、6NvmlFT2sin2.1m/s建立如图所示自然坐标系建立如图所示自然坐标系bnFTmgFInOmg+FT FIn0 （）11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理9练习练习：列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车：列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对车厢静止，相对车厢静止，求车厢的加速度求车厢的加速度a。解：以单摆为研究对象，画受力图解：以单摆为研究对象，画受力图gmTFIF加惯性力加惯性力maFI建立坐标轴建立坐标轴xx0cossin 0IxFmgF,列平衡方程列平衡方程tanga 角随着加速度角
6、随着加速度a a的变化而变化，当的变化而变化，当a不变时，不变时，角也不变。角也不变。只要测出只要测出 角，就能知道列车的加速度。角，就能知道列车的加速度。摆式加速计摆式加速计11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理10 主动力主动力的合的合力力F Fi i、惯性力惯性力F FI Ii i=miai。设质点系由设质点系由n个质点组成，其中任意质点个质点组成，其中任意质点i的质量为的质量为mi，加速度为加速度为ai。Fi+FNi+FIi=0 （113）该式表明：质点系中每个质点上作用的主动该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这力、约束力和它的惯
7、性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的就是质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理。（1 1）若把作用于此质点上的所有力分为）若把作用于此质点上的所有力分为由质点的达朗贝尔原理，有由质点的达朗贝尔原理，有约束力约束力的合力的合力F FN Ni i，再虚拟加上此质点的再虚拟加上此质点的11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理三、三、质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理11 外力外力的的合力合力Fi（e)、（2）若把作用于此质点上的所有力分为）若把作用于此质点上的所有力分为:则式（则式（113）可改）可改写为：写为：Fi（e)+Fi(i)+FIi=0 （i1，2，n）对整个质点系有：对整个质点
8、系有：()()I1110nnneiiiiiiiFFF()()I111()()()0nnneiOiOiOiiiiMFMFMF而而01)(niiiF0)1)(niiiFM(O内力内力的合力的合力Fi(i)，11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理12 为对为对点点O的主矩，的主矩，()I110nneiiiiFF()I11()()0nneOiOiiiMFMF 上式表明，作用在质点系上的所有上式表明，作用在质点系上的所有外力外力与与虚加在每个质点上的虚加在每个质点上的惯性力惯性力在形式上组成平衡力在形式上组成平衡力系，这是系，这是质点系达朗贝尔原理的又一表述质点系达朗贝尔原理的又一表述。在静力学
9、中，在静力学中，niiF1)1 niiFM(OI1nii FI1()nOiiMF故故(14-4)称称 为主矢为主矢，在此称在此称为惯性力系的主矢，为惯性力系的主矢，为惯性力系对点为惯性力系对点 O的主矩。的主矩。11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理13 可见可见(11-4)(11-4)与上式相比分别多出了惯性力的主矢与上式相比分别多出了惯性力的主矢和主矩，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静和主矩，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学中求解平衡问题的方法，求解动力学问题。力学中求解平衡问题的方法，求解动力学问题。01)(1 nieiniiRFFF0)1)(1 nieiniiO
10、FMFMM(OO空间任意力系的平衡条件为：空间任意力系的平衡条件为：()I110nneiiiiFF()I11()()0nneOiOiiiMFMF(11-4)11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理14O例例142 如图所示，定滑轮的半径为如图所示，定滑轮的半径为r，质量，质量m均匀分均匀分布在轮缘上，绕水平轴布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为端挂有质量为m1和和m2的重物（的重物（m1m2），绳与轮间不），绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。m1gm2gmg11.1 惯性力惯性力达朗
11、贝尔原理达朗贝尔原理15两重物：两重物：解：解：取滑轮与两重物组成的质点系为研取滑轮与两重物组成的质点系为研究对象，并对该质点系进行受力分析：究对象，并对该质点系进行受力分析：1、外力、外力重力：重力：m1g,m2g,mg轴承约束反力：轴承约束反力：Fox，Foy2、惯性力、惯性力：（各加速度方向如图示）（各加速度方向如图示）FI1m1a,FI2=m2a轮缘上任意质点轮缘上任意质点i（设其质量为（设其质量为mi)：FIitFIinrmi2 =mia=mi at=mi anOFI2Foxm1gmim2gmgFoyFI1FIitFIinanaaat11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理16
12、根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程：根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程：0:MOm1grm2gr FI1r FI2r0 rtIiF即即（m1g m2g m1a m2a)r =0armi 而而armi armi)(=mar解得解得gmmmmma 2121OFI2Foxm1gmim2gmgFoyFI1FIitFIinanaaat有其它方有其它方法吗？法吗？11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理17OFoxm1gmim2gmgFoyaa例例112 如图所示，定滑轮的半径为如图所示，定滑轮的半径为r，质量，质量m均匀分均匀分布在轮缘上，绕水平轴布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两转
13、动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为端挂有质量为m1和和m2的重物（的重物（m1m2），绳与轮间不），绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。解：以整体为研究对象，受力如图解：以整体为研究对象，受力如图由动量矩定理由动量矩定理ooMtLddgrmgrmmrarmarm21221ragrmgrmmraarmarm2121gmmmmma 212111.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理18 例例113 飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为R，以匀角速度，以匀角速度定定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不轴转动，设轮辐质量不计，
14、质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。ROABxy11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理19 每段每段加惯性力加惯性力FIi。iiROABxyFAFB 解：解：由于对称，取四分之一轮由于对称，取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。缘为研究对象，如图所示。FIi=miain22 RRRmi 列平衡方程列平衡方程,0 xF0cos A AF Fii IF,0 yF0sin B BF Fii IF取圆心角为取圆心角为i的微小弧段，的微小弧段，轮缘横截面张力设为轮缘横截面张力设为FA、FB。而而FIi11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达
15、朗贝尔原理20i dRmFIcos2cos220 ii dRmFIsin2sin220 ii 22mR 22mR 所以所以ii cos IFA AF Fii sin IFB BF F 22mR 22mR 由于对称，任一横截面张力相同。由于对称，任一横截面张力相同。0，有有令令11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理21例例11-411-4：如下图（如下图（a)所示，质量为所示，质量为m m，长为，长为l=a+b的均的均质杆质杆BE，用铰链，用铰链E和绳和绳CD与铅垂转轴与铅垂转轴CE连接，连接，BE与与CE的夹角为的夹角为，CD垂直于垂直于CE。如转轴以匀角速度。如转轴以匀角速度转转动，
16、求绳子的拉力和铰链动，求绳子的拉力和铰链E的约束力。的约束力。abCDEB(a)11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理22 解：解：以细杆以细杆BE为研究对象，并对该杆进行受力分析为研究对象，并对该杆进行受力分析（图（图(b)）：）：1、外力、外力重力：重力：mg轴承约束反力：轴承约束反力：FEx，FEy绳子的拉力：绳子的拉力：FTFExFEymgFTabCDEB(a)yEBxD(b)11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理23设惯性力合力为设惯性力合力为FI，其作用点，其作用点G距距E的距离为的距离为sG。在杆长在杆长s处，取微小段处，取微小段ds，2、惯性力、惯性力：BE杆中
17、所有质点的惯性力呈三角形分布杆中所有质点的惯性力呈三角形分布（1）求惯性力合力大小及其作用位置）求惯性力合力大小及其作用位置GDEBxFExFEymgFT(b)ysGFIsdsdFIdFI=dman2drslm(为常量，为常量，at=0)2sindsslm所以所以FIsslmldsin20sin22ml它的惯性力为它的惯性力为dFI：11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理24由合力矩定理可求得合力作用线位置由合力矩定理可求得合力作用线位置sG：（2）利用动静法，列平衡方程式，）利用动静法，列平衡方程式，求解未知量求解未知量:0EM:F0 xFTFI FEx=0:F0yFEy mg=0l
18、sG32 0sin2coscos lmgsFaFGITGDEBxFExFEymgFTysGFIsdsdFI11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理25由上三式解得：由上三式解得：)cos32(6sin2glagmlTF Fcos)32(312sin2galamlExF FmgEyF FGDEBxFExFEymgFTysGFIsdsdFI11.1 惯性力惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理作业：作业：11-3，11-6练习：练习：11-1，11-2，11-42611.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题，常需将为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题，常
19、需将刚体中各质点的惯性力所组成的惯性力系进行简化，求出惯刚体中各质点的惯性力所组成的惯性力系进行简化，求出惯性力系的主矢和主矩。性力系的主矢和主矩。本节将讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性本节将讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。力系的简化。以以FIR表示惯性力系的主矢，则表示惯性力系的主矢，则 IRIiFF )(eiFCam 结合（结合（114）第一式和质心运动定理知）第一式和质心运动定理知：此式适用于任何质点做任何运动此式适用于任何质点做任何运动（115）IRIiFF动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩27OCrCaC
20、力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面对刚体作三种运动时惯性般与简化中心的位置有关。下面对刚体作三种运动时惯性力系简化的主矩进行讨论。力系简化的主矩进行讨论。1.1.刚体作平移刚体作平移1iFI1aia1FIi任一瞬时都有：任一瞬时都有：如图，如图，C C为刚体质心，为刚体质心，O O为简化中心。为简化中心。ai aC该力系向该力系向O O点简化点简化:IOiIiMrFFIimi ai=mi aCiiim arCiimar CCmar 惯性力系分布如图示。惯性力系分布如图示。riIRiiCmm Faa11.2
21、 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化28 若取质心若取质心C C为简化中心，为简化中心，M MI IC C表示表示主矩，主矩，CCOmarMIrC=0，则有则有 MIC0因因MIO一般不为零一般不为零结论：结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。加速度方向相反。2C1iFI1aCFIiFI2CaCFIROCrCaC1iFI1aia1FIiri29tnIII()()xxixiMMMFFzxyijkxiyizirimiOi2.2.刚
22、体定轴转动刚体定轴转动FIinFIit 如图定轴转动刚体，其上任一质如图定轴转动刚体，其上任一质点质量点质量mi，ttIiiii immrFann2Iiiii immrFaiiiiiiiizrmzrmsincos2iiiiiizymzxm22yzxzJJ同理同理2xzyzIyJJM有惯性力：有惯性力：xyFIinFIitxiyiriiO30tnIII()()zziziMMMFFtI()ziMFiiirrm2iirmzJ 工程中绕定轴转动的刚体常常有质工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面，若取此平面与转轴量对称平面，若取此平面与转轴z z的的交点交点O O为简化中心为简化中心 ，0yzxzJ
23、J则有则有(对对z z轴的惯性积轴的惯性积）II0 xyMMIIIIOxyzMMMMijk故此时惯性力系向故此时惯性力系向O O点简化的主矩为点简化的主矩为：IIozzMMJ 而而zxyijkxiyizirimiOiFIinFIit2IxxzyzM JJ2IyyzxzMJJ31结论结论：当刚体有当刚体有质量对称平面质量对称平面且绕垂直于此对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点点O简化简化,可简化为此对称平面内的一个作用于可简化为此对称平面内的一个作用于O点的力点的力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘
24、和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。的乘积，转向与角加速度相反。tnI()RCccmm FaaazIJOM11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化32（1 1）刚体绕不通过质心）刚体绕不通过质心C的转轴作匀速转动，图（的转轴作匀速转动，图（a a）nIRCm Fa0OMI（2 2）刚体绕通过质心）刚体绕通过质心C的轴作加速转动，图（的轴作加速转动，图（b b）IR0FC
25、CMJI（3）刚体绕通过质心刚体绕通过质心C的轴作匀速转动的轴作匀速转动，图（图（c c）0CMIOCIRF（a）CzJ（b）C（c）IR0F11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化33aCCMICFIR3.3.刚体作平面运动刚体作平面运动假设刚体平行于其质量对称平面作平面运动。刚体的假设刚体平行于其质量对称平面作平面运动。刚体的惯性力系可简化为对称平面内的平面力系。惯性力系可简化为对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形，如图示。取质量对称平面内的平面图形，如图示。刚体平面运动可分解为刚体平面运动可分解为随基点（质心随基点（质心C C）的平动：）的平动：绕通过质心的轴的转动：绕
26、通过质心的轴的转动：IRCm FaICCMJ 11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化34结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面的一个力和一个力偶。刚体的惯性力系简化为在此平面的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质点加速度的方向相反；这个力度的乘积，其方向与质点加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加
27、速度相反。转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。IRCm FaICCMJ aCCMICFIR11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化35动静法的解题步骤：动静法的解题步骤：1.1.选取研究对象（和静力学相同）。选取研究对象（和静力学相同）。2.2.受力分析：画出全部主动力和约束力。受力分析：画出全部主动力和约束力。3.3.运动分析：主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。运动分析：主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。4.4.虚加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶。一定要在正虚加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶。一定要在正确进行运动分析的基础上加惯性力。确
28、进行运动分析的基础上加惯性力。5.5.列平衡方程，选取适当的矩心和投影轴。列平衡方程，选取适当的矩心和投影轴。6.6.建立补充方程：运动学补充方程（运动量之间的关系）。建立补充方程：运动学补充方程（运动量之间的关系）。7.7.求解未知量。求解未知量。11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化362I112CMmln2I2OlFmCO(b)例例1 均质杆长均质杆长l，质量，质量m，绕定轴，绕定轴O转动的角速度为转动的角速度为，角加速，角加速度度为，求惯性力系向为，求惯性力系向O点简化的结果（方向在图上画出）。点简化的结果（方向在图上画出）。nFIOOMItFIOtCanCaOC(a)解：解：
29、该杆作定轴转动，所以惯性力该杆作定轴转动，所以惯性力系向点系向点O简化的结果如下：简化的结果如下：主矢主矢tI2OlFm2I13OMml主矩主矩讨论：惯性力系向讨论：惯性力系向C点简化的结果如何？点简化的结果如何？方向如图方向如图(b)示。示。ttIICOFFnnIICOFF11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化37例例2 如图所示，电动机定子及其外壳总质量为如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心，质心位于位于O处。转子的质量为处。转子的质量为m2，质心位于，质心位于C处，偏心距处，偏心距OCe，图示平面为转子的质量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于图示平面为转子的质量对称平面。
30、电动机用地脚螺钉固定于水平基础上，转轴水平基础上，转轴O与水平基础的距离为与水平基础的距离为h。运动开始时，转。运动开始时，转子质心位于最低位置，转子以匀角速度子质心位于最低位置，转子以匀角速度转动。求基础与地转动。求基础与地脚螺钉给电动机总的约束力。脚螺钉给电动机总的约束力。FIFxFyMAhm1gm2gOCxy11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化38解：解：（一）取整体为研究对象，（一）取整体为研究对象，受力分析如下受力分析如下：重力：重力：m1g,m2g 向向A点简化的约束反力：点简化的约束反力：Fx，Fy，M1、外力、外力2、惯性力、惯性力：只需对转子加惯性力只需对转子加惯性
31、力FI，因转子匀角速度转动，所以因转子匀角速度转动，所以n2II2FFm e（方向如图示）（方向如图示）FIFxFyMAhm1gm2gOCxy11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化39（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式:0 xF0sinIFFx:0yF0cosI21FFy-gmm:0AM0sinIhemM2F-sing解上述方程组，得解上述方程组，得tmxsinI2FeF2temmmycos2221gFthemtemM222sinsingFIFxFyMAhm1gm2gOCxyt11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化40、用动静法和用普遍定理求解
32、动约束力的主要区别在、用动静法和用普遍定理求解动约束力的主要区别在于力矩方程：前者只要对系统正确地施加惯性力，于力矩方程：前者只要对系统正确地施加惯性力，就可就可以充分运用静力学中的各种平衡方程及解题技巧，可对以充分运用静力学中的各种平衡方程及解题技巧，可对任意点取矩，这就为求解带来了方便，可不联立或少联任意点取矩，这就为求解带来了方便，可不联立或少联立方程；而后者，矩心一定取定点或质心。立方程；而后者，矩心一定取定点或质心。、主动力引起静约束力，而惯性力引起动约束力，这种看、主动力引起静约束力，而惯性力引起动约束力，这种看法一方面物理意义比较鲜明；另外，法一方面物理意义比较鲜明；另外，求静约
33、束力与求动约束求静约束力与求动约束力的方法也统一，力的方法也统一，这在求解系统的动约束力与运动部件内部这在求解系统的动约束力与运动部件内部的动的动应力时十分便利。应力时十分便利。11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化41 、普遍定理概念多，定理不直观，较难掌握，不像动静、普遍定理概念多，定理不直观，较难掌握，不像动静法只有真实力、惯性力概念那样简单。法只有真实力、惯性力概念那样简单。普遍定理沿着力的作用和运动量的描述两条线索分析普遍定理沿着力的作用和运动量的描述两条线索分析 问题，问题，而动静法是将两条线索从形式上转化为只有力的简化这一条线而动静法是将两条线索从形式上转化为只有力的简化
34、这一条线索，这正是动静法或达朗贝尔原理的贡献所在。索，这正是动静法或达朗贝尔原理的贡献所在。、尽管使用质点的动静法解题并不省时、省力，但是用、尽管使用质点的动静法解题并不省时、省力，但是用它定性解释一些力学现象，却显示了其优越性。它定性解释一些力学现象，却显示了其优越性。（如解释：转动时的离心力）11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化42 、加、加 惯性力需要分析加速度，而动能定理只要求作速惯性力需要分析加速度，而动能定理只要求作速度分析。度分析。若系统由若干刚体组成，用若系统由若干刚体组成，用 动静法解题时往往需将动静法解题时往往需将系统拆开，而暴露出许多未知力；系统拆开，而暴露出许
35、多未知力；但只要这些力不作功，在但只要这些力不作功，在动能定理中它们全都不会出现。动能定理中它们全都不会出现。、用、用 动动 静静 法解题时容易掩盖系统运动的法解题时容易掩盖系统运动的 动力学特性动力学特性（如动量守恒、动量矩守恒等）。（如动量守恒、动量矩守恒等）。对动静法评价的另一观点：对动静法评价的另一观点：动静法产生和发展于对动静法产生和发展于对静力学较为了解，但对动力学了解甚少的年代，静力学较为了解，但对动力学了解甚少的年代，而在对动力而在对动力学较为了解的今天，不宜再过分强调动静法的应用。学较为了解的今天，不宜再过分强调动静法的应用。11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化43
36、-增强创新意识、培养创造性思维。增强创新意识、培养创造性思维。本章的动静法和下章的虚位移原理是先辈们创造性思维的本章的动静法和下章的虚位移原理是先辈们创造性思维的具体体现。具体体现。因用动力学普遍定理计算机器动反力比较繁琐，于是就另因用动力学普遍定理计算机器动反力比较繁琐，于是就另辟思路，辟思路，下章将提到，因对一些复杂结构，用静力学下章将提到，因对一些复杂结构，用静力学平衡方程求解冗长而复杂，为此提出平衡方程求解冗长而复杂，为此提出“虚位移虚位移”和和“虚功虚功”的的概念，将静力学问题变为动力学问题来处理，概念，将静力学问题变为动力学问题来处理，以以“动动”论论“静静”。这两种别具一格的方法
37、，不仅成功简化了计算问题，而且这两种别具一格的方法，不仅成功简化了计算问题，而且发展了原有理论，并由此产生了一门新的力学分支发展了原有理论，并由此产生了一门新的力学分支-分析力学。分析力学。提出提出“惯性力惯性力”，将动力学问题变为静力学问题来处，将动力学问题变为静力学问题来处理，理，以以“静静”论论“动动”。11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化44-增强创新意识、培养创造性思维。增强创新意识、培养创造性思维。因解决问题也许因解决问题也许 通过了解先辈们进行创造性思维活动的过程和价值，增通过了解先辈们进行创造性思维活动的过程和价值，增强了我们的创新意识，有益于培养我们的创造性思维。强
38、了我们的创新意识，有益于培养我们的创造性思维。伟大的科学家爱因斯坦说得好：伟大的科学家爱因斯坦说得好：创造性的想象力比知识更创造性的想象力比知识更 重要。重要。仅是一个数学上或实验上的技能而已；仅是一个数学上或实验上的技能而已；而提出新的问题、新的而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都要有创造性的想象力。可能性，从新的角度去看旧的问题，都要有创造性的想象力。想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。源泉。提出一个问题比解决一个问题更重要。提出一个问题比解决一个问题更重要。11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性
39、力系的简化45例例3 均质圆盘质量为均质圆盘质量为m1，半径为，半径为R。均质细长杆长。均质细长杆长l=2R，质量为质量为m2。杆端。杆端A与轮心为光滑铰接。如在与轮心为光滑铰接。如在A处加一水平拉处加一水平拉力力F，使轮沿水平面纯滚动。问：力，使轮沿水平面纯滚动。问：力F为多大方能使杆的为多大方能使杆的B端端刚好离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静摩擦因数刚好离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静摩擦因数应为多大？应为多大？ABCDFm1gm2g(a)11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化46根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理：0AM解得：解得：ga3aF2ICm030cos30
40、sin2gRmRFIC 细细杆刚好离开地面时仍为平移，且地杆刚好离开地面时仍为平移，且地面约束力为零，设其加速度为面约束力为零，设其加速度为a，受，受力分析如图力分析如图(b)，其中惯性力，其中惯性力解：解：（一）取细杆为研究对象。（一）取细杆为研究对象。CFAyFAxAm2g30Ba(b)FICABCDFm1gm2g(a)11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化47（二）取整体为研究对象，受力二）取整体为研究对象，受力分析如图分析如图(c)，ABCDFICFIAMIAFm1gm2gFNFs(c)30a，amF1IARaRmM21IA21根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理：0DM030co
41、s30sin2IAgRmRFMRFFRICIA解得：解得：gmmF3)23(21其中其中11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化48（三）求摩擦因数，如图（三）求摩擦因数，如图(c)，:0 xF0ICIAsF-FF-F:0yF021NgmmF而而NssFfF)(23211smmmfABCDFICFIAMIAFm1gm2gFNFs(c)30a11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解法二：解法二：1.以杆为研究对象，由平面运动微分方程（动以杆为研究对象，由平面运动微分方程（动量矩定理）求量矩定理）求a；2.以杆为研究对象，由质心运动定理求约束力；以杆为研究对象，由质心运动定理求约束力
42、；3.以轮为研究对象，由平面运动微分方程求以轮为研究对象，由平面运动微分方程求Fs。49 例例4 牵引车的主动轮质量为牵引车的主动轮质量为m，半径为，半径为R，沿水平直线轨道，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S、T 及驱动力偶矩及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的并垂直于轮盘的轴的回转半径为回转半径为，轮与轨道间摩擦因数为，轮与轨道间摩擦因数为f,试求在车轮滚动而试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。之最大值。OxyCaCTSMmg11
43、.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化50OxyCaC （一）取轮为研究对象，受力分析如图所示。（一）取轮为研究对象，受力分析如图所示。解：解：FsFNMICFICTSMmg1、外力、外力主动力：主动力：mg、S、T、M摩擦力和约束力：摩擦力和约束力：Fs，FN2、惯性力、惯性力：（各加速度方向如图示）（各加速度方向如图示）mRmaFCIC（1）2CICmJM（2）（二）由动静法列平衡方程式（二）由动静法列平衡方程式 0 ,0ICsxFTFF（3）0 ,0NSgmFFy（4）0,0ICSCMRFMM（5）11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化51 )(22RTRRFMSRTRRSm
44、gfM22)(可见，可见，f 越大越大越不易滑动。越不易滑动。Mmax的值为的值为(*)式式右端的值。右端的值。所以：所以：要保证车轮不滑动，必须要保证车轮不滑动，必须 mNSgF由（由（1）（5）式得）式得)m(NsSgffFF(*)11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化52例例5 均质杆长均质杆长l,质量质量m,与水平面铰接与水平面铰接,杆由与平面成杆由与平面成0角位角位置静止落下。求开始落下时杆置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。mgAB0 MIAFInFItFxFyxy （一）选杆（一）选杆AB为研究对象，其作定轴转动，受力分析如为研
45、究对象，其作定轴转动，受力分析如图所示。图所示。解：解：1、外力、外力主动力：主动力：mg支座反力：支座反力：Fx，Fy2、惯性力、惯性力：ttIC2lFmam（1）（2）nn2IC02lFmam2I13AAMJm l（3）11.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化53（二）由动静法列平衡方程式（二）由动静法列平衡方程式（4）02cos,00IAAMlmgM（6）由（由（1）（6）式得）式得0sin,0nI0 xxFmgFF0cos,00tIyyFmgFF（5）0cos23lg0sinmgFx0cos4mgFymgAB0MIAFInFItFxFyxy54AFAyFAxxCmg(b)y例例6
46、 均质细杆长均质细杆长l,质量质量m,在水平位置用铰链支座和铅垂绳在水平位置用铰链支座和铅垂绳BD连接连接,如图如图(a)示。如绳突然断去，求杆到达与水平位置成示。如绳突然断去，求杆到达与水平位置成角时角时A处的支座约束力。处的支座约束力。（一）选杆为研究对象，绳断后其作无初速的定轴转动，（一）选杆为研究对象，绳断后其作无初速的定轴转动，到达与水平位置成到达与水平位置成角时，受力分析如角时，受力分析如 图图(b)所所示。示。解：解：FIAnFIAtMIA其中，惯性力其中，惯性力（1）3l3l3lABDC(a)6tIAlmF2nIA6lmF22291)6(121mllmmlAIAJM55又由动能
47、定理得又由动能定理得（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式（4）（5）0cos6,0lmgMMIAA sin60212l mgJA（2）（3）)cos2(42mg3FAy由（由（1）（5）式得）式得 cossin43mgFAx0cossin,0nIAtIAAxxFFFF0sincos,0mgFFFFnIAtIAAyyAFAyFAxxCmgyFIAnFIAtMIA作业：作业：11-8，9，125614.3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力主动力系向主动力系向O点简化点简化:主矢主矢 FR,主矩主矩MO惯性力系向惯性力系向O点简化点简化:主矢主
48、矢 FIR,主矩主矩MIO 刚体的角速度刚体的角速度 ，角加速度，角加速度，在轴上，在轴上任取任取 一点一点O为简化中心。为简化中心。zABxyOFAxFAyFBxFByFRFBzFIRMOMIOkjiMIzIyIxIMMMOjiaaFIyIxcycxCIR)(FFmma其中其中一、刚体的轴承动约束力一、刚体的轴承动约束力A、B处全约束力为：处全约束力为：FAx、FAy、FBx、FBy、FBz57zxyOABFAxFAyFBxFByFRFBzFIRMOMIO根据达朗贝尔原理列平衡方程式根据达朗贝尔原理列平衡方程式 0 ,0IxRxBxAxxFFFFF 0 ,0IyRyByAyyFFFFF 0
49、,0RzBzzFFF 0 ,0IxxAyByxMMOAFOBFM-0 ,0IyyBxAxyMMOBFOAFM-2IyzxzxMJJ2IxzyzyJJMzJMzI58 OBFMOBFMABFxyRxyAxII1 OBFMOBFMABFyxRyxAyII1 OAFMOAFMABFxyRxyBxII1 OAFMOAFMABFyxRyxByII1RzBzFF 可见除可见除FBz与惯性力无关外，轴承的动反力由两部分组与惯性力无关外，轴承的动反力由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静约束力静约束力；一部分是由惯性力引起的，称为一部分是由惯性力引起的，称
50、为附加动约束力附加动约束力，它可以通，它可以通过调整加以消除。过调整加以消除。59要使附加动反力为零，须有要使附加动反力为零，须有动反力动反力静反力静反力附加动反力附加动反力FIx=FIy=0MIx=MIy=0而而2yzxzIxJJM2xzyzIyJJMFIx=maCxFIy=maCy故故aCxaCy0转轴必须过质心转轴必须过质心JxzJyz0转轴为过转轴为过O点的惯性主轴点的惯性主轴转轴为中心惯性主转轴为中心惯性主轴轴 避免出现轴承附加动约束力的条件是，刚体的转轴避免出现轴承附加动约束力的条件是，刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。应是刚体的中心惯性主轴。结论：结论：60 静平衡：静平衡：刚体
