1、页 1 第 高三第一次模拟考试卷 理理 科科 数数 学学 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项分，在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合 2 340Ax xx，ln0Bxx，则AB R （ ） A B C D 2下列命题中正确的是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 3设方程的根为，表示不超过的最大整数，则 （ ） A1 B2 C3 D4 4在中，已知， ，则等于（ ） A或 B C D 5下列四个结论： 命题“”的否定是“” ； 若是真命题，则可能是真命题； “且”是“”的充要条件； 当时，幂函数在区间上单调递减 其中正确的是（ ） A B C D 6已知正项等比数列的前 项和为，若，则（ ） 页 2 第 A B C D 7 10 121
3、xx的展开式中 10 x的系数为（ ） A B C D 8直线与曲线 有且仅有个公共点，则实数的 取值范围是（ ） A B C D 9 某校有1000人参加某次模拟考试， 其中数学考试成绩近似服从正态分布 2 105,0N， 试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的 1 5 ，则此次数学 考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为（ ） A B C D 10 已知椭圆的右焦点为， 短轴的一个端点为， 直线 与椭圆相交于，两点，若，点到直线 的距离不小于，则椭圆离心 率的取值范围是（ ） A B C D 11若函数与都在区间 上单调递减，则 的最大
4、值为（ ） A B C D 12已知关于 的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时， 实数的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 页 3 第 13若平面向量a，b满足1ab，ab平行于x轴，2, 1b，则a 14实数 ，满足约束条件：，则的取值范围为 15 半径为 的球面上有，四点， 且，两两垂直， 则， 与面积之和的最大值为 16如图，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为 ，过点作圆的 切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则 三、解答题：本大题三、解答题：本大题共共 6 大题大题，共，共 70 分分，解答应写出文字说明
5、、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （12 分）在数列中，当时，其前项和满足 （1）求的表达式； （2）设，求的前项和 页 4 第 18 （ 12 分 ） 如 图 所 示 的 三 棱 柱中 ，平 面， ，的中点为，若线段上存在点使得平面 （1）求； （2）求二面角的余弦值 19 （12 分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其 乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)将统计数据 页 5 第 按，分组，制成频率分布直方图： 假设乘客乘车等待时间相互独立 （1） 在上班高峰时段， 从甲站的乘客中随机抽取 人，
6、记为； 从乙站的乘客中随机抽取 人， 记为用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率； （2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分 钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望 20 （12 分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为， 页 6 第 离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2） 设T为直线3x上任意一点， 过 1 F的直线交椭圆C于点P，Q， 且为抛物线 1 0TF PQ， 求 1 TF PQ 的最小值 21 （12 分）已知函数， （1）若存在极小值，求实数的取值范围； 页 7 第 （2）设是的
7、极小值点，且，证明： 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 页 8 第 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与 的交点，且，均异于原点，求的值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 （1）当，求不等式的解集； （2）设对恒成立，求的取值范围 2020 届河南名校联盟
8、高三第一次模拟考试卷 理科理科数学数学答答 案案 一、选择题：本大题一、选择题：本大题共共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 【答案】C 2 【答案】C 3 【答案】B 4 【答案】C 5 【答案】A 6 【答案】B 7 【答案】C 8 【答案】C 9 【答案】C 10 【答案】C 11 【答案】B 12 【答案】B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】或 14 【答案】 15 【答案】8 16 【答案】 三、解答题：
9、本大题三、解答题：本大题共共 6 大题大题，共，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 1 21 n S n ； （2） 21 n n T n 【解析】 （1）， 即， 由题意得，式两边同除以，得， 数列是首项为，公差为 2 的等差数列， ， （2）， 18 【答案】 （1） 6 2 ； （2） 6 3 【解析】 （1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，连接 ， 在平面内过点作的垂线交于，连接， 依题意易得，五点共面， 因为平面，所以， 在中， 因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点， 因此，
10、代入，得 （2）由（1）可知，是平面的一个法向量且， ， 设平面 111 ABC的法向量为n，则 0 0 BC AB n n n 可以为 1, 3,0， 2 3 6 3 cos, 32 2 2 OP OP OP n n n ， 因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为 19 【答案】 （1） 1 5 ； （2）分布列见解析， 6 5 E X 【解析】 （1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于 20 分钟” ，表示事件“乘客乘 车等待时间小于分钟” ，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟” 由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:， 故的估计值为 乘客乘车等待时间小于分钟的频率为， 故的估计
11、值为 又，故事件的概率为 （2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为， 所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为 显然，的可能取值为 0，1，2，3 且) 5 2 , 3( BX， 所以； ； 故随机变量的分布列为： 20 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1），而， 又，得，故椭圆的标准方程为 （2）由（1）知， 1 0TF PQ，故 1 TFPQ， 设，直线的斜率为， 当时，直线的方程为，也符合方程； 当时，直线的斜率为，直线的方程为； 设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得， 消去，得， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 1 TF PQ 的最小值为 3 3 21 【答
12、案】 （1）； （2）证明见解析 【解析】 （1）， 令，则， 所以在上是增函数， 又因为当时，；当时， 所以，当时，函数在区间上是增函数，不存在极值点； 当时，的值域为，必存在使， 所以当时，单调递减； 当时， 单调递增， 所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是 （2）由（1）知，即，所以， ， 由，得，令，显然在区间上单调递减， 又，所以由，得， 令， 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 所以，当时，函数取最小值，所以， 即，即，所以， 所以，即 22 【答案】 （1），； （2） 【解析】 （1）由消去参数，得的普通方程为， 由，得， 又， 所以的直角坐标方程为 （2）由（1）知曲线的普通方程为， 所以其极坐标方程为 设点，的极坐标分别为，则， 所以， 所以，即，解得， 又，所以 23 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）当时，即， 当时，原不等式化为，得，即； 当时，原不等式化为，即，即； 当时，原不等式化为，得，即 综上，原不等式的解集为 （2）因为，所以，可化为， 所以，即对恒成立， 则，所以的取值范围是
