1、第 1 页，共 11 页 高三（上）期末数学试卷（理科）高三（上）期末数学试卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ，B=x|x0，则 AB=（ ） A. x|0 x3 B. x|0 x3 C. x|1x3 D. x|1x3 2. 设复数 z= （i为虚数单位），则复数 z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的容器中有 6 个小球，其中有 4 个黄球，2个红球，它们除颜色外完 全相同，如果一次随机取出 2个球，那么至少有 1个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 f（x）=2si
2、n（x+ ）（0）的最小正周期为 ，则下列选项正确的是 （ ） A. 函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称 B. 函数 f（x）的图象关于点（- ，0）对称 C. 函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称 D. 函数 f（x）的图象关于直线 x=- 对称 5. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 N（ 1，1 2），N（ 2，2 2）， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲类水果的平均质量 1=0.4kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参
3、数 2=1.99 6. 函数 f（x）=|x-1|+e|lnx|的大致图象为（ ） 第 2 页，共 11 页 A. B. C. D. 7. 已知 ，x=loga（2a），y=loga+1 a， （2a），则（ ） A. xyz B. yxz C. xzy D. zyx 8. 在如图算法框图中，若 a=6，程序运行的结果 S 为二 项式（2+x） 5的展开式中 x3的系数的 3 倍，那么判断 框中应填入的关于 k 的判断条件是（ ） A. k3 B. k3 C. k4 D. k4 9. 已知 Sn是等差数列an的前 n项和，若 S7S10S 8，设 bn=anan+1an+2，则数列bn 的前
4、n 项和 Tn取最大值时 n 的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 十八世纪，函数 y=x（x表示不超过 x的最大整数）被“数学王子”高斯采用， 因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定 义，则方程 2019x2-x-2020=0 的所有实数根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三 角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 23 B. C. 64 D. 第 3 页，共 11 页 12. 已知函数 f（x）=1+x-，若函数 f（x）的零点均在区间a， b（ab，a，
5、bZ）内，则 b-a 的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量，若，则实数 的值为_ 14. 学校准备将 5名同学全部分配到运动会的田径、 拔河和球类 3 个不同项目比赛做志 愿者，每个项目至少 1名，则不同的分配方案有_种（用数字作答） 15. 已知双曲线的左右两个焦点分别为 F1，F2，A，B 为其左、 右两个顶点，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M， 且AMB=30 ，则该双曲线的离心率为_ 16. 已知函数 f（x）=（x2-ax）ex-ax+a2（e 为自然对数的底数，
6、aR，a 为常数）有三个 不同的零点，则实数 a的取值范围为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 如图，在ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a=c （sinB+cosB） （1）求ACB的大小； （2）若ABC=ACB，D为ABC外一点，DB=2，DC=1，求四 边形 ABDC面积的最大值 18. 如图， 四棱锥 P-ABCD中， 底面 ABCD为菱形， PA底面 ABCD，PA=2， E是 PC上的一点，PE=2EC （）证明：PC平面 BED； （）设二面角 A-PB-C为 90 ，求 PD 与平面 PBC所成角的大小 第 4 页，共 11 页
7、19. 设直线 l与抛物线 x2=2y交于 A，B 两点，与椭圆交于 C，D 两点，设直 线 OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，若 OAOB （1）证明：直线 l过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数 ，满足 k1+k2=（k3+k4）？并说明理由 20. 已知函数 f（x）= （1）若函数 y=f（x）-k有 2个零点，求实数 k的取值范围； （2）若关于 x 的方程 f（x）=m- 有两个不等实根 x1，x2，证明：x1+x22； + 2 21. 一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 1 站、第 2站、第 3 站、第 100 站， 共
8、100 站，设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn，一枚棋子开始在第 1站，棋手每掷一次 硬币，棋子向前跳动一次若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向 第 5 页，共 11 页 上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99站（失败）或者第 100站（获胜）时， 游戏结束 （1）求 P1，P2，P3； （2）求证：数列Pn+1-Pn（n=1，2，3，98）为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标 原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ，且曲线 C1与 C2恰有一个公共点 （）求曲线
9、C1的极坐标方程； （）已知曲 C1上两点，A，B 满足，求AOB 面积的最大值 23. 若关于 x的不等式|x-1|-|x+4|t+1|有解，记实数 t的最大值为 T （1）求 T 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 a+2b+c=T，求的最小值 第 6 页，共 11 页 答案答案 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】A 13.【答案】 14.【答案】150 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）在ABC 中，a=
10、c（sinB+cosB）， sinA=sinC（sinB+cosB），（1分） sin（-B-C）=sinC（sinB+cosB）， sin（B+C）=sinC（sinB+cosB），（2分） sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinCcosB，（3 分） cosCsinB=sinBsinC， 又B（0，），故 sinB0，（4分） cosC=sinC，即 tanC=1 （5分） 又C（0，）， C= （6分） （2）在BCD中，DB=2，DC=1， BC2=12+22-2 1 2 cosD=5-4cosD （7 分） 又ABC=ACB，由（1）可知ACB= ， ABC为等
11、腰直角三角形，（8 分） SABC= BC BC= BC2= -cosD，（9分） 又SBDC= BD DC sinD=sinD，（10 分） S四边形ABDC= -cosD+sinD= + sin（D- ） （11分） 当 D= 时，四边形 ABDC的面积有最大值，最大值为 +（12 分） 【解析】 （1） 利用正弦定理， 三角函数恒等变换的应用化简已知可得 cosCsinB=sinBsinC， 结合 sinC0，可求 tanACB=1，结合范围ACB（0，），即可求得ACB 的值 第 7 页，共 11 页 （2）由已知利用余弦定理可得 BC2=12+22-2 1 2 cosD=5-4cos
12、D，由已知及（1）可知 ACB= ，利用三角形面积公式可求 SABC，SBDC，从而可求 S四边形，根据正弦函数的性 质即可得解四边形 ABDC面积的最大值 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应 用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题 18.【答案】解：（I）以 A 为坐标原点，建立如 图空间直角坐标系 A-xyz， 设 D（，b，0），则 C（2，0，0），P（0， 0，2），E（，0， ），B（，-b，0） =（2，0，-2），=（ ，b， ），=（ ， -b， ） = - =0，=0 PCBE，PCDE，BEDE=
13、E PC平面 BED （II）=（0，0，2），=（，-b，0） 设平面 PAB 的法向量为 =（x，y，z），则 取 =（b，0） 设平面 PBC 的法向量为 =（p，q，r），则 取 =（1，- ，） 平面 PAB平面 PBC， =b- =0故 b= =（1，-1，），=（-，-，2） cos， = 设 PD与平面 PBC所成角为 ，0， ，则 sin= =30 PD 与平面 PBC所成角的大小为 30 【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设 D（，b，0），从而写出相关点和 相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明 PCBE，PCDE，从而利用线面垂 直的判定定理证明结论即可；
14、 （II）先求平面 PAB 的法向量，再求平面 PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即 可求得 b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 第 8 页，共 11 页 本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法， 线面垂 直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题 19.【答案】解：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点， 故设 y=kx+b（b0），A（x，y），B（x，y）， 联立直线 l与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0，x+x=2k，xx=-2b，yy=b2， OAOB=0，b2-2b=0，解得 b=
15、2， 所以直线 l的方程为：y=kx+2 故直线恒过定点（0，2） （2）由（1）知 x+x=2kxx=-4k1+k2=2k+=k； 设 C（m，n），D（a，t），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0， m+a=，ma= ， k 3+k4= =2k+=-2k， k 1+k2= （k3+k4）， 即存在常数 =满足条件 【解析】（1）设直线 l的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由 OAOB，求出 过定点， （2）由（1）得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出 k1+k2，同理 联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出 k3+k4，从而得出存在
16、常数满足条 件 考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题 20.【答案】解：（1）由题知，y=f（x）与 y=k有两个交点， 由 f（x）0得 0 xe；由 f（x）0 得 xe， f（x）在（0，e）上单增，在（e，+）上单减， 又，且当 xe时，f（x）0，故； （2）证明：方程可化为，令， 所以 g（x）在（0，1）上单增，在（1，+）上单减，又， 不妨设 x1x2则 ，要证明 x1+x22，只需证 x22-x1， x 2，2-x1（1，+）且 g（x）在（1，+）上单减，所以证 g（x1）=g（x2）g（2-x1）， 令， 则=， 当时，lnx0，ln1-（x-1）20， 第 9
17、页，共 11 页 h（x）0，即 h（x）在单增，又 h（1）=0， g（x）g（2-x）对恒成立，即 g（x1）=g（x2）g（2-x1）成立，即 x1+x2 2成立； 由得，即，命题得证 【解析】（1）依题意，y=f（x）与 y=k 有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况 即可得解； （2）问题转化为证明 x22-x1，即证 g（x1）=g（x2）g（2-x1），构造函数 即可得证；利用的结论容易得证 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻 辑推理能力，属于中档题 21.【答案】解：（1）棋子开始在第 1站是必然事件，P1=1； 棋子跳到第 2站，
18、只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为 ， P2 = ； 棋子跳到第 3站，有两种情况， 第一次掷硬币反面向上，其概率为 ； 前两次掷硬币都是正面向上，其概率为= ， P3= = ； （2）证明：棋子跳到第 n+2 站（1n97），有两种情况： 棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为 Pn； 棋子先跳到第 n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为 Pn+1 故 Pn+2= Pn+1+ Pn； P n+2 =- （Pn+1-Pn）；又 P2-P1=- ， 数列是以- 为首项，- 为公比的等比数列， （3）由（2）得 Pn+1-Pn=（- ）n； P99=（P99-P98）+（P2-P1）+
19、P1 =（- ）98+（- ）97+（- ）+1 = +， 所以获胜的概率为 1-P99= - 第 10 页，共 11 页 【解析】（1）棋子在 0 站是一个必然事件，得到发生的概率等于 1，掷出朝上的点数 为 1或 2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面 出现的概率得到结果 （2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子 相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列 （3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末 项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率 本题考查概率的实际应用，是一个中档题
20、目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键 是看出题目中要利用累加的方法 22.【答案】解：（）曲线 C2的极坐标方程为 sin（+ ）=3， 可得 C2的直角坐标方程为：x+ -6=0，即曲线 C2为直线 曲线 C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆 因为圆 C1与直线 C2恰有一个公共点，可得|r|= =2， 圆 C1的普通方程为 x2+y2-4x=0， 所以 C1的极坐标方程为 =4cos （）由题意可设 A（1，），B（2，+ ），（10，20）， SAOB= |OA|OB|sin = 12=4coscos（+ ） =4（cos2-sincos） =4（-）=2+2 cos（2+ ），
21、 所以AOB 面积的最大值为 2+2 【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 （） 消参可得 C2的直角坐标方程， 利用直线与圆的位置关系可得 C1的直角坐标方程， 即可得极坐标方程 （）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最 大值 23.【答案】解：（1）|x-1|-|x+4|（x-1）-（x+4）|=5，（|x-1|-|x+4|）max=5 不等式|x-1|-|x+4|t+1|有解，|t+1|（|x-1|-|x+4|）max=5， -6x4，实数 t的最大值 T=4 （2）由（1）知 a+2b+c=T=4，（a+b）+（b+c）=4， = =， 当且仅当，时取等号， 的最小值为 【解析】（1） 先求出|x-1|-|x+4|的最大值， 再根据|x-1|-|x+4|t+1|有解， 得到|t+1| （|x-1|-|x+4|） max，然后解关于 t的不等式即可得到解集； 第 11 页，共 11 页 （2）由（1）可得 a+2b+c=T=4，再由=利用基 本不等式求出最小值即可 本题考查了绝对值三角不等式，不等式有解问题和利用基本不等式求最值，考查了转化 思想，属中档题
