1、 不等式及其综合运用不等式及其综合运用 【课堂导入】 设实数1a，使得不等式aaxx 2 3 |，对任意的实数2 , 1 x恒成立，则满足 条件的实数a的范围是 解答：1a，等式aaxx 2 3 |，对任意的实数2 , 1 x恒成立，等价于 2 3 |aaxx 令|)(axxxf，则有 2 3 )( min axf 当21a时， axxax xaaxx axxxf 1),( 2),( |)(， 0)()( min afxf， 2 3 0 a，解得 2 3 a，故 2 3 1 a 当2a时，)()(xaxxf，此时) 1 ()( min fxf或)2(f， 故有 2 3 )2( 2 3 ) 1
2、( af af ，解得 2 5 a 综上可得a的范围是), 2 5 2 3 , 1 考点：绝对值不等式，函数恒成立问题 【知识讲解】 1、求函数的最值： 2、使用基本不等式常用方法： 【典例分析】 【例 1】设实数yx,满足83 2 xy，94 2 y x ，求 4 3 y x 的最大值是 解答： 83 2 xy，94 2 y x ， 81)(16 2 2 y x ， 3 11 8 1 2 xy 27 1 )(2 2 2 2 xyx y ，即272 4 3 y x 4 3 y x 的最大值是为 27 考点：基本不等式及其应用 【变式 1】已知a，b，0c，则 bcab cba 2 222 的最
3、小值为 解答： 5 52 2 )2( 5 1 2 5 1 2 2 ) 5 4 () 5 1 ( 2 2222 222 bcab bcab bcab cbba bcab cba ，当且仅当 ab5，ac2时取等号 bcab cba 2 222 的最小值为 5 52 考点：基本不等式 【例 2】已知 ABC 的三边长a，b，c满足acb32 ，bac32 ，则 a b 的取值范围 为 解答：令 a b x ， a c y ，由acb32 ，bac32 得：32yx，23 yx， 又cbac及cba得：1 yx，1 yx，1 yx， 由可作出图形， 得到以点) 4 1 , 4 3 (D，)0 , 1
4、 (C，) 2 3 , 3 5 (B，) 1 , 1 (A为顶点的四边形区域，由线性规划可得： 3 5 4 3 x，10 y， a b 的取值范围为) 3 5 , 4 3 ( 考点：线性规划，转化划归思想 【变式 2】设等差数列 n a的前n项和为 n S，若41 4 a，32 5 a， 6 S取值范围 是 解答：daa3 14 ，daa4 15 ，所以431 1 da，342 1 da， 式两边同乘以 9，得362799 1 da， 式两边同乘以3，得61239 1 da， 得，301560 1 da又因为daS156 16 ，所以300 6 S 故 6 S取值范围是30, 0 考点：等差数
5、列的前 n 项和，不等式的性质 【例 3】已知x，Ry，满足xy42，1x，则 1 222 22 yxxy yxyx 的最大值 为 解答：由x，y，满足xy42，1x，画出可行域如图所示 则 A（2，2） ，B（1，3） 1 1 1 1 ) 1)(1( ) 1() 1( 1 222 2222 x y y x yx yx yxxy yxyx ，令 1 1 x y k，则k表示可行域内的任意点),(yxQ与点 P(1，1)的斜率 而 3 1 ) 1(2 12 PA k，1 ) 1(1 13 PB k， 1 3 1 k，令 k kkf 1 )(， 函数)(kf在 1 , 3 1 上单调递减，因此当
6、3 1 k时，)(kf取得最大值， 3 10 3 1 3) 3 1 (f 考点：基本不等式 【变式 3】已知实数x、y满足 032 1 012 yx x yx ，则 x y 的取值范围为 解答：由实数x、y满足 032 1 012 yx x yx ，作出可行域如图 联立 032 012 yx yx ，解得 A（1，3） x y 的几何意义为可行域内的动点与定点 O 连线的斜 率， 3 OA k 故 x y 的取值范围是3 , 2 1 ( 考点：简单线性规划 【例 4】已知实数x、s、t，满足：stx98，且sx，则 tx stxtsx 1)( 2 的最 小值为 解答： 由stx98知)(999
7、txtxxs，又sx可化0sx，所以0tx， 从而6 1 )(9 1 )( 1)(1)( 2 tx tx tx sx tx txsx tx stxtsx ， （当且 仅当 3 1 tx时取“=” ） 考点：基本不等式 【变式 4-1】若a，b，0c，且4 2 bcacaba，则cba2的最小值 为 解答： 4)( 2 cababcacaba， 4)(2)()(2cabacabacba 当且仅当caba，即cb时等号成立，故cba2的最小值为 4 考点：基本不等式 【变式 4-2】 若0a，0b， 且1 1 1 2 1 bba ， 则ba2的最小值为 解答：0a，0b，且1 1 1 2 1 bb
8、a ， 2 3 2 3 )2(2 ) 1( 3 ) 1(2 2 2 1 2 3 ) 1 1 2 1 )( 2 ) 1( 32 ( 2 3 2 ) 1( 3)2( 2 ba b b ba bba bbabba ba 3 2 1 )2(2 ) 1( 3 ) 1(2 2 2 2 1 ba b b ba 当且仅当 1 2 2 ) 1( 3 b ba ba b ，0a，0b，且 1 1 1 2 1 bba ，即 3 3 b， 3 3 2 1 a时取等号 ba2的最小值为3 2 1 考点：基本不等式 【变式 4-3】不等式)(3 22 babba对任意Rba,恒成立，则实数的最大值 为 解答： 0)3(
9、22 bbaa， 0)3(4)( 22 bb， 0)124( 22 b， 0124 2 ，解得26，则实数 的最大值为 2 考点：函数恒成立问题 【变式 4-4】对满足条件)0, 0(3yxxyyx的任意x和y， 01)()( 2 yxayx恒成立，则实数a的取值范围是 解答 1： 正实数x，y满足3yxxy， 2 )( 3 2 yx xyyx ， 当且仅当yx 时取等号 令0tyx，则0124 2 tt，解得6t 由01)()( 2 yxayx恒成立， )6() 1 ( 1 )( minmin t t t yx yxa 令)6( 1 )(t t ttg，函数)(tg在), 6 t上单调递增
10、6 37 6 1 6)( min tg 实数 a 的取值范围是 6 37 ,( 考点：基本不等式 【巩固运用】 1、已知10a，若)23(log) 12(logxyyx aa ，且yx，则的最大值 为 解答：根据题意得： 2312 023 012 xyyx xy yx ，画出不等式表示的平面区域 设目标函数yxz，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大 作出目标函数对应的直线 L：xy，由 023 012 xy yx 得 A(1，1)直线过 A(1，1) 时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为2z，则目标函数yxz的取值范围是 ), 2(又yx，则的最大值为2 考点：简单线性规划 2、已知
11、正数x，y满足1 11 yx ，则 1 9 1 4 y y x x 的最小值为 解答： 正数x，y满足1 11 yx ， 1 x x y， 01x， ) 1(9 1 4 139) 1(9 1 4) 1(4 9 1 4 1 1 1 9 1 4 1 9 1 4 x x x x x x x x x x x x x x y y x x 25) 1(9 1 4 213 x x ，当且仅当) 1(9 1 4 x x ，即 3 5 x时取等号 1 9 1 4 y y x x 的最小值为 25 考点：基本不等式 3 、 已 知 实 数x，y满 足0 yx， 且2 yx， 则 yxyx 1 3 2 的 最 小
12、值 为 解答：设myx3，nyx，则 4 3nm x ， 4 nm y ，由 0 yx可得， 0nm 由2 yx，可得4nm m n n mnm nmnmyxyx244 3 4 ) 12 ( 121 3 2 4 223 24 2 4 3 244 3 m n n m m n n m （当且仅当 m n n m 24 时，等号成立） ， 所以 yxyx 1 3 2 的最小值为 4 223 考点：基本不等式 .4、已知x，y为正实数，则 yx y yx x 4 4 的最大值为 解答： 令)0( tt x y ， 则 45 3 1 14 4 4 4 4 4 2 tt t t t ttxx tx txx
13、 x yx y yx x 3 4 5 4 2 3 1 5 4 3 1 t t t t ，当且仅当 t t 4 ，即2t时等号成立，所以 yx y yx x 4 4 的最大值为 3 4 考点：基本不等式 5、已知a，b为正实数，且2ba，则 1 2 22 b b a a 的最小值为 解答：设)0(1mmb，则3ma，1mb， mam m a a m m a a b b a a12 23 1 2 2 ) 1( 2 1 2 2 222 a m m a a m m ama ma3 2 3 2 3 1 3 2 33 2 1 3 ) 12 (1 3 22 2 3 2 3 22 a m m a （当且仅当
14、a m m a 3 2 3 时等号成立） 故 1 2 22 b b a a 的最小值为3 3 2 2 考点：基本不等式 【拓展延伸】 1、已知Rba,，且3 22 baba，设 22 baba的最大值和最小值分别为M，m， 则mM = 解答：令 22 babat，由3 22 baba可得abba3 22 ， 由基本不等式的性质， 2222 2)(baabba， 进而可得ababab323， 解得， 13ab， abababbabat233 22 ，故91t，则9M，1m，10mM 考点：基本不等式， 基本不等式在最值问题中的应用 2、已知正数a，b，c，满足：acbac435，ccabclnl
15、n，则 a b 的取值范 围是 解答： acbac435， c a c b c a 435，即 4 53 c b c a c b c a ccabclnln， a c b cln，即 c a e c b ， 设x c a ，y c b ，则不等式等价为 x ey yx yx 4 53 ， x y a b ，则 x y 的几何意义是区域内的点 到原点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知当直线kxy 与 x ey 相切时，k最小，函数的导数 x exf)( ， 设切点为（a，b） ，则过原点的切线方程为)(axeby a ，即 aaa eaexey， 切线过原点， )1 (0aea
16、，解得1a，此时ek ， OA 的斜率最大，由 4 53 yx yx 得 2 7 2 1 y x ，即) 2 7 , 2 1 (A，则 OA 的斜率7k， 即7ke，即 a b 的取值范围是7 ,e 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用, 不等式的综合 3、已知实数 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 满足0 321 aaa，0 242 2 41 aaaaa， 且 321 aaa， 则 4 a的取值范围是 4、解答：由0 242 2 41 aaaaa得 1 2 4 2 4 1a a a a ，又0 321 aaa， 321 aaa，所以 0 1 a，0 3 a，则由)( 21321 aaaaa即 212 21 aaa aa ，得1 2 1 1 2 a a ，所 以 0 )1 (2 12 0 1 1 4 4 2 4 4 4 2 4 a aa a aa ， 又012 4 2 4 aa恒 成 立 ， 所 以 01 01 4 2 4 4 aa a ， 解 得 2 51 2 51 4 a，故 4 a的取值范围是) 2 51 , 2 51 ( 考点：进行简单的演绎推理
