1、 中考数学 （江苏专用） 8.3 开放探究型 1.(2020内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,BCAC,按以下步骤作图:(1)分别以点A,B为 圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点(点M在AB的上方);(2)作直线MN交AB于点O,交BC 于点D;(3)用圆规在射线OM上截取OE=OD.连接AD,AE,BE,过点O作OFAC,垂足为F,交AD于点G.下列 结论: CD=2GF;BD2-CD2=AC2;SBOE=2SAOG;若AC=6,OF+OA=9,则四边形ADBE的周长为25. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 答
2、案答案 D OFAC,AFO=ACD=90,OFBC,易知MN垂直平分AB,AO=BO,AG=GD,AF =FC,CD=2GF,故正确; AO=BO,DO=EO,四边形ADBE为平行四边形,又DEAB,四边形ADBE为菱形,AD=BD, 在RtACD中,AD2-CD2=AC2,BD2-CD2=AC2,故正确; 四边形ADBE为菱形,SBOE=SAOD, AG=DG,2SAOG=SAOD,SBOE=2SAOG,故正确; AF=FC,AC=6,AF=3,在RtAOF中,OA2-OF2=AF2,即(OA+OF) (OA-OF)=AF2,结合OF+OA=9得,9(OA- OF)=9,OA=5,OF=4
3、, 在RtAOD中,G为AD的中点,OG=AD, FG=OF-OG=4-AD,CD=2FG=8-AD, 在RtACD中,AC2+CD2=AD2,即62+(8-AD)2=AD2,解得AD=, 菱形ADBE的周长为4=25,故正确,故选D. 1 2 1 2 25 4 25 4 2.(2020湖南常德,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论: b2-4ac0;abc0.其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案答案 B 由题中图象知,抛物线与x轴有两个交点, 方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根, b2-4ac0,故正确; 由图象
4、知,抛物线的开口向下,a0, 又抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,c0, abc0,故正确; 由图象知,抛物线的对称轴为直线x=2, -=2,4a+b=0,故正确; 由图象知,当x=-2时,y0, 4a-2b+c0)的图象如图所示.求证:该函数的图象上不存在点C, 使d(O,C)=3. (3)函数y=x2-5x+7(x0)的图象如图所示,D是图象上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标. 【问题解决】 (4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直 4 x 角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出
5、示意图并简要说明 理由) 图 解析解析 (1)3;(1,2).(2分) (2)证明:假设函数y=(x0)的图象上存在点C(x,y),使d(O,C)=3. 根据题意,得|x-0|+=3. 因为x0,所以0,所以|x-0|+=x+. 所以x+=3. 方程两边同乘x,得x2+4=3x. 整理,得x2-3x+4=0. 因为a=1,b=-3,c=4,b2-4ac=(-3)2-414=-70)的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.(5分) 4 x 4 -0 x 4 x 4 -0 x 4 x 4 x 4 x (3)设D(x,y). 根据题意,得d(O,D)=|x-0|+|x2-5x+7-0|=|x|+|x
6、2-5x+7|. 因为x2-5x+7=+0,又x0, 所以d(O,D)=|x|+|x2-5x+7|=x+x2-5x+7=x2-4x+7=(x-2)2+3. 所以当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).(8分) (4)如图,以M为原点,MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直 到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H. 修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处. 理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2l1,l2与x轴 相交于
7、点G.因为EFH=45,所以EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF.同理d(O,P)=OG.因为OGOF,所以d (O,P)d(O,E).因此,上述方案修建的道路最短.(11分) 2 5 - 2 x 3 4 思路分析思路分析 (1)根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3;由两点间距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|及点B 是函数y=-2x+4(0 x2)的图象上的一点,可得出关于x的方程,解方程即可求出点B的坐标; (2)由条件知x0,根据题意得x+=3,整理得x2-3x+4=0,由0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接 AE,过点A作AFAE交
8、射线DC于点F. (1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ; (2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示) (3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)AF=AE.(2分) 详解:k=1,AD=AB, 四边形ABCD是正方形, BAD=90, AFAE,EAF=90, EAB=FAD, ABE=D=90, EABFAD(ASA), AF=AE. (2)AF=kAE.(4分) 证明:四边形ABCD是矩形, BAD=ABC=ADF=90, FAD+FAB=90,
9、 AFAE,EAF=90, EAB+FAB=90, EAB=FAD, ABE+ABC=180, ABE=180-ABC=180-90=90, ABE=ADF, ABEADF.(7分) =. AD=kAB,=, =,AF=kAE.(8分) (3)如图1,当点F在DC上时, 四边形ABCD是矩形, AB=CD,ABCD, AB AD AE AF AB AD 1 k AE AF 1 k 图1 AD=2AB=4,AB=2,CD=2, CF=1,DF=CD-CF=2-1=1. 在RtADF中,ADF=90, AF=, DFAB, 22 ADDF 22 4117 GDF=GBA,GFD=GAB, GDFG
10、BA, =, AF=GF+AG, AG=AF=,(9分) 由(2)得AE=AF=.(10分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=.(11分) 如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3. GF GA DF BA 1 2 2 3 2 17 3 1 2 1 2 17 17 2 22 AEAG 22 172 17 23 1768 49 5 17 6 图2 在RtADF中,ADF=90, AF=5, DFAB, GAB=GFD,GBA=GDF, 22 ADDF 22 43 AGBFGD, =, GF+AG=AF=5, AG=2,(12分) 由(2)得AE=AF=5=.(13分)
11、 在RtEAG中,EAG=90, EG=. 综上所述,EG的长为或.(14分) AG FG AB FD 2 3 1 2 1 2 5 2 22 AEAG 2 2 5 2 2 25 4 4 41 2 5 17 6 41 2 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE和AG的长.同时 要注意由于点F的位置不确定需要分类讨论. 6.(2017湖北天门)在RtABC中,ACB=90,点D与点B在AC同侧,DACBAC,且DA=DC,过点B作BE DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME. (1)如图,当ADC=90时,线段MD与ME的数量关系是 ; (
12、2)如图,当ADC=60时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论; (3)如图,当ADC=时,求的值. ME MD 解析解析 (1)MD=ME.提示:延长EM交AD于F,证BMEAMF,得EM=FM,又ADC=90,所以DM=ME= MF. (2)MD=ME. 证明:如图,延长EM交DA于点F, BEDA,FAM=EBM, 又AM=BM,AMF=BME, AMFBME,AF=BE,MF=ME, DA=DC,ADC=60, BED=ADC=60,ACD=60, ACB=90,ECB=30, EBC=30,CE=BE, AF=CE,DF=DE, DMEF,DM平分ADC,MDE=30. 在RtMDE中,tanMDE=. 3 ME MD 3 3 MD=ME. (3)如图,延长EM交DA于点F, BEDA,FAM=EBM, 又AM=BM,AMF=BME, 3 AMFBME,AF=BE,MF=ME, 延长BE交AC于点N,BNC=DAC, DA=DC,DCA=DAC, BNC=DCA, ACB=90,ECB=EBC, CE=BE,AF=CE, DF=DE,DMEF,DM平分ADC, ADC=,MDE=, 在RtMDE中,=tanMDE=tan. 2 ME MD2
