1、 中考数学 （广东专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 考点一 圆的有关概念与性质 A组 20162020年广东中考题组 1.(2018广州,7,3分)如图,AB是O的弦,OCAB,交O于点C,连接OA,OB,BC,若ABC=20,则AOB的 度数是( ) A.40 B.50 C.70 D.80 答案答案 D 根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得AOC=2ABC= 40,由OCAB可得=,AOB=2AOC=80. AC BC 2.(2020广州,8,3分)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm, 则水
2、的最大深度为( ) A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm 答案答案 C 过点O作OCAB于点C,延长OC交O于点D,连接OA. OCAB,AB=48 cm,AC=AB=24 cm. OA=52=26 cm, 在RtOAC中,OC=10 cm, CD=OD-OC=26-10=16(cm).即水的最大深度为16 cm.故选C. 1 2 1 2 22 -OA AC 22 26 -24 方法总结方法总结 在解决与弦有关的问题时,一般是过圆心作弦的垂线,构造直角三角形,利用垂径定理和勾股 定理求线段的长. 3.(2017广州,9,3分)如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD
3、,垂足为E,连接CO,AD,BAD=20,则下列 说法中正确的是( ) A.AD=2OB B.CE=EO C.OCE=40 D.BOC=2BAD 答案答案 D AB为O的直径,AB=2OB,又ABAD,AD=2OB不正确,即A不正确;连接OD,则BOD =2BAD=40,OC=OD,OBCD,BOC=BOD=40,OCE=50,EOCE,B不正确,C不正 确;BOC=40,BAD=20,BOC=2BAD,D正确.故选D. 4.(2017广东,9,3分)如图,四边形ABCD内接于O,DA=DC,CBE=50,则DAC的大小为( ) A.130 B.100 C.65 D.50 答案答案 C 四边形
4、ABCD是O的内接四边形,D=CBE=50,又DA=DC,DAC=(180- 50)=65,故选C. 1 2 思路分析思路分析 由圆内接四边形的性质知,D=CBE,再由三角形的内角和为180及等腰三角形的性质,求 得DAC的大小. 解题关键解题关键 利用圆内接四边形的性质求得D的大小是解题的关键. 5.(2019广州,23,12分)如图,O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC. (1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长. 解析解析 (1)如图,线段CD即为所求. (2)如图,连接BD,OC
5、,OD,记BD与OC交于点E. AB是直径, ACB=90,OB=AB=5, BC=6. 1 2 22 -AB AC 22 10 -8 OB=OD,BC=DC,OC=OC, BOCDOC,BCO=DCO. 又CB=CD, OCBD,BE=DE. 设OE=x,根据勾股定理得BE2=BC2-EC2=OB2-OE2, 62-(5-x)2=52-x2,解得x=. BE=DE,BO=OA,OE是ABD的中位线, AD=2OE=. 四边形ABCD的周长=6+6+10+=. 7 5 14 5 14 5 124 5 思路分析思路分析 (1)以点C为圆心,CB长为半径画弧,交O于另一点D,连接CD,线段CD即为
6、所求. (2)连接BD,OC交于点E,连接OD,设OE=x,利用勾股定理,列出关于BE的两个等式,构建方程求出x,进而利 用中位线定理求出AD长,最后求出四边形ABCD的周长. 6.(2020广州,24,14分)如图,O为等边ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动(不与点A,B重合), 连接DA,DB,DC. (1)求证:DC是ADB的平分线; (2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由; (3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,DMN的 周长有最小值t,随着点D的运动,t的值
7、会发生变化,求所有t值中的最大值. AB 解析解析 (1)证明:ABC为等边三角形,AC=BC, =,ADC=BDC,DC是ADB的平分线. (2)是.解法一:将CBD绕C点顺时针旋转60得CAE,则CBDCAE. DAC+DBC=180,DBC=EAC, EAC+DAC=180,即E,A,D三点共线. CE=CD,ADC=ABC=60, EDC为等边三角形. S四边形ADBC=SEDC=CD2,S=x2. O的半径为2,BC=2. 2x4. AC BC 3 4 3 4 3 3 解法二:在CD上取一点E,使得CE=BD,连接AE. 由BD=CE,ABD=ACE,AB=AC, 得ABDACE,A
8、D=AE. 又ADC=ABC=60,ADE为等边三角形. AD=DE,CD=CE+DE=BD+AD. 作AFCD于F,BGCD于G. 设AD=a,则BD=x-a, AF=AD sin 60=a,BG=BD sin 60=(x-a), 3 2 3 2 S=SACD+SBCD=CD (AF+BG)=x=x2(2x4). (3)作D点关于BC的对称点P,关于AC的对称点Q, 则DN=PN,DM=QM, DMN的周长=DN+MN+DM=PN+MN+QM, 当P,N,M,Q四点共线时,周长取得最小值. PCN=DCN,DCM=QCM, PCQ=2ACB=120. 又CP=CD=CQ,PQ=PC=CD.
9、1 2 1 2 333 - 222 axa 3 4 3 33 即t=CD,当CD为直径时,t最大. 所有t值中的最大值为4. 3 3 7.(2018深圳,22,9分)如图,ABC内接于O,AB=AC,BC=2,cos B=,点D为上一动点. (1)求AB的值; (2)如图1,在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD AE的值是否变化?若不变,请求 出AD AE的值,若变化,请说明理由; (3)如图2,在点D运动的过程中,若AHBD,求证:BH=CD+DH. 图1 10 10 AC 图2 解析解析 (1)如图,作AMBC于点M. AB=AC,AMBC,BC=2,BM=CM=
10、BC=1. 在RtAMB中,cos B=,BM=1, AB=BMcos B=1=. 图 1 2 BM AB 10 10 10 10 10 (2)如图,连接DC. AB=AC,ACB=ABC. 四边形ABCD内接于圆O,ADC+ABC=180. 又ACE+ACB=180,ADC=ACE. 又CAE为EAC与CAD的公共角, EACCAD,=, AD AE=AC2=()2=10. AD AE的值不变,为10. (3)证明:如图,连接CD,在BD上取一点N,使得BN=CD,连接AN. 在ABN和ACD中, ABNACD(SAS), AN=AD. AC AD AE AC 10 , 21, , ABAC
11、 BNCD 又AHBD, NH=HD. BN=CD,NH=HD, BH=BN+NH=CD+HD. 图 思路分析思路分析 (1)由条件AB=AC想到等腰三角形“三线合一”的性质,再综合条件cos B=想到构造含 B的直角三角形,故作AMBC,问题可解决. (2)由结论“求AD AE的值”想到证相似,所以要找到AD和AE所在的三角形,而且要证相似,所以目标转 化为证EACCAD,已有一个公共角,另一个角可以通过圆内接四边形的性质和等角的补角相等得 ADC=ACE,从而得EACCAD.根据相似三角形的性质得=,从而得AD AE=AC2=AB2. (3)在BD上取一点N,使得BN=CD,根据SAS证得
12、ABNACD,再由全等三角形的性质得AN=AD,根据 等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH. 10 10 AC AD AE AC 解题反思解题反思 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三 角函数的定义等知识.对综合应用能力要求比较高,尤其是在复杂的图形中识别基本图形的能力要好,常 见的由“等积形式”想到相似三角形,由证“一条线段等于另两条线段和”的形式想到通过构造全等 来“截长补短”等解题策略的掌握有利于思路的打开. 8.(2017深圳,22,9分)如图,线段AB是O的直径,弦CDAB于点H,点M是不与B、C重合的
13、上任意一 点,AH=2,CH=4. (1)求O的半径r; (2)求sinCMD; (3)直线BM交直线CD于点E,直线MH交O于点N,连接BN交CD于点F,求HE HF的值. BC 解析解析 (1)连接OC,在RtCOH中,OC=r,OH=r-2, 由勾股定理得(r-2)2+42=r2,解得r=5. (2)解法一:连接OD,弦CD与直径AB垂直, =,AOC=COD. 又CMD=COD,CMD=AOC. 在RtCOH中,sinAOC=,sinCMD=. 解法二:连接BC,BD,作CNBD,垂足为N. AD AC 1 2 CD 1 2 1 2 CH OC 4 5 4 5 弦CD与直径AB垂直,C
14、H=DH=4,又BH=8, BC=BD=4. SBCD=CD BH=BD CN, CN=. sinCMD=sinCBD=. 解法三:延长CO交O于点P,连接DP, CDP=90. 5 1 2 1 2 CD BH BD 64 4 5 16 5 5 CN BC 4 5 r=5, CP=10. ABCD,AB是直径, CD=2CH=8, sinCMD=sinCPD=. (3)连接AM,则AMB=90. 在RtABM中,MAB+ABM=90; 在RtEHB中,E+ABM=90, CD CP 4 5 MAB=E. =, MNB=MAB,MNB=E. 又EHM=NHF, EHMNHF, =, HE HF=
15、HM HN. HAM=HNB,HMA=HBN, HMAHBN, =,HM HN=HA HB.HE HF=HA HB=16. BM BM HE HN HM HF HM HB HA HN 思路分析思路分析 (1)在RtCOH中,由勾股定理可以算出r; (2)只要证明CMD=COA,就可求出sinCMD;也可以通过作辅助线将CMD转移到同弧所对的圆 周角CBD或CPD来求其正弦值; (3)由EHMNHF,推出=,推出HE HF=HM HN,由HMAHBN得到HM HN=HA HB,推出 HE HF=HA HB,即可解决问题. HE HN HM HF 9.(2016广州,25,14分)如图,点C为AB
16、D外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),ACB= ABD=45. (1)求证:BD是该外接圆的直径; (2)连接CD,求证:AC=BC+CD; (3)若ABC关于直线AB的对称图形为ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系, 并证明你的结论. BAD 2 解析解析 (1)证明:ADB=ACB,ACB=45, ADB=45, 又ABD=45,BAD=180-ABD-ADB=180-45-45=90,BD是该外接圆的直径. (2)证明:如图,延长CD至点E,使DE=BC,连接AE. 四边形ABCD内接于圆,ABC+ADC=180, 又ADE+ADC=180
17、,ABC=ADE. ABD=ADB=45,AB=AD. 在ABC和ADE中, ABCADE, BAC=DAE,AC=AE, BAC+CAD=DAE+CAD,即BAD=CAE=90, ACE是等腰直角三角形,CE=AC, 又CE=CD+DE=CD+BC,AC=BC+CD. (3)DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系是DM2=BM2+2AM2. 证明:如图,作AEAM,且截取AE=AM,连接ME,BE. , , , ABAD ABCADE BCDE 2 2 AME为等腰直角三角形,AME=45,ME2=2AM2. ABC与ABM关于直线AB对称, AMB=ACB=45, BME=90,BE
18、2=BM2+ME2=BM2+2AM2. MAE=BAD=90,EAB=MAD. 在DAM和BAE中, DAMBAE, DM=BE,DM2=BM2+2AM2. , , , ADAB MADEAB AMAE 思路分析思路分析 (1)要证明BD是该外接圆的直径,就需要证明BAD是直角,因为ABD=45,所以需要证明 ADB=45; (2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,通过证明ACE是等腰直角三角形就可得出结论; (3)作AEAM,且截取AE = AM,连接ME,BE.证明DAMBAE,可得出BE=DM,根据勾股定理即可得 出DM2,AM2,BM2三者之间的数量关系. 考点二 与圆有关的位置
19、关系 1.(2019广州,5,3分)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线的条数为( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案答案 C 点P到点O的距离为2,O的半径为1,点P到圆心的距离大于半径,点P在O外.过圆 外一点可以作圆的两条切线,过点P可以作O的两条切线.故选C. 2.(2020广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与 AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4 5 答案答案 B C=90,AB=5,cos A=, AC=AB cos A=5=4,
20、BC=3. r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B. AC AB 4 5 4 5 22 -AB AC 22 5 -4 3.(2020深圳,20,8分)如图,AB为O的直径,点C在O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,连接BC 并延长,交AD的延长线于点E. (1)求证:AE=AB; (2)若AB=10,BC=6,求CD的长. 解析解析 (1)证明:连接AC、OC. CDAE,CDE=90.又CD为O的切线, OCD=90=CDE,COAE. O为AB的中点, CO为BAE的中位线,CO=AE. AB为O的直径,ACB=90. 在RtABC中,CO为斜边中线, CO=AB,AE=AB.
21、(2)AB=10,BC=6, CE=CB=6,AE=AB=10,AC=8. SACE=AC CE=AE CD, 1 2 1 2 22 -AB BC 1 2 1 2 86=10CD,CD=. 24 5 一题多解一题多解 (1)连接OC. CD为O的切线,CDAE, OCD+ADC=90+90=180, OCAE,OCB=E. 又OB=OC,OCB=B,E=B,AE=AB. (2)连接AC.AB是O的直径,ACB=90. AB=AE=10,BC=6,AC=8,CE=BC=6. ACB=CDE=90,B=E, ABCCED,=,即=.CD=. AC CD AB CE 8 CD 10 6 24 5 4
22、.(2020广东,22,8分)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,DAB=90,AB是O的直径,CO平分BCD. (1)求证:直线CD与O相切; (2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧上一点,AD=1,BC=2,求tanAPE的值. 图1 图2 AE 解析解析 (1)证明:过点O作OECD于E. ADBC,DAB=90,ABC=90. 又CO平分BCD,1=2. 又OC=OC,BOCEOC. OB=OE. CD为O的切线.(4分) (2)连接OD,OE. 由(1)得OE=OB, OE=OA. OAD=OED=90,OD=OD, AODEOD(HL), DE=AD=1,3=4=AOE.
23、APE=AOE=3. 由(1)知BOCEOC,CE=BC=2. CD=DE+CE=1+2=3. 过点D作DFBC,垂足为F, CF=BC-BF=BC-AD=2-1=1. 在RtDFC中,DF=2. 1 2 1 2 22 -CD CF 22 3 -12 OA=AB=DF=. tanAPE=tan3=.(8分) 1 2 1 2 2 AD OA 1 2 2 2 思路分析思路分析 (1)过点O作OECD于E,先利用平行线的性质得出ABC=90,根据全等三角形的判定和性 质可得OE=OB,然后根据圆的切线的判定定理得证;(2)连接OD,OE,过D作DFBC.根据圆周角定理易得 APE=3,再根据全等三角
24、形的判定和性质可得CE=BC=2,DE=AD=1,然后根据勾股定理求出DF的长 度,也就求出半径OA的长度,最后根据正切的定义即可得解. 5.(2016广东,24,9分)如图,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,ABC=30.过点B作O的切线BD,与 CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E.过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F. (1)求证:ACFDAE; (2)若SAOC=,求DE的长; (3)连接EF,求证:EF是O的切线. 3 4 解析解析 (1)证明:BC是O的直径, BAC=BAD=90. ABC=30,OA=OB=OC, OAB=OBA=30, OAC=OCA
25、=AOC=60, ACF=DAE=120.(1分) AF是O的切线,OAAF,OAF=90, CAF=90-OAC=90-60=30.(2分) BD是O的切线, D=90-BCD=90-60=30, D=CAF, ACFDAE.(3分) (2)设OC=r,OAC是等边三角形, SAOC=rr=r2,(4分) 1 2 3 2 3 4 r2=,r=1或r=-1(舍去),OC=1. AB=,BD=2.(5分) BEO=180-DAE-D=180-120-30=30, BEO=BAO,BE=AB=,DE=BD+BE=3.(6分) (3)证明:过点O作OGEF,垂足为G. OBE=OAF=90,OB=O
26、A,BOE=AOF, BOEAOF,OE=OF.(7分) 又EOF=120,OEF=OFE=30. BEO=OEF=30,即EO平分BEF.(8分) 3 4 3 4 33 33 又OBBE,OGEF,OG=OB, EF为O的切线.(9分) 6.(2018广东,24,9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的O经过点C,连接AC、OD交于点 E. (1)证明:ODBC; (2)若tanABC=2,证明:DA与O相切; (3)在(2)的条件下,连接BD交O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长. 解析解析 (1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC, 图1 点O在线段AC的垂
27、直平分线上. 同理,点D在线段AC的垂直平分线上. OD是线段AC的垂直平分线, ODAC,AE=EC. AB为O的直径,BCA=90,即BCAC, ODBC. (2)证明:tanABC=2,BC=AC. 由(1)得E是AC的中点,AE=AC. BC=AE. 又AB=AD, RtABCRtDAE, BAC=ADE, OAD=BAC+EAD=ADE+EAD=90, ABAD,DA与O相切. (3)BC=1,AC=ED=2, AD=CD=AB=, 1 2 1 2 22 ACBC5 AO=BO=AB=, OD=. AB=AD,ABAD, ABD是等腰直角三角形, BD=AB=. 如图2,连接AF,则
28、AFBD, 1 2 5 2 22 AOAD 5 2 210 图2 DEFDBO, =, EF=BO=. EF BO DE DB 10 5 10 5 2 2 F是BD的中点, FD=BD=. =,EDF=BDO, 1 2 10 2 DF DO DE DB 10 5 思路分析思路分析 (1)由已知可得OD是线段AC的垂直平分线,则ODAC,由AB是O的直径得ACB=90,所 以ACBC,所以ODBC. (2)要证DA与O相切,就要证OAD=90,通过证RtABCRtDAE得BAC=ADE,即可证DA与 O相切. (3)先证ABD为等腰直角三角形,再证DEFDBO,列式求EF. 一题多解一题多解 (
29、1)(2)同上. (3)如图,连接AF,CF,并延长CF交OD于点G. BC=1,AC=ED=2. AB是O的直径, AFB=90, 又AB=AD,BF=DF. ODBC, =1, DG=BC=EG=CE=1,CF=GF, CG=, EF=CF=GF=CG=. DG BC DF BF GF CF 2 1 2 2 2 7.(2019广东,24,9分)如图1,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB交O于 点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证:ED=EC; (2)求证:AF是O的切线; (3)如图2,若点G是ACD的内心,BC
30、BE=25,求BG的长. 图1 图2 解析解析 (1)证明:如图. AB=AC,1=3. 又1=2,2=3.(1分) 又3=4, 2=4, ED=EC.(2分) (2)证明:如图,连接OA、OB、OC. OB=OC,AB=AC,AO垂直平分BC, AOBC.(3分) 由(1)知2=3,ABDF. 又AB=AC=CF, 四边形ABCF是平行四边形.(4分) AFBC,AOAF. 又OA是O的半径, AF是O的切线.(5分) (3)如图,连接AG. 1=2,2=5,1=5. G是ACD的内心,7=8. BAG=5+7, 6=1+8, BAG=6, AB=BG.(7分) 3=3,1=5, ABECB
31、A, =,(8分) AB2=BE BC=25, AB=5, BG=5.(9分) AB BE BC AB 思路分析思路分析 (1)在一个三角形中证两边相等,常用的方法是利用等角对等边,在圆中找角相等,常用到的是 同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)可先证OABC,再证明四边形ABCF为平行四边形,可得AFBC,从而 得结论;(3)由已知条件证得BG=AB,ABECBA,由BC BE=25,求出AB的长度为5,从而求得结果. 8.(2019深圳,23,9分)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直径作圆,圆心为E, 直线AC交E于点D,连接OD. (1)
32、求证:直线OD是E的切线; (2)点F为x轴上任意一动点,连接CF交E于点G,连接BG. 当tanACF=时,求所有F点的坐标: (直接写出); 求的最大值. 1 7 BG CF 图1 图2 解析解析 (1)证明:如图,连接DE,BD. BC为直径, BDC=90,BDA=90. A(3,0),B(-3,0), OA=OB, OD=OB=OA,OBD=ODB. ED=EB,EBD=EDB, EBD+OBD=EDB+ODB, 即EBO=EDO. B(-3,0),C(-3,8), CBx轴, EBO=90,EDO=90. 又DE是E的半径, 直线OD为E的切线. (2)F点的坐标为或(5,0).
33、详解:如图,当F1位于线段AB上时,过点F1作F1NAC于点N. 43 ,0 31 易证ANF1ABC, =. AB=6,BC=8,AC=10, =. AN AB 1 NF BC 1 AF AC 3 AN 1 4 NF 1 5 AF 设AN=3x,则NF1=4x,AF1=5x, CN=CA-AN=10-3x. 在RtCF1N中,tanACF1=, 解得x=, AF1=5x=,OF1=3-=,即F1. 如图,当点F2位于BA的延长线上时,过点F2作F2MAC交CA的延长线于点M. 1 FN CN 4 10-3 x x 1 7 10 31 50 31 50 31 43 31 43 ,0 31 易证
34、AMF2ABC, =. AB=6,BC=8,AC=10, =. AM AB 2 MF BC 2 AF AC 3 AM 2 4 MF 2 5 AF 设AM=3x,则MF2=4x,AF2=5x, CM=CA+AM=10+3x. 在RtCMF2中,tanACF2=, 解得x=, AF2=5x=2,OF2=3+2=5, 即F2(5,0). 综上,F点的坐标为或(5,0). 如图,过点G作GHCB于点H. 2 F M CM 4 103 x x 1 7 2 5 43 ,0 31 CGB=CBF=90,BCG=FCB, BCGFCB. 又GH是CBG中CB边上的高,BG是CBF中CF边上的高, =,=. H
35、G BG CB CF BG CF HG CB CB=8,0HG4, =,即, 的最大值为. HG CB 4 8 1 2 BG CF 1 2 BG CF 1 2 9.(2017广州,25,14分)如图,AB是O的直径,=,AB=2,连接AC. (1)求证:CAB=45; (2)若直线l为O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在的直线与AC所在的直线相交于 点E,连接AD. 试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论; 是不是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. AC BC EB CD 解析解析 (1)证明:如图,连接BC. =, AC=BC, CAB=CBA
36、, 又ACB=90, CAB=45. (2)AD=AE.证明如下: (i)当D在C左侧时,如图1所示,连接OC,过B作BFl于F. AC BC 图1 由(1)可得,ACB为等腰直角三角形. l是O的切线,OCl,又BFl,COAB,四边形OBFC为矩形,又OB=OC,四边形OBFC为正方 形,AB=2OB=2BF,BD=2BF, BDF=30,DBA=30,BDA=BAD=75,CBE=15, AED=CEB=90-15=75, ADE=AED,AD=AE. (ii)当D在C右侧时,如图2所示,连接OC,过B作BFl于F. 图2 同(i)证得BDF=30,ABE=30, AEB=90-ABE-
37、CBA=15. AB=BD,ADB=15,AED=ADE,AE=AD. 是.(i)当D在C左侧时,过点E作EIAB于点I,如图3所示. 图3 CDAB,ACD=BAE, 又由(i)知DAC=EBA=30, CADABE,=,AE=CD. EIA=90,EAI=45,EI=AE. 在RtIBE中,EBI=30, AC AB CD AE 1 2 2 2 2 BE=2EI=2AE=AE=2CD, =2. (ii)当D在C右侧时,过点E作EIAB,交BA的延长线于点I,如图4所示. 2 2 2 BE CD 图4 由(ii)得,ADC=BEA=15, ABCD,DCA=EAB, ACDBAE,=, AE
38、=CD. IAE=CAB=45,EIA=90, EI=AE. 在RtIBE中,IBE=30, BE=2EI=2AE=AE=2CD,=2. AC AB CD AE 1 2 2 2 2 2 2 2 BE CD 思路分析思路分析 (1)由=得AC=BC,由AB是O的直径知ACB=90,可得CAB=45; (2)分D在C左侧和右侧两种情况:(i)作BFl于点F,证四边形OBFC是正方形,可得AB=2OB=2BF,再由 BD=2BF知BDF=30,再求出ADE=AED即可得结论;(ii)同理,可求出AED=ADE,即可得结论; 分D在C左侧和D在C右侧两种情况,作EIAB,证CADABE,得=,即AE=
39、CD,可得 EI=AE,可得BE=2EI=2AE=AE=CD=2CD,从而得出答案. AC BC AC AB CD AE 1 2 2 2 2 2 2 222 B组 20162020年全国中考题组 考点一 圆的有关概念与性质 1.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于( ) A.54 B.56 C.64 D.66 答案答案 A 根据圆周角定理的推论得BCD=A,BCD=36,A=36,根据直径所对的圆周角是 直角可得ADB=90,ABD=90-36=54,故选A. 2.(2019吉林,5,2分)如图,在O中,所对的圆周角ACB=50,若P为上
40、一点,AOP=55,则POB 的度数为( ) A.30 B.45 C.55 D.60 AB AB 答案答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100, POB=100-55=45.故选B. 3.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆 材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁 中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是 寸. 答案答案 26 解析解析 由垂径定理可知OE垂直平分AB,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=
41、(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+ OD2=OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸. 4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD= 6,则AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90.因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=3 0.因为=cos 30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos 60=4=2. AD AB 6 3 2 33 1 2 3 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2020江苏苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是
42、O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若 C=40,则B的度数是 . 答案答案 25 解析解析 AC是O的切线, OAC=90, C=40, AOD=50, B=AOD=25. 1 2 2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC.在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60.又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 解题关键
43、解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键. 3.(2020福建,21,8分)如图,AB与O相切于点B,AO交O于点C,AO的延长线交O于点D,E是上不 与B,D重合的点,sin A=. (1)求BED的大小; (2)若O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3,求证:DF与O相切. BCD 1 2 3 解析解析 本小题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等 三角形的判定和性质,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想. (1)连接OB,AB与O相切于点B,OBAB. sin A=,A=30,AOB=60,则
44、BOD=120. 点E在上,BED=BOD=60. (2)证明:连接OF,由(1)得OBAB,BOD=120, 1 2 BCD 1 2 OB=3,BF=3,tanBOF=, BOF=60,DOF=60. 在BOF与DOF中, BOFDOF.ODF=OBF=90. 又点D在O上,故DF与O相切. 3 BF OB 3 , , , OBOD BOFDOF OFOF 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. 题干解读题干解读 (1)本题已知AB与O相切于B,连接OB得出OBA=90,同时已知sin A=,会联想到A=30,所以 AOB=60,从而求得BOD,再由圆周角与圆心角的关系即可求出答案.(2)因
45、为OD为O的半径, 所以要证明DF是O的切线,只要证明ODF=90,利用(1)所求的特殊角,通过证明及计算得出DOF= 60,再通过三角形全等的证明即可完成. 1 2 4.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于 点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:ADEC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. CE与O相切于点C,OCE=90.(1分) 又ABC=45,AOC=90. ADEC.(3分) (2)如图,过点A作AFEC,垂足为F. OA=OC,四边
46、形AOCF为正方形. ABC=45,BAC=75, ACB=60.D=60. AD是直径, ABD=90,BAD=30. 在RtABD中,AD=8.(6分) AF=CF=OA=4. ADEC,E=BAD=30. 在RtAEF中,EF=12.EC=EF+FC=12+4.(8分) cos30? AB 3 3 tan30? AF 3 5.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于 a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点D作DEBA
47、,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线 DE与图形G的公共点个数. 解析解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D均在O上. 连接OA,OC,OD,如图. BD平分ABC,ABD=CBD. 又ABD=AOD, CBD=COD, AOD=COD. 1 2 1 2 AD=CD. (2)AD=CD,AD=CM, CD=CM. CDM=CMD. 又CMD=CBD, CDM=CBD. DMBC, DCB+CDM=90,DCB+CBD=90. BDC=90. BC为O的直径. 点O在BC上. OB=OD,OBD=ODB. ABD=ODB. ABOD. 又DEBE, ODDE, DE为O的切线. DE与O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1. 6.(2017湖北黄冈,20,7分)已知:如图,MN为O的直径,ME是O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为 点D,且ME平分DMN. 求证:(1)DE是O的切线; (2)ME2=MD MN. 证明证明 (1)OM=OE,OME=OEM. ME平分DMN,OME=DME.OEM=DME.OEMD. 又MDDE,OEDE. OE为O的半
