1、 中考数学 （福建专用） 第八章 专题拓展 8.1 尺规作图 1.(2020河北,6,3分)如图1,已知ABC,用尺规作它的角平分线. 如图2,步骤如下, 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E; 第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在ABC内部交于点P; 第三步:画射线BP.射线BP即为所求. 图1 图2 下列正确的是( ) A.a,b均无限制 B.a0,bDE的长 C.a有最小限制,b无限制 D.a0,b0,bDE的长,故选B. 1 2 2.尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分线;.过直线上一点作这条 直线的垂线;.作角的
2、平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A., B., C., D., 答案答案 D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选D. 3.在ABC中,ABBC,用尺规作图在BC上取一点P,使PA+PC=BC,则下列作法正确的是( ) 答案答案 D 由题意可知BC=BP+PC.又PA+PC=BC,PA=PB,即P点在线段AB的垂直平分线上,故D正确. 4.(2019吉林长春,7,3分)如图,在ABC中,ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使ADC= 2B,则符合要求的作图痕迹是( ) 答案答案 B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,B=D
3、CB,ADC=B+DCB= 2B. 思路分析思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与B相等的角,利用三角形 外角与内角的关系分析. 5.(2018山西,14,3分)如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步 骤作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;分别以C,D为圆心,大于CD长 为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE交PQ于点F.若AB=2,ABP=60,则线段AF的长为 . 1 2 答案答案 2 3 解析解析 过点B作BGAF交AF于点G, 由尺规作图可知,AF平分NAB,NAF=BAF.
4、 MNPQ,NAF=BFA,BAF=BFA,BA=BF=2.BGAF,AG=FG,ABP=60, BAF=BFA=30.在RtBFG中,FG=BFcosBFG=2=, AF=2FG=2. 3 2 3 3 6.(2020北京,20,5分)已知:如图,ABC为锐角三角形,AB=AC,CDAB. 求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且ABP=BAC. 作法:以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点; 连接BP. 线段BP就是所求作的线段. (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 1 2 证明:CDAB, ABP= . AB=AC, 点B在A上.
5、 又点C,P都在A上, BPC=BAC( )(填推理的依据). ABP=BAC. 1 2 1 2 解析解析 (1)补全的图形如图所示. (2分) (2)BPC;(3分) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(5分) 7.(2018北京,17,5分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图, 在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B; 在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q; 作直线P
6、Q. 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AB= ,CB= , PQl( )(填推理的依据). 解析解析 (1)补全图形,如图所示: (2)AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边. 8.(2018泉州质检,19)如图,在锐角ABC中,AB=2 cm,AC=3 cm. (1)尺规作图:作BC边的垂直平分线分别交AC,BC于点D、E(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,连接BD,求ABD的周长. 解析解析 (1)如图所示,直线DE为所求作的直线. (2)DE垂直平分
7、BC,BD=CD. ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=5 cm. 9.如图,已知MAN,点B在射线AM上. (1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法): 在AN上取一点C,使BC=BA; 作MBC的平分线BD; (2)在(1)的条件下,求证:BDAN. 解析解析 (1)如图. (2)证明:AB=BC, A=BCA, BD平分MBC, MBD=CBD, MBC=A+BCA, 即MBD+CBD=A+BCA, MBD=A, BDAN. 10.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用分别 按下列要求画图(保留画图痕迹
8、). (1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高. 无刻度的直尺 解析解析 画法如图. (1)AF即为所求. (2)BH即为所求. 解题关键解题关键 本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角 形三线合一等知识解决问题. 11.如图,已知ABC,点D在边AC上. (1)作ADE,使ADE=ACB,DE交AB于点E; (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)若BC=5,点D是AC的中点,求DE的长. 解析解析 (1)如图,ADE即为所求. (2)ADE=ACB, DEBC, 点D是AC的中点, DE
9、为ABC的中位线, DE=BC=. 1 2 5 2 12.在ABC中,ACB=90,CD为ABC的角平分线. (1)求作:线段CD的垂直平分线EF,分别交AC、BC于点E、F,垂足为O(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写 作法); (2)求证:COECOF; (3)连接DE、DF,判断四边形CEDF是什么特殊四边形,并说明理由. 解析解析 (1)如图. (2分) (2)证明:EF垂直平分CD, COE=COF=90, CD平分ACB, ECO=FCO,(3分) 在COE和COF中, COECOF(ASA).(5分) (3)四边形CEDF是正方形.(6分) 理由如下: 由(1)得CE=DE,CF=
10、DF, 由(2)得CE=CF, CE=ED=DF=CF, 四边形CEDF是菱形, 又ACB=90, 四边形CEDF是正方形.(8分) , , , COECOF COCO ECOFCO 作法提示作法提示 1.分别以点C、D为圆心,大于CD长为半径在CD两侧作弧,分别交于点G、H;2.过点G,H作 直线GH,分别交直线AC、BC于点E、F,直线EF即为所求作的垂直平分线. 1 2 13.(2020漳州一检,22)如图,在RtABC中,ACB=90,CD平分ACB交AB于点D. (1)在AC边上求作一点E,使得ADEABC;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若AC=15,BC=10,求DE的长. 解析 (1)作法一:如图1. 点E就是所求作的点.(4分) 作法二:如图2. 点E就是所求作的点.(4分) (2)由(1)可知DEBC. EDC=BCD.(5分) CD平分ACB, ACD=BCD. ACD=EDC.(6分) CE=DE.(7分) ADEABC, =,(8分) 设DE=x,则CE=x,AE=15-x. =.(9分) 解得x=6. DE的长为6.(10分) DE BC AE AC 10 x15 15 x
