1、 专题 16 相似三角形的性质 例例1 10.5 提 示 ： BEAEEF EGECBE 例例2 C 例例3 144 提 示 ： 312 1 ABCABCABC ttt SSS 例例 4 解法一：如图 1，过点 O 作 AC 的平行线交 BC，AB 于点 D，EDEAC，OAC=1，1=BAO，OAC=OCA，AO=OC，AE=OE， AOEACO， ACOC AOEO ，DEAC， ABAE CBCD ，2=OBC，BCO=BCO， OCDBCO， OCCD BCCO ，得 AC CO AB OCOCAECD BCBCOECD OC ， 2 1 AC AB BC （AO=OC，AE=OE）
2、， 2 BCAC AB 解法二：如图 2，不妨设 AB AC，延长 CA 至点 P，使 CP=AB，连接 PB，PO 在BAO 和PCO 中， BAPC BAOPCO AOCO ， BAOPCO， CPO=ABO O，A，P，B 四点共圆， OAB=OPB=OBC 而CPO=ABO， ABC=CPB， 又ACB=BCP， CBACPB， ACBC BCPC ，注意到 PC=AB， 2 BCAC AB，即ABC 三边成比例 图 1 A B C E D O 1 2 P A BC O 图 2 例 5 提示： （1）BC=10 （2）如图 1，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G，则 BG=AD
3、=3，GC=7，MNDG， 当 M，N 运动 t 秒时，CN=t，CM=10-2t， 由MNCGDC，得 CNCM CDCG ，即 102 57 tt ，解得 50 17 t （3）当 NC=MC 时，如图 2，则 t=10-2t， 10 3 t； 当 MN=NC 时，如图 3，过点 N 作 NEMC 于点 E，过点 D 作 DHBC 于点 H， 由NECDHC，得 CNEC CDHC ，即 5 53 tt ，解得 25 8 t； 当 MN=MC 是，如图 4，过点 M 作 MFCN 于点 F，则 11 22 FCNCt 由MFCDHC，得 FCMC HCDC ，即 1 102 2 35 t
4、t ，解得 60 17 t 例 6（1）AD=DC， DAC=DCA ADBC， DAC=ACB BCD=60， DCA=ACB=30 B=30， DAC=B=30， DACABC 过点 D 作 DEAC 于点 E AD=DC， AC=2EC 在 RtDEC 中，DCA=30， 3 cos 2 EC DCA DC ， 2 3 DCEC， 1 3 DC AC ， F H E H N N N M M M N G D C B A D C B AD CB A D A B CM 图 1 图 2 图 3 图 4 2 1 0.3 3 DAC ABC DC AC S S ， 0.30.4 DAC ABC S
5、S ， DAC 与ABC 有一定的“全等度” （2）DAC 与ABC 有一定的“全等度”不正确 反例：若ACB=40，则DAC 与ABC 不具有一定的“全等度” B=30，BCD=60， BAC=110 ADBC， D=120 DAC 与ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等 DAC 与ABC 不相似 若ACB=40，则DAC 与ABC 不具有一定的“全等度” A 级级 125 2 2 9 S 3 1 9 4 12 7 或 60 37 5B 6C 7C 8A 9提示：由ABCDCA，得 2 2 ABC ADC SABBC CDSAD 10提示： （1）ABF=COE，BAF=C，可证明ABFC
6、OE （2）如图，作 OGAC，交 AD 的延长线于 G，则G=C， O 为 AC 中点，AC=2AB， FOG=BOA=COE=45， FOGEOC， OFOG OEOC 又 AO=BA，G=C，AOG=BAC， AGOBCA， OG=AC=2OC， 2 OFOG OEOC （3） OF OE n 11提示： （1） 1 1 4 S S （2） 2 1 4 04 16 Sxx x S F D E G C O B A (第 10 题) （3）不存在点 D，使得 1 1 4 SS成立，从而反面说明 12 （1）当 MN=3 时，点 P 在 BC 上 （2）当03x时， 2 1 3 yx当3x 时
7、，y 有最大值为 3； 当36x时，设PMN 与 BC 相较于点 E、F，BC 边上的高为 4，则 2 4 4 3 4 PEF ABC x S S ， 2 4 3 3 PEF xS， 22 22 14 3812 33 44 AMNPEF ySSxxxxx 当 x=4 时，y 有最大值为 4 B 级级 1405cm2 提示：1 DEFCIC BCBCBC 2 3 2 提示：RtBADRtCBA 3C 4C 提示：延长 DA、CB 相交于 G， 2 1 9 GAB GDC SAB SCD 设 GAB SS ，则9 GDC SS ，8 ABCD SS， 222 :1:5:9 GABGEFGDC GA
8、GEGDSSS 5EBDDACABC， 1 mBD mBC ， 2 mDCAC mACBC ， 2 2 2 1 155 11 244 mmBDACBCDCACDCACACACAC mBCBCBCBCBCBCBC 6提示： 16 3 DEFGHI， 20 3 IFABDE， 20 3 AFAIIFAI， 由AFGABC，得 AFGF ABBC ， 4 3 AI ，FB=4 7设 BC=a，BC 边上的高 AD=h，PS=x，RS=y 由ASRABC，得 hx ya h ， ABCPQRS SnS 矩形 ， 1 2 hx ahnxynxa h ， 整理得 22 220nxnxhh， 2 11 2
9、22 x nn hn 22 2 221nnnn， 2 2nn不是完全平方数， 2 2nn为无理数， 从而 x h 为无理数，于是 BS BA x h 为无理数. 8.提示： （1） 3 6 4 yx . （2） 2 3 3 10 Stt . （3）如图 1，当 CP=CQ 时，即10tt ，得5t .如图 2，当 QC=QP 时，过点 Q 作 QDx 轴于 D，则 11 10 22 CDPCt.QDCBOC， CDCQ COCB ，即 1 10 2 810 t t ，得 50 13 t . （3）如图 3，当 PC=PQ 时，过 P 作 2 PDl于 D，则 11 22 CDCQt.CDPCO
10、B. CDCP COCB ，即 1 10 2 810 t t ，得 80 13 t 综上所述，当5t 或 50 13 或 80 13 时，PCQ 为等腰三角形. 9.设三角形边长为,a b c.设x为正方形的边长，h为三角形的高，S为三角形的面积.设 D、 E、 F、 G 是立于a边上的正方形的顶点.GFBC，AGFABC， aaa a xhx ah ， 2 a a aa ahS x ahah .同理可得： 22 , bc bc SS xx bhch .据题意 abc xxx，故得 222 abc SSS ahbhch ，或 abc ahbhch，但 111 222 abc Sahbhch，
11、故 abc ahbhch.由得 22 ab ahbh， 因此 ab ahbh， 故 ab ahbh， 或 ab ahhb，其中必有一成立.若式成立，由求得 b ah，矛盾（直角三角形斜边大 于直角边） ，故式成立.有得ab.同理可证bc，故abc，即ABC 为正三角形. 10.(1)连结 AC，CF，可证明ACFDCE，得2 AF DE . （2）2 AF DE . 证明ADHCPH，CPH=ADH=90 ，故 CPAF. （3） 2 1 AF k DE . 11.(1)B(3,6). (2)作 EGx 轴于点 G，可求得 E（2，4） ，直线 DE 的解析式 1 5 2 yx . （3）存在
12、.如图 1，当 OD=DM=MN=NO=5 时，四边形 ODMN 为菱形.作 MPy 轴于点 P，则 MPx 轴，MPDFOD， MPPDMD OFODFD .又当0y 时， 1 50 2 x，解得 10 x .F 点的坐标为（10，0）.OF=10. 在 RtODF 中， 2222 5105 5FDODOF， 5 105 5 5 MPPD ， 2 5MP ，5PD .点 M 的坐标为 2 5, 55.点 N 的坐标为 2 5,5. 如图 2，当 OD=DN=NM=MO=5 时，四边形 ODNM 为菱形，延长 NM 交 x 轴于点 P，则 MPx 轴.点 M 在直线 1 5 2 yx 上.设 M 点坐标为 1 ,5 2 aa ，在 RtOPM 中， 222 OPPMOM， 2 22 1 55 2 aa ，解得 12 4,0aa舍去， 点 M 的坐标为（4，3）.点 N 的坐标为（4，8）. 如图 3，当 OM=MD=DN=NO 时，四边形 OMDN 为菱形，连结 NM 交 OD 于点 P，则 NM 与 OD 互相垂直平分， 5 2 yMyNOP. 15 5 22 xM， 5xM ， 5xNxM. N 的坐标为 5 5, 2 .综上所述，x 轴上方的点 N 有三个，分别为 1 2 5,5N， 2 4, 8N， 3 5 5, 2 N .
