1、 专题 22 与圆相关的比例线段 例 1 设CE=4k， 则DA=DF=3k,AF=AC=85， 由2= ， 即(85) 2=3k10k,得2 = 32 3 ,而 AE=2 2= 362 320=8，又 BE= =12 2 8 =16，故 AB=AE+BE=24. 例 2 C 例 3 1 提示：设 EB=x，则 AE=4x.设 CB=y，则由2= ， 2= ， 2+ 2= 2， 得 4=y(y+5x)， 42+ ( + )2= 4. 例 4 （1） 联结 OB， OP， 可证明BDC PAE，有2= .又OC 为ABD 的中位线，OCAD，则 CEOC，知 CE 为O 的切线，故2= ,有2=
2、 2,即 PE=PC. 例 6 解法一： 如图 1， 过 P 作 PHST 于 H， 则 H 是 ST 的中点， 由勾股定理得2= 2+ 2= 2 2+ 2= 2 2+ 2= 2 ( )( + ) = 2 . 又 由 切 割 线 定 理 和 相 交 弦 定 理 ， 有 2= = ( )( ) = 2 ( + ) + 2， = 2 +，即 1 = 1 2( 1 + 1 ).解法 二：如图 2，联结 PO 交 ST 于 D，则 POST.联结 SO，作 OEPB 于 E，则 E 为 AB 的中 点，于是 = + 2 .C，E，O，D 四点共圆， = .RtSPDRtOPS， 2= ， + 2 =
3、，即 1 = 1 2( 1 + 1 ). A 级 1.22 2.6 提示： BDECFE， DE=EF， OF=FE=ED， 设 OF=x， 则 OA=OD=3x， AE=5x， 由 = ， 得(5) 2 = 5, 1， =2+ 2= 6. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2) = 2 = 12， AEDABE， = = 2 2 .设 DE=2， BE=2x， 而2+ 2= 2， 解得 x=6.DE=2 6 = 23. 10. （1） 略 （2） 2= , = , = ,( + )2= 2( + ).可得 PB=BD= 1 2PD，PB=PD= 1 2DC
4、， 22= .又BDCD=ADDE， 22= . 11.作DEAC于E， 则AC=5 4AE， AG=5 2DE.由切割线定理得 2 = = 5 4，故 25 4 2= 5 4,即5 2 = .AB=5DE， = ,于是 = .又BAF=AED=90 ， BAFAED， 于是又ABF=EAD. EAD+DAB=90，ABF+DAB=90，故 ADBE. 12. 如 图 ， 连 接AD ， AE. DAC= DAE ， ADC EAC ADEA ADACDCEA DCAC . CDF=1=2=DEA，tanCDF=tan DEA= AD AE .由知= ADDC AEAC ，故 tanCDF=
5、DC AC .由圆的切割线定理知 2 ACDCEC，而 EC=ED+DC， 则 2 ACDC DCED.又 AC=nAB， ED=AB， 代入上式得 22 n ABDC DCAB， 即 222 n0DCABDCAB，故 2 114n = 2 DC .显然，上式只能取加号，于是 2 14n1 2n = n DCDC tan CDF ACAB . B 级级 1. B 2. B 3. C 4. A 5. 提 示： 1 = 2 ADCDAC tanB CDDBBC .设 AD=x，则 CD=2x，DB=4x，AB=5x，由PACPCB 得， 1 = 2 PAAC PCCB ， PA=5， 又 2 P
6、CP A P B， 即 2 1 0= 55 5 x ， 解得： x=3， AD=3， CD=6， DB=12， 1 36 2 BCD SCDDB. 6. 略. 连接 FB，证明 PF=PE，BFA=AFC. 7. 能.连接 BC，作ACE=B ，CE 交 AB 于 E. PB 与O 相切. C 是 PE 的中点. 8. 连接 OA、OB、OC，则 2 PAPDPOPBPC，于是，B、C、O、D 四点共圆，有 PCDPOB，则= PCPOPO CDOBOC ，又由 POCPBD 得 POPB OCBD ，由得 PBPC BDCD . 9. 略 A（4,3） ，OA=5. P（3， 9 4 ）.
7、10. 延长 BA， CD 交于点 G， 由 RtCAGRtBDC， 得 A C C G B DB C ， 即ACBCBD CG， 又 1 2 DGCDCG，故2ACBCBDCG. 由 RtCDERtCAG，得 CECD CGAC ， 即 2 5 34 5 CE CE ， 解 得CE=5 ， 从 而AG= 2 2 2 2 4 5354CGAC， GA GBGDGC，即442 54 5AB ，解得AB=6， 22 2 2 61035BCABAC. 11. 延长 AD 交O 于 E，连接 PE、BE、CE，PA 为O 的切线，POAE，PE=PA， 1 2 ADDEAE，易证PABPCA，PEBPCE，, ABPA EBPE ACPC ECPC ，则 ABEB ACEC ，即ABECACEB，由托勒密定理得=ABECACEB AEBC. =ABECACEB ADBC，即 ABBC ACBC ADEC ADEB ，有BAE=BCE，CAD=CBE， ABDCBE，CADCBE，则ABDCAD， ADCD BDAD ，故 2 ADBD CD.
