1、 专题 02 从求根公式谈起 例 1 3 或 2 例 2 C 提示：当 2 x10 时，即 x1 或 x1 时，原方程化为 2 x（432）x734 90， 解得 1 x433， 2 x3， 均符合； 当 2 x10 时， 即1x1 时， 原方程可化为 2 x （432）x7340，解得 3 x32，满足题意 例 3 1991 例 4 当 m1 时，解得 x2 当 m1 时， 2 b4ac12m11当 m 12 11 时， 2, 1 x 12 111221 m mm ；当 m 12 11 时，x5；当 m 12 11 时，原方程无实根 例 5 为叙述方便，该题设中的四个方程依次为、，设方程和方
2、程的公共根为， 则 . 0 , 01 2 2 cb a 两式相减， 得 ba c 1 同理可得， 方程和方程的公共根为 1 c ba 1 注意到方程的两根之积为 1， 则也是方程的根， 从而1 2 0 又a 2 0，两式相减，得（a1）a1若 a1，则方程无实根，这与方程有根有矛盾，a 11，1于是 a2，bc1又abc3，b3，c2 例 6 解法一：1（a17）（38a）560，x1 为原方程的一个根，从而原方程可化 为（x1）5618 2 xax0 x 为正整数，方程 2 x（a18）x560 的判别式 218a224 必为完全平方数设218a224 2 m（m 为非负整数） ，则218a
3、224 224，即（am18） （am18）2241122564288又am18 与 am18 具 有相同的奇偶性，且 am18am18，am1818， 218 ,11218 ma ma 或 418 ,5618 ma ma 或 818 ,2818 ma ma 解得 55 ,39 m a 或 26 ,12 m a 或 .10 , 0 m a 又 a 为正整数， 55 ,39 m a 或 26 ,12 m a 当 a39 时，方程的根为1 和56；当 a12 时，方程的根为2 和 28综上所述，当 a39 时，原方程的三个根为 1，1 和56；当 a12 时，原方程的三个根为 1， 2 和28 解
4、法二： 原方程可化为 （ 2 xx） a5638x17 2 x 3 x， 显然 x0 当 x1 时， 式恒成立 当 x1 时，方程可化为 a xx xxx 2 32 173856 x18 x 56 a 为正整数，x18 x 56 0，x18 x 56 0显然 x0， 2 x18x560，解得 x359 或359x0又 x 为整数，且 x|56，x 可取56，28，2，1由韦达定理知（56）（1）（28） （2） ，若56 和1 为方程的两个根，则（a18）561，即 a39；若28 和2 为方程的两个根，则（a18）282，即 a12综上所述，当 a39 时，原方程的三个 根为 1，1 和56
5、；当 a12 时，原方程的三个根为 1，2 和28 A 级 1.2pxq7 2 2 3 1994 1 4 1 x 2 x1， 4, 3 x352 5 C 6 B 7 C 8D 91998 10.m 2 19 提示：由已知得 a a 1 4 11.假设存在符合条件的实数 m，且设这两个方程的公共实根为 a，则 ， ， 02 02 2 2 maa maa 得 （m2） （a1）0，m2 或 a1当 m2 时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根， 故 m2 舍去；当 a1 时，代入得 m3，可求得公共根为 x1 12.当 k4 或 k8，分别求得 x1 或 x2当 k4 且 k8 时，原方程可化
6、为84xk 48xk0， 1 x k4 8 ， 2 x k8 4 k 为整数，且 1 x， 2 x均为整数，4k1， 2，4，8 且 8k1，2，4，k6，12故 k4，6，8，12 时，原方程的根为整数 B 级 14 21 3.3 提示：代入根得（72ab）（4a）30 4.C 提示：由题给方程 2 x32 x又 xx，则 2 x32x， 2 x2x30，则1x 3， x只可能取值为1，0，1，2，3分别代入原方程解得 x1，7，3，故原方程共有三 个解 5D 6C 7D 8D 95 提示：由 x43，得 2 x8x130 10.当 2x10 即 x 2 1 时，原方程化为 2 x2x30，
7、解得 1 x3， 2 x1（舍去） ；当 2x1 0 即 x 2 1 时， 2 x4 4 1 40，舍去；当 2x10 即 x 2 1 时，原方程化为 2 x2x50，解 得 1 x16， 2 x16 2 1 （舍去） ，故所有根之和为 3（16）26 11.由条件知 a1，b1，ab，解得的两个根为 a， 1 2 a a ，的两个根为 b， 1 2 b b ab， a 1 2 b b 或 b 1 2 a a ，由均得 abab20，即（a1） （b1）3因为 a，b 均 为正整数，则有 31 , 11 b a 或 11 , 31 b a 解得 4 , 2 b a 或 2 , 4 b a 代入所求值得表达式化简得 ab ab ba ba abb a256 12 xx230 令xt， 则 2 t2t30 1 t1， 2 t3 1 t10， 2 t30（舍） x1，x1 x 2x 4 0 令2xt， 则 2 tt20 1 t1， 2 t2 1 t10， 2 t20（舍） 2x1 x21，x3
