1、 专题专题 0404 根根与系数的关系与系数的关系 例例 1 1. . 15 2 s 且3,5ss 例例 2.2. C 提示: 设三根为 12 1,x x,则 12 1xx 例例 3. 3. 设 2 2 3,A 2 2 3,B 3 100 4 AB 85 17 4 AB 解 由 联立的 方程组得 1 (40385 17) 8 A 例例 4. 4. 0,s 故第一个等式可变形为 2 11 ( )99( )190, ss 又 1 1,stt s 是一元二次方 程 2 99190 xx的两个不同实根, 则 11 99,19,tt ss 即199 ,19 .ststs 故 41994 5 19 sts
2、ss ts 例例 5. 5. (1) 当ab时, 原式=2; 当ab时, 原式=-20, 故原式的值为 2 或-20 (2) 由方程组得 2 32, 3 26(6),xyazxyzaz易知3 ,2xy是一元二次方程 22 ()6(6)0taz tzaz的两个实数根,0 , 即 22 23221440zaza, 由z为实数知, 22 ( 22 )4 23 (144)0,aa 解得23,a故正实数a的最小值为 23 (3) xy与xy是 方 程 2 1 76 60mm的 两 个 实 根 , 解 得 1 1 , 6 xy xy 或 6,( ) xy11. xy 舍原式= 2 222222 12 49
3、9xyx yxy xy 例 6 解法一：ac0， 2 =40bac ，原方程有两个异号实根，不妨设两个根为 x1，x2， 且 x10x2， 由 韦 达 定 理 得 x1+ x2= b a ， 12 c x x a ， 由2350bbc， 得 2 +350 bc aa ， 即 121 2 2350 xxxx， 解得 1 2 1 32 53 x x x ， 假设 2 3 5 x ， 则 1 1 323 553 x x ， 由 1 0 x推得103不成立， 故 2 3 5 x ； 假设 2 1x ， 则 1 1 32 1 53 x x ， 由 1 0 x推得 1 32 0 53 x ，矛盾故 2 1
4、x ，综上所述 2 3 1 5 x 解法二：设 2 f xaxbxc，由条件得 1 25 3 bac ， 得 33331310 25 555555 fabcaacca ， 1 13253 3 fabcaac 若a0，0c， 则 3 0 5 f ， 10f； 若a0，0c，则 3 0 5 f ， 10f0ac时，总有 3 10 5 ff ，故原方程必 有一根介于 3 5 与 1 之间 A 级级 13 22 3-2 m2 0m 1 8 3 提示： 1 2x， 2 2x与 12 4xx， 12 4xx不 等价 4 10013 4016 提示： 由条件得2 nn abn， 2 2 nn abn， 则2
5、221 nn abn n， 则 2 11 11 2221 n abnn 5C 6C 7A 8A 9提示： （1） 2 =2120m （2） 2 12 4 m x x 0，m=4 或 m=0 10 （1） 4 3 k且0k （2）存在 k=4 11由题意 得2mn， 22 484 0nmn 当 n=1 时， m=2； 当 n=2 时， m=4 12 设方程两根为 1 x， 2 x， 则 12 12 , . xxmn x xmn m ， n ， 1 x， 2 x均 为 正 整 数 ， 设 12 1xx ，1mn ， 则 1212 xxx xmnmn，即有 12 11112xxmn，则 12 112
6、,1,0, 110,1,2. xx mn 1 2 3,2,5, 2,2,1, 5,2,3, 1,2,2. x x m n 故 5,2,3, 1;2;2. mmm nnn B 级级 10 提示：由条件得 2 11 30 xx ， 2 22 30 xx ， 2 11 3xx ， 2 22 3xx， 32 11111111 333343xxxxxxxx ， 原式= 121212 434 31943 1241944xxxxxx 又 12 1xx ,原 式=0 28 5 35 4 63 8 提示： 2 =240a ，原式= 2 96363 2 488 a 5D 6C 7B 8B 9 2 31，由根与系数
7、关系得 2 41abab，即 2 1ab， a-b=1又由0得 2 316abab，从而 2 4ab由 a-b=1， 2 4ab，得满足条 件的整数点对（a，b）是（1,0）或（0，-1） 10 44 47， 66 22 48p ， 2244 22 7q 11a+b=3,c+d=4,ab=1,cd=2,a+b+c+d=7, 2222 19abcd (1)原式= 7a abcda bcdd abcdd abca a bcdabcbcd + 777 77. bcd bcdM cdadababc （2）原式= 2222 aabcdabcddabcddabc bcdabc + 2222 7 774968MabcdM 12（1） 517 2 m （2） 原式= 22 2 121212 2 1212 35 2312 122 m xxx xxx mmm x xxx 11m ,当 m=-1 时， 22 12 12 11 mxmx xx 的最大值为 10 13设 2 0 xaxb的两根分别 为, （其中, 为整数且） ，则方程 2 0 xcxa的两根分别为1,1，又 ,(1)(1)aa ，两式相加，得2210 ，即(2)(2)3，从 而 21 23 ，或 23 21 ，解得 1 2 ，或 5 3 ， 0 1 2 a b c ，或 8 15 6 a b c ， 3abc 或 29
