1、 专题 08 二次函数 例例 1 C 提示：成立 对于，当xl 时，yabc0，acb又 2 b a 1，则a 2 b 代 入上式，得2c3b； 对于， 当x1 时， max yabc， abc 2 ambmc， 则ab()m amb （m1） 例例 2 B 提示：S2b，b0，b1a ，a0 例例 3 （1）O（0，0） ，B（2，10） ，y 2 2510 63 xx （2）x 3 32 5 8 5 时，y 16 3 ，此时运动员距水面的高为 1016 3 14 3 5，故 此次试跳会出现失误 例例 4 （1）y 2 3 (4)3 9 x ； （2）P（0， 3 5 ） ； （3）由点点
2、A（l，0） ，C（4，3） ，B（7，0）得BACABC30 ，ACB 120 若以 AB 为腰，BAQ 为顶角，使ABQCBA，则 Q（2，3 3） ； 若以 BA 为腰，ABQ为顶角，由对称性得另一点 Q（10，3 3） ； 若以 AB 为底，AQ、BQ 为腰则 Q 点在抛物线的对称轴上，舍去 例例 5 由 NPBC CN BF AF ，得 3 4 NP x 1 2 ，NP 1 5 2 x，y 1 (5) 2 xx 2 1 (5)12.5 2 x（2x4） y随x的增大而增大，当x4 时，y有最大值 为 2 1 (45)12.5 2 12 例例 6 （l）y 2 33x （2）令 2 3
3、3x0，得 1 x1， 2 x1，则抛物线 1 c与x轴的两个交点坐标为 （1，0） ， （1，0） A（1m ，0） ，B（1m，0） 同理可得 D（1m ， 0） ，E（1m，0） 当 AD 1 3 AE 时，如图 1，( 1)( 1)mm 1 (1)( 1) 3 mm ，m 1 2 当 AB 1 3 AE 时，如图 2，(1)( 1)mm 1 (1)( 1) 3 mm ，m2当m 1 2 或 2 时，B、D 是线段 AE 的三 等分点 存在连结 AN、NE、EM、MA，依题意可得 M（m，3） ，N（m，3） ，即 M、N 关于原点 O 对称，OMONA（1m ，0） ，E（1m，0）
4、A、E 关于原点 O 对称，OAOE四边形 ANEM 为平行四边形要使平行四边形 ANEM 为矩形， 必须满足 OMOA， 即 22 ( 3)m 2( 1)m ， m1 当m 1 时，以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形 A 级级 12，4 或8 24 3 （l） 2 2xx； （23 或1； （3）x0 或x2 4y 2 xx或y 2 11 33 xx 提示：另一交点为（1，0）或（1，0） 5D 6B 7D 8B OAB E M N y x 图 1 AB D E M N O y x 图 2 9 （1）y 2 12 123 xx 2 2 2 1 591 27,.10.126 346 9
5、27 06 .,3 28 13 11.14,2 ,23., 22 1113 ,2,= ,=0 2222 0 BDEABCABDCDE ABP Cyxx xSSS ByxxABxPABd SAB dOB AOdPxx x 在抛物线上 故导弹能击中目标略 当x=3时 BE=y最短 其值为此时S 由题意知轴设 到距离为则 的纵坐标只能是0或4 令y 0 得 212 341 ,3.0,0 ,3,0 .,=4, 2 xPyx 符合条件的点为P同理 当的时候 1234 22 2 22 341341 :0,0 ,3,0 ,4 ,4 22 12.13,232,3 ,2303 3939 3233, 2424 1
6、27321321 3 2822 ABM PPP yxyxxP t tM t ttt PMtttttttPM SPMOA 综上符合条件的点有4个 P 设则 则当时有最大值 此时点P的坐标为或 2 2 2 12 :, 1 239 .4.285.6.7.8.9.0 6 44 ,4;340,0,3, 33 BOy ABx yxxxxxBABBx ymxmxmxxy m 级 1.13或52.-2m +8m+123.636提示设半径为长为 则 或当 时当时 解得即抛物线与 轴的交点 4 0,4 ,23,0,0 . 3 xAB m C与 轴的 个交点为 , 9 4 =m3,= 3 4 ,=得由若 m BCA
7、C 2 4 4; 9 yx 222 12 2 22 1 41211122 ,35,44 3636633 448844 3,34,4 337721 . ACABmmxyxxyxx m ACBCmyxx mm 若由得或 若由得故所求 抛物线的解析式有上述三个 22 22222 000000 22 00 1111 10. 1,111. 4444 11 11 =1, 44 1.2,1, . 1,1, PxxPMxxxx PyxxPPM yP QyH R PHPMQMQRPH MN QRy 设点 的坐标为则 又点 到直线的距离为以点 为圆心为半径的圆 与直线相切如图 分别过点作直线的垂线 垂足分别为由
8、知同理可得都垂直于直线 2 2 , :4,0 ,4,0 ,44 1 16 ,0,4 , 0,4 . 4 PHMN QMMPQRPH QR RNNHRNHN AByaxbxca xx a xAPBPa 于是因此Rt PHNRt QRN,于是 HNP= RNQ,从而 PNM= QNM11.提示 是等腰直角三角形 故 点的坐标为分别求得 1 2 22 1 3 13 1 2 0,412.1,22 91 4 x xyx bc y yyx 依题意得解得 12 2 2 22222 2 2 3 9 ,1,1 .211,1 ,3,9 .2:, 2 4 , 22 ,. ,2,222 . ,24220.=16822
9、 = 81616818 ABAAP B AaaA m m PAPBPAGBAHAGAH PGBHBmama Byxmamaaaaa aaa 证明过点分别作 过点 且平行于x轴的直线的垂线 垂足分别为G,H. 设P 将 点 代入抛物线得 0, ,. am PA 无论 为何值时 关于 的方程总有两个不相等 的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点 22 2 2 2 3:0,., . ,.,90 ,1.=0 ,=010,1 3., 2 m ykxb km mB n nA B AG BHxG HAOBABAOB ykxb AGOH AGOOHBmnxkxb OGBHyx m nxkxbmnbbDBPCOCP DPDCP aa 设直线交y轴于点D 设A过点 两点分别作垂直于 轴于的外心在上 由得联立得依题意 得是方程的两根即 设 22 2 222 12 2, 1212 14 ,22 130. 555 PPQyQRt PDQPQDQ PDaaaaP 过点 作轴于在中 即舍去
